सामान्यीकृत लडनेर के प्रमेय

Question

लेडनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि पी's एनपी है, तो जटिलता वर्गों की एक अनंत पदानुक्रम है जिसमें पी और एनपी में सख्ती से समाहित है। प्रमाण एनपी में कई-एक कटौती के तहत SAT की पूर्णता का उपयोग करता है। पदानुक्रम में एक प्रकार की विकृति द्वारा निर्मित जटिलता वर्ग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में कुछ भाषाएं होती हैं, जिनमें निम्न वर्गों की भाषाएं एक नहीं, एक-दूसरे से भिन्न होती हैं।

यह मेरे प्रश्न को प्रेरित करता है:

आज्ञा देना C एक जटिलता वर्ग है, और D को एक जटिलता वर्ग बनाते हैं जिसमें सख्ती से C. सम्‍मिलित है। यदि D में ऐसी भाषाएं हैं जो कुछ घटाव के लिए पूर्ण हैं, तो क्या C और D के बीच जटिलता वर्गों की एक अनंत पदानुक्रम मौजूद है, सम्मान के साथ। कमी?

अधिक विशेष रूप से, मैं यह जानना चाहूंगा कि क्या कमी के उचित विचार के लिए D = P और C = LOGCFL या C = NC के परिणाम ज्ञात हैं ।

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लेडनर के पेपर में पहले से ही अंतरिक्ष-बद्ध वर्गों C के लिए प्रमेय 7 शामिल हैं, जैसा कि केव ने एक उत्तर में बताया है। अपने सबसे मजबूत रूप में यह कहता है: यदि एनएल there एनपी तो एनएल और एनपी के बीच भाषाओं का एक अनंत अनुक्रम है, सख्ती से बढ़ती कठोरता का। यह सामान्य संस्करण (थ्योरम 1) की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य है, जो पी ≠ एनपी पर सशर्त है। हालांकि, लेडनर का पेपर केवल डी = एनपी को मानता है।

Comments

पहले उन कक्षाओं पर ध्यान देने वाला प्रश्न पूछ सकते हैं जिन्हें हम पहले से जानते हैं। उदाहरण के लिए, क्या अनुमानों के संबंध में, एसी 0 और एसी 0 [6] के बीच एक अनंत पदानुक्रम है ? यह एक कठिन सवाल की तरह लग रहा है! :-)$^0$$^0$

— मिशैल कैडिलैक

P से NP के अंतराल के बारे में एक प्रश्न के लिए cstheory.stackexchange.com/questions/52/… भी देखें ।

— एंड्रस सलामोन

Answer 1

आपके प्रश्न का उत्तर विभिन्न प्रकार की कक्षाओं और कटौती के लिए "हां" है, जिसमें लॉगस्पेस रिडक्शन और आपके द्वारा उल्लिखित कक्षाएं शामिल हैं, जैसा कि इन पत्रों में साबित होता है:

एच। वोल्मर। गैप-भाषा तकनीक पर दोबारा गौर किया । कंप्यूटर साइंस लॉजिक, कंप्यूटर साइंस वॉल्यूम में लेक्चर नोट्स। 533, पृष्ठ 389-399, 1990।

के। रेगन और एच। वोल्मर। गैप-भाषाएं और लॉग-टाइम जटिलता कक्षाएं । सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, 188 (1-2): 101-116, 1997।

(आप इन पत्रों की gzipped postcript फाइलों को यहां डाउनलोड कर सकते हैं ।)

साक्ष्य लादेन के प्रमेय के उवे स्कोनिंग के विस्तार के मूल सिद्धांत का पालन करते हैं:

उवे शोगिंग। जटिलता वर्गों में विकर्ण सेट प्राप्त करने के लिए एक समान दृष्टिकोण । सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 18 (1): 95-103, 1982।

स्ओनिंग का प्रमाण हमेशा से लडनेर की प्रमेय का मेरा पसंदीदा प्रमाण रहा है - यह सरल और सामान्य दोनों है।

Comments

और वादा वर्गों के बारे में क्या?

— मार्कोस विलग्रा

Answer 2

यह बहुत संभावना है कि आप इसे सामान्य सेटिंग में पूरा कर सकते हैं। लगभग निश्चित रूप से इस तरह का एक परिणाम पहले से ही एक सामान्य सेटिंग में साबित हो गया है, लेकिन फिलहाल मुझे बचते हैं। तो यहाँ खरोंच से एक तर्क है।

$L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$$P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

Answer 3

$C=L$$NC$

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अपडेट करें

पॉलिनोमियल टाइम रिड्यूसबिलिटी की संरचना पर लेडनर के पेपर की जांच करें

$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

खंड 6 भी देखें जिसमें सामान्यीकरण पर चर्चा की गई है:

THEOREM 5. यदि एक टाइम क्लास है तो और रिफ्लेक्टिव और संबंध हैं और Theorems 1-4 को से बदल दिया जाता ।≤ सी मीटर ≤ सी टी पी $C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

