आकार

प्रश्न सरल और प्रत्यक्ष है: एक निश्चित , कितनी (अलग-अलग) भाषाओं को आकार (अर्थात राज्यों) के DFA द्वारा स्वीकार किया जाता है ? मैं औपचारिक रूप से यह बताऊंगा: $n$ $n$ $n$

के रूप में एक DFA को परिभाषित करें , जहां सब कुछ सामान्य और के रूप में है (संभवत: आंशिक) कार्य है। हमें इसे स्थापित करने की आवश्यकता है क्योंकि कभी-कभी केवल कुल कार्यों को वैध माना जाता है। $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

हर के लिए , (तुल्यता) संबंध को परिभाषित के रूप में सभी DFAs के सेट पर: अगर और । $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

सवाल तो,: दी गई के लिए , के सूचकांक क्या है ? है यही कारण है, सेट के आकार क्या है ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

यहां तक कि जब कुल समारोह है, यह एक आसान गिनती होने के लिए प्रतीत नहीं होता है (मेरे लिए, कम से कम)। ग्राफ जुड़ा हो सकता है नहीं किया जाएगा, और जुड़े घटक में राज्यों प्रारंभिक अवस्था वाले सभी को स्वीकार किया जा सकता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, देखते हैं कई आकार के रेखांकन स्वीकार करने । खाली भाषा और अन्य भाषाओं के लिए अन्य तुच्छ संयोजनों के साथ समान जिनके न्यूनतम डीएफए में राज्यों की तुलना में कम है । $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(एक भोले) पुनरावृत्ति भी काम करने के लिए प्रतीत नहीं होता है। अगर हम आकार का एक DFA ले और एक नए राज्य में जोड़ें, फिर, अगर हम नियतिवाद रखने के लिए और जुड़ा नया ग्राफ बनाना चाहते (तुच्छ मामलों से बचने की कोशिश करने के लिए), हम नए राज्य कनेक्ट करने के लिए एक संक्रमण को दूर करने के लिए है, लेकिन उस स्थिति में हम मूल भाषा खो सकते हैं। $k$

कोई विचार?

ध्यान दें। मैंने एक औपचारिक बयान के साथ और पिछले विचलित करने वाले तत्वों के बिना फिर से सवाल को अपडेट किया।

— Janoma
स्रोत

बस स्पष्ट करने के लिए: क्या आपका मतलब है "कितनी अलग-अलग भाषाएं

राज्यों का उपयोग करके परिभाषित कर सकती हैं?", जहां

राज्यों का उपयोग करके एक भाषा को परिभाषित किया गया है यदि

राज्यों के साथ DFA है जो इसे स्वीकार करता है। इसके अलावा, नियमित अभिव्यक्तियों के लिए, रेगेक्स "ए * आआआ" में निश्चित रूप से> 1 सहमति है, लेकिन डीएफए को केवल एक राज्य की आवश्यकता है (दो यदि आपको अलग सिंक की आवश्यकता है), नहीं?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— फ्रेड थोरस्टेंसन

क्षमा याचना: रेगुलर एक्सप्रेशन उदाहरण के लिए, यह होना चाहिए "एक एक एक एक एक *", कि के रूप में किसी भी संख्या की अनुमति नहीं देता।

— फॉक्स थोरस्टेंसन

की परिभाषा "डॉट-डेप्थ" की धारणा से बहुत संबंधित है, सिवाय इसके कि अवधारणा आम तौर पर स्टार-फ्री भाषाओं पर लागू होती है (शायद उन कारणों के लिए जो @Evgenij Thorstensen उल्लिखित हैं)।

c (r)

$c(r)$

— mhum

तुच्छ अवलोकन:

राज्यों का उपयोग कम से कम

विभिन्न भाषाओं को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है ।

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— फ्रेड थोरस्टेंसन

हम थोड़ा और अधिक प्राप्त कर सकते हैं, तो

ठीक लगता है। लेकिन एन-राज्य ऑटोमेटा की संख्या के आसपास है

(यह मानते हुए

)। क्या हम

प्राप्त कर सकते हैं ?

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— केवह

मुझे लगता है कि इस प्रश्न का अध्ययन पहले किया जा चुका है। माइक डोमारत्ज़की ने इस क्षेत्र में अनुसंधान पर एक सर्वेक्षण लिखा: "औपचारिक भाषाओं की गणना", बुल। EATCS, वॉल्यूम। 89 (जून 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— हरमन ग्रबेर
स्रोत

पेपर पृष्ठ 120 और पर पूछे गए प्रश्न को ठीक से संबोधित करता है। यह फंक्शन

, और पेपर इसके बजाय तंग सीमाएँ देता है (ऊपर Kaveh का उल्लेख है), हालांकि मैंने सभी विवरणों को नहीं लिया है।

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$ ).

— Janoma