अद्वितीय सेंट-कनेक्टिविटी की जटिलता

मैं जानना चाहूंगा कि निम्नांकित समस्या को $\mathsf{NL}$ (nondeterministic logspace) में तय किया जा सकता है या नहीं :

एक निर्देशित ग्राफ को देखते हुए $G$ के साथ दो प्रतिष्ठित कोने $s$ और $t$ , वहाँ एक है अद्वितीय से पथ $s$ को $t$ में $G$ ?

मुझे लगता है कि यह में होने की संभावना है क्योंकि हम दोनों तय कर सकते हैं कि क्या कोई - -पैथ है और अगर ऐसा कोई रास्ता नहीं है। फिर भी, इस तरह के रास्तों की संख्या की गणना है -हार्ड (बहादुर, 1979)। $\mathsf{NL}$ $s$ $t$ $\mathsf{\sharp P}$

तो मेरे प्रश्न: क्या आपके पास इस बारे में संदर्भ हैं? क्या यह स्पष्ट है कि यह ? या कि यह में नहीं है ? $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

reference-request graph-theory

— ब्रूनो
स्रोत

क्या आपका मतलब सरल रास्तों से है? स्पष्ट नहीं कि यह इस संदर्भ में समान है।

— लांस फोर्टेनो

अच्छी बात है, मेरा मतलब है कि वास्तव में सरल रास्ते हैं।

— ब्रूनो

ऐसा लगता है कि आपकी समस्या । यहाँ एक एल्गोरिथ्म है। $NL$

सबसे पहले, nondeterministically से तक के मार्ग का अनुमान लगाते हैं । यदि आप गलत अनुमान लगाते हैं, तो अस्वीकार करें । इस एल्गोरिथ्म बुलाओ । $s$ $t$ $A$

निम्नलिखित nondeterministic एल्गोरिथ्म पर विचार करें , जो निर्धारित करता है कि कम से कम दो रास्ते हैं। अलग-अलग किनारों के सभी जोड़े लिए एक ग्राफ और को देखते हुए से लिए एक पथ का अनुमान लगाते हैं जिसमें शामिल है लेकिन नहीं , फिर से लिए एक पथ का अनुमान जिसमें शामिल लेकिन नहीं । यदि अनुमान सही हैं, तो स्वीकार करें । यदि और सभी विकल्पों के लिए कोई स्वीकृति नहीं होती है , तो अस्वीकार करें । नोट $B$ $s,t$ $e,f$ $s$ $t$ $e$ $f$ $s$ $t$ $f$ $e$ $e$ $f$ $B$ nondeterministic logspace में लागू करने योग्य है।

अब, सेट का सेट है - से कम से कम दो रास्तों के साथ रेखांकन को । क्योंकि , का सप्लीमेंट में भी है , अर्थात, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या और में दो मार्ग कम हैं, नोंडेटर्मिनिस्टिक लॉगस्पेस में। $L(B)$ $s$ $t$ $s$ $t$ $NL = coNL$ $B$ $NL$ $s$ $t$

अंतिम एल्गोरिथ्म है: " भागो । यदि स्वीकार करता है, तो के पूरक को चलाएं और इसका उत्तर आउटपुट करें।" $A$ $A$ $B$

मुझे एक संदर्भ का पता नहीं है।

अद्यतन: यदि आप वास्तव में एक संदर्भ चाहते हैं, तो इस पेपर की धारा 3 के पहले पैराग्राफ को देखें । लेकिन यह शायद कई संदर्भों में से एक है जो इस परिणाम का हवाला देता है। इसका उल्लेख करने के लिए होने वाले पेपर का हवाला देने के बजाय परिणाम को "लोकगीत" कहना अधिक उचित होगा।

अद्यतन 2: मान लीजिए कि आप निर्धारित करना चाहते हैं कि क्या एक अनूठा सरल मार्ग है। उस स्थिति में, एल्गोरिथ्म को बदलना नहीं पड़ता है: यदि कोई रास्ता है तो एक सरल मार्ग है। मेरा मानना है कि एल्गोरिथम लिए निम्न संशोधन काम करेगा । $A$ $B$

हम एल्गोरिदम को फिर से लिखना चाहते हैं ताकि यह स्वीकार करे कि अगर कम से कम दो सरल रास्ते हैं। $B$

पहले समस्या के लिए निम्नलिखित बहुपद-काल एल्गोरिथ्म पर विचार करें। सबसे छोटा रास्ता को से । हर बढ़त में , देखें कि क्या कोई और है - रास्ता है कि के माध्यम से जाना नहीं है । अगर आपको ऐसा कोई रास्ता मिल जाए तो स्वीकार करें । अगर आपको कभी दूसरा रास्ता नहीं मिलता है, तो अस्वीकार करें । क्योंकि सबसे छोटा है, इसमें एक चक्र नहीं है, और यदि कोई दूसरा पथ है जो कुछ किनारे का उपयोग नहीं करता है , तो एक और मार्ग है जो सरल है और कुछ किनारे का उपयोग नहीं करता है $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $P$ $P$ । (इस एल्गोरिथ्म का उपयोग "दूसरी सबसे छोटी पथ" समस्या के लिए किया जाता है।)