THEOREM 7. यदि एक स्पेस क्लास है तो और रिफ्लेक्टिव और संबंध हैं और Theorems 1-4 साथ जगह लेते हैं ।≤ सी मीटर ≤ सी टी पी $C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

पेपर में शब्द समय वर्ग और अंतरिक्ष वर्ग को परिभाषित किया गया है।

Comments

जिस तरह से मैंने लेडनर और इम्पेग्लियाज़ो साक्ष्यों को समझा, वे एनपी, सैट और कई-एक बहुपद-समय कटौती के लिए विशिष्ट कुछ सामग्रियों का उपयोग करने के लिए लग रहे थे। मेरे सवाल का मतलब ठीक है कि क्या उन सामग्रियों का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जा सकता है।

— एन्ड्रेस सलामों

@ एंड्रस सलामोन: नहीं, वास्तव में लैडनर का मूल प्रमाण सैट के बारे में किसी भी तथ्य का उपयोग नहीं करता है कि यह कम्प्यूटेशनल है (देखें प्रमेय 1 ऊपर)। खंड 6 में वह अपने प्रमेयों के लिए काम करने के लिए आवश्यक गुणों की चर्चा करता है। मुझे लगता है कि एक स्पेस क्लास है। $L$

— केव

मुझे लगता है कि प्रमेय को भी समान सर्किट वर्गों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए प्रमेय 1 लिए भी काम करेगा (विवरण की जांच नहीं की, मैं इसे पोस्ट में जोड़ दूंगा जब मैं करता हूं या एक संदर्भ पाता हूं), लेकिन मैं डॉन ' टी यह गैर-वर्दी संस्करणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है क्योंकि सबूत इस तथ्य का उपयोग करता है कि जटिलता वर्ग का पुन: प्रतिनिधित्व किया जाता है। यह जानना दिलचस्प होगा कि क्या प्रमेय 1 भी (एकसमान संस्करण) के लिए है जो माइकेल कैडिलक की टिप्पणी का जवाब पोस्ट के तहत देगा। सी = ए सी $C=NC$$C=AC^0$

— केव

Answer 4

मैंने यहां Mathoverflow में Peter Shor से एक समान प्रश्न पूछा । उनके अनुसार, उन्हें इस तरह के परिणाम की जानकारी नहीं है।

इसके अलावा, रेयान विलियम्स ने लडनेर के प्रमेय के बारे में कुछ अजीब बात कही, लेकिन मुझे यह लिंक नहीं मिला। यह कुछ इस तरह से है: "लडनेर के प्रमेय का प्रमाण एक ज़ोंबी जैसी प्रक्रिया है जहां आप एक एनपी-पूर्ण समस्या का सिर और धड़ लेते हैं, और फिर एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के हाथ और पैर को सिलाई करते हैं"। यह NP- मानते हुए मध्यवर्ती भाषा को परिभाषित करने के लिए अप्राकृतिक तरीका है ।$NP\neq P$

मैंने इसके बारे में भी सोचा था, और शायद आप इस तरह से रयान की ज़ोंबी जैसी प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं: को लिए पूर्ण सेट होने दें, और । फिर आप छेद या पैडिंग उड़ाकर पर सबूत के लिए दो दृष्टिकोणों का उपयोग कर सकते हैं ।Σ पी मैं बी ∈ Σ पी मैं - 1$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

एक और दिलचस्प समस्या यह है कि लांडनर के शब्दार्थ वर्गों के वादे के संस्करणों के एक सामान्यीकरण पर विचार करें, जैसे कि वादाबीपीपी, वादामा, आदि।

Comments

मैं यह उल्लेख करना भूल गया कि यह केवल PH के संबंध में है, और यह केवल किसी भी जटिलता वर्ग को लेने की तुलना में अधिक प्रशंसनीय दृष्टिकोण है।

— मार्कोस विलग्रा

लिंक: mathoverflow.net/questions/9221/…

— रेयान विलियम्स

मुझे लगता है कि यहाँ मुख्य बात यह है कि लडनेर के पेपर में प्रमेय 1 को का पुनरावर्ती रूप से प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता क्योंकि यह एक विकर्ण प्रमाण है। और अर्थ वर्ग हैं और AFAIK हम अगर वे रिकर्सिवली प्रतिनिधित्व कर रहे हैं पता नहीं है। दूसरी ओर, वर्दी एक संश्लिष्ट वर्ग है और इसका पुनरावर्ती प्रतिनिधित्व किया जाता है। बी पी पी एम ए एन $C$$BPP$$MA$$NC$

— केव

हां, सिमेंटिक कक्षाओं से मशीनों की गणना पुनरावर्ती नहीं है। लेकिन शब्दार्थ वर्ग (वादा बीपीपी, वादा, ...) के वादे संस्करण वास्तव में संकेत हैं।

— मार्कोस विलग्रा