चेरनॉफ बाउंड का एक विस्तार

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मैं एक संदर्भ की तलाश कर रहा हूं (प्रमाण नहीं, जो मैं कर सकता हूं) चेरनॉफ के निम्नलिखित विस्तार के लिए।

चलो बूलियन यादृच्छिक चर हो, जरूरी नहीं कि स्वतंत्र हो । इसके बजाय, यह गारंटी है कि प्रत्येक और प्रत्येक घटना जो केवल पर निर्भर करता है । $X_1,..,X_n$ $Pr(X_i=1|C)<p$ $i$ $C$ $\{X_j|j\neq i\}$

$\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

अग्रिम में धन्यवाद!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— जिज्ञासु
स्रोत

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आप जो चाहते हैं वह सामान्यीकृत चेर्नॉफ बाउंड है, जो केवल को मानता है । उत्तरार्द्ध आपकी धारणा से आता है, क्योंकि , इम्पेग्लियाज़ो और कबनेट्स ने हाल ही में सामान्यीकृत सहित चेर्नॉफ बाउंड का एक वैकल्पिक प्रमाण दिया। उनके पेपर में आप पिछले काम के सभी उपयुक्त संदर्भ पा सकते हैं: http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! वास्तव में, उनकी स्थिति दोनों में निहित है जो मेरे पास है और नकारात्मक सहसंबंधों द्वारा। इसलिए, यह वास्तव में गुणात्मक रूप से मजबूत है (जब मैंने वेलेंटाइन की बात सुनी तो मैं किसी भी तरह से चूक गया)। अब मुझे जो कुछ चाहिए वो इस बात का प्रमाण है कि मैं अपने प्रश्न का उत्तर देने के लिए सहर्ष धन्यवाद देता हूँ, बहुत बहुत धन्यवाद !!

— उत्सुक

3

आपके मामले में, आप बस अपने चरों में से एक सब-मार्टिंगेल बना सकते हैं और उसी प्रभाव के लिए शास्त्रीय अज़ुमा की असमानता का उपयोग कर सकते हैं। यह काम करने के लिए आपको केवल जो आपकी धारणा से निहित है।

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— महदी चेरघची

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साहित्य में मेरी सबसे करीबी बातें चेर्नॉफ़ सीमा के विस्तार से नकारात्मक रूप से सहसंबंधित यादृच्छिक चर के विस्तार हैं, जैसे यह या यह देखें । औपचारिक रूप से, आपकी स्थिति नकारात्मक सहसंबंध के बिना संतुष्ट हो सकती है, लेकिन विचार समान है।

क्योंकि आपका सामान्यीकरण साबित करना मुश्किल नहीं है, इसलिए हो सकता है कि कोई भी इसे लिखने से परेशान न हो।

— लेव रेइज़िन
स्रोत

आप सही कह रहे हैं, वह भी निकटतम था जो मैंने पाया ("एकाग्रता में ... विश्लेषण के लिए ... एल्गोरिथम")। बात यह है कि मेरी पांडुलिपि बहुत लंबी हो रही है, यदि संभव हो तो मैं एक और स्पिन-ऑफ से बचना पसंद करूंगा। यदि नहीं, तो मेरे पास कोई विकल्प नहीं होगा ...

— उत्सुक

3

यह क्या परिशिष्ट के लिए :) कर रहे हैं

— लेव Reyzin

2

हे, दोस्तों, यह पहले साबित हो गया था, और मैंने अपने उत्तर में एक संदर्भ दिया (जहां आप अन्य सभी प्रासंगिक संदर्भ भी पा सकते हैं)।

— दाना मोशकोविट्ज़

उफ़ - कमाल। मैंने किसी तरह आपका जवाब नहीं देखा!

— लेव Reyzin

3

बी। डेरे में एक वैकल्पिक संदर्भ लेम्मा १.१ ९ हो सकता है, यादृच्छिक खोज उत्तराधिकार का विश्लेषण: संभाव्यता सिद्धांत से उपकरण, यादृच्छिक खोज उत्तराधिकार के सिद्धांत (ए। अगस्त और बी। डॉयर, संस्करण।), विश्व वैज्ञानिक प्रकाशन, २०११, पीपी। १। 20।

सरल शब्दों में, यह दर्शाता है कि जब संभावना साथ होता है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पर क्या शर्त , फिर सभी चेरोफ़-होफडिंग सीमा को संतुष्ट करते हैं जो स्वतंत्र के लिए मान्य हैं बाइनरी रैंडम वैरिएबल सफलता की संभावना के साथ , क्रमशः। प्रमाण प्राथमिक है और परिणाम स्वाभाविक है, इसलिए मुझे लगता है कि किसी ने भी इसे लिखने की आवश्यकता महसूस नहीं की। $X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$

— बेंजामिन डॉयर
स्रोत