डीएफए आकार के एक समारोह के रूप में नियमित भाषाओं में तुल्यता वर्गों की संख्या

Question

यह सवाल हाल ही में जेनोमा के एक सवाल से संबंधित है ।

पृष्ठभूमि

बाधा प्रोग्रामिंग में, एक नियमित रूप से वैश्विक बाधा एक डोमेन पर एक जोड़ी है के साथ चर का एक टपल (गुंजाइश) और एक DFA डोमेन पर । एक काम को संतुष्ट अगर स्ट्रिंग को स्वीकार करता है ।$c$$D$$(s, M)$$s$$M$$D$$\theta$$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

नीचे, मान लें कि डोमेन तय हो गया है। एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करें तार के उस समूह पर ऐसी है कि हर DFA के लिए करता है, तो या तो या । सहज रूप से, दो तार बराबर हैं यदि कोई डीएफए उन्हें अलग नहीं कर सकता है। अगर यह सच है, तो वे उसी नियमित बाधाओं को भी पूरा करते हैं ।$D$$\sim$$T = D^{|s|}$$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

यदि हम किसी भी तरह से डीएफए को प्रतिबंधित नहीं करते हैं, तो समतुल्यता वर्गों का सेट केवल ही है। मैं समकक्ष कक्षाओं की संख्या में दिलचस्पी रखता हूं। राज्यों की संख्या के एक समारोह के रूप में हम DFA के लिए अनुमति देते हैं। स्पष्ट रूप से, यदि (स्थिरांक को अनदेखा करें) तब। (निश्चित रूप से, यहाँ स्वयं का एक फंक्शन होगा )$T/{\sim}$$T$$\sim$$n$$n = |D|^{|s|}$$|T/{\sim}| = |T|$$n$$|s|$

प्रशन

1. वह सबसे छोटा कौन सा है जिसके लिए?$n$$|T/{\sim}| = |T|$
2. उसके नीचे क्या होता है? विशेष रूप से,
   • वहाँ एक ऐसा है जो ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
   • वहाँ एक ऐसा है जो ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

इस प्रश्न के लिए मेरी प्रेरणा यह है कि बहुपद होने ( ) जैसे समतुल्य वर्गों की संख्या ने मुझे कार्डिनलता की कमी के साथ बाधा समस्याओं का एक सुगम मामला दिया। मैं अब यह देखने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या नियमित बाधा के लिए इन रेखाओं के साथ कुछ किया जा सकता है।$|s|^{|D|}$

संपादित करें : ध्यान दें कि यह उत्तर हरमन ग्रुबर द्वारा दिए गए प्रश्न के शीर्ष पर संदर्भित है। सीमा पत्र में जवाब लिंक एक उपज चाहिए ऐसी है कि प्रश्न 1 का जवाब होना चाहिए , लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है।$k$$\geq k$

Answer 1

प्रश्न 1 का उत्तर,

वह सबसे छोटा कौन सा है जिसके लिए?$n$$|T/{\sim}|=|T|$

हमारे पास जहां सबसे छोटी संख्या है किसी भी डीएफए में कहा गया है कि और एक को स्वीकार करता है , लेकिन दूसरे को नहीं। पर सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी बाउंड है ( जेफरी शालिट द्वारा कुछ स्लाइड देखें )

$$n=\max_{|w|=|x|=s,\\ w\ne x}\mathrm{sep}(w,x)$$ $\mathrm{sep}(w,x)$$w$$x$$n$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ ।

जो प्राप्त हुआ था

रॉबसन, जेएम , छोटे ऑटोमेटा के साथ अलग तार , इन्फ। प्रक्रिया। लेट्ट। 30, नंबर 4, 209-214 (1989)। ZBL0666.68051 ।