हम इस एल्गोरिथ्म को में लागू करेंगे । यदि हम एक था किनारों क्वेरी करने के लिए एल्गोरिथ्म एक निश्चित पथ में , हम गैर नियतात्मक logspace में ऊपर लागू कर सकता है: के माध्यम से सभी किनारों पुनरावृत्ति में , एक अनुमान - पथ और जाँच लें कि साथ दौरा किया हर बढ़त के लिए रास्ता, उनमें से कोई भी बराबर नहीं है । $NL$ $NL$ $e$ $P$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$

इसलिए हमें जिस चीज़ की ज़रूरत है वह है "पाथ ओरेकल", संपत्ति के साथ एक एल्गोरिथ्म: दिए गए , हर गणना पथ में एल्गोरिथ्म या तो एक विशेष निश्चित - पथ पर th बढ़त की रिपोर्ट करता है, या अस्वीकार । हम lexicographically पहले पथ को अलग करने के लिए का उपयोग करके पथ पाथ को प्राप्त कर सकते हैं । $NL$ $i=1,\ldots,n$ $i$ $s$ $t$ $NL=coNL$

यहाँ पथ के एक स्केच है।

खोजें , से कम से कम पथ की लंबाई को , कोशिश कर रहा द्वारा सभी और का उपयोग कर । $k$ $s$ $t$ $k=1,\ldots,n$ $NL=coNL$

सेट चर , , । $u:=s$ $x:=1$ $j:=k$

सभी पड़ोसियों के लिए का lexicographical क्रम में, $v$ $u$

निर्धारित करें कि क्या से की लंबाई तक एक रास्ता है या नहीं (परिणाम का उपयोग करके )। अधिक सटीक रूप से, - कनेक्टिविटी (लंबाई ) के लिए nondeterministic एल्गोरिथ्म और इसके पूरक के लिए एल्गोरिथ्म को एक साथ चलाएं । जब उनमें से एक स्वीकार करता है, तो उसके उत्तर के साथ जाएं (यह सही होना चाहिए; दोनों स्वीकार नहीं कर सकते)। यदि दोनों अस्वीकार करते हैं तो अस्वीकार करें । $v$ $t$ $j-1$ $NL=coNL$ $s$ $t$ $j-1$

यदि कोई रास्ता नहीं है, तो अगले पड़ोसी पर आगे बढ़ें। यदि आपने सभी पड़ोसियों को थका दिया है तो अस्वीकार करें ।

यदि कोई पथ है, तो यदि , आउटपुट रूप में वें किनारे से से तक पथ पर । अन्यथा वेतन वृद्धि , घटती , सेट , और फिर से करता है, तो के लिए लूप शुरू । $x=i$ $(u,v)$ $i$ $s$ $t$ $x$ $j$ $u := v$ $v \neq t$

यदि आउटपुट खराब पहुंचने के बाद (दिया गया बहुत बड़ा था)। $x < i$ $t$ $i$ $i$

यह देखते हुए , इस एल्गोरिथ्म या तो आउटपुट कोषगत कम से कम पथ पर वें किनारे से को , या अस्वीकार करता है। $i$ $i$ $P$ $s$ $t$

— रेयान विलियम्स
स्रोत

मैंने ऐसा ही कुछ सोचा था लेकिन यह रैखिक स्थान का उपयोग करता है। आपके उत्तर के लिए धन्यवाद!

— ब्रूनो

मैं मानता हूं कि यह वास्तव में लोककथा है। यह

पदानुक्रम के पतन का एक तत्काल परिणाम है । साथ ही, # P- पूर्ण नहीं में गिनती की समस्या। यह # एल में है, जो बदले में

N L

$NL$

N C^{2}

$NC^2$

— वी विनय

हां, जैसा कि मैंने ऊपर कहा था, एल्गोरिथ्म सरल रास्तों और चक्रों वाले रास्तों में अंतर नहीं करता है।

— रयान विलियम्स

@V विनय: में इस पत्र , लेखकों बहादुर के कागज का उल्लेख गणन और विश्वसनीयता समस्याओं की जटिलता साबित के रूप में

समस्या का -completeness। मैंने अभी Valiant के पेपर में जाँच की , और यह समस्या 14 (p414) है। क्या मैं कुछ गलत समझ रहा हूं? हो सकता है कि आपने गैर-सरल रास्तों के बारे में बात की हो, और इस मामले में जटिलता नाटकीय रूप से बदल जाए? धन्यवाद!

♯ P

$\sharp\mathsf P$

— ब्रूनो

Btw, ऑलेंडर एंड लैंग की टिप्पणी सीधे निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त है।

— ब्रूनो