लाइन पर क्वांटम से शास्त्रीय यादृच्छिक चलता है

त्वरित संस्करण

असम्बद्धता की वहाँ मॉडल लाइन पर क्वांटम टहलने के लिए कर रहे हैं इस तरह के हम धुन के रूप में प्रसार करने के लिए चल सकता है कि किसी के लिए ? $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$

प्रेरणा

एल्गोरिथ्म डिज़ाइन में शास्त्रीय रैंडम वॉक उपयोगी हैं, और क्वांटम रैंडम वॉक कई कूल क्वांटम अल्गोरिद्म बनाने के लिए उपयोगी साबित हुए हैं (कभी-कभी साबित एक्सपोनेंशियल स्पीड-अप के साथ )। इस प्रकार, क्वांटम और शास्त्रीय यादृच्छिक चलता के बीच के अंतर को समझना महत्वपूर्ण है। कभी-कभी ऐसा करने का सबसे आसान तरीका खिलौना मॉडल पर विचार करना है, जैसे कि लाइन पर चलता है।

एक भौतिकी प्रेरणा भी है: यह जानना दिलचस्प है कि क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी से कैसे जुड़ता है। लेकिन cstheory के लिए यह बहुत प्रासंगिक नहीं है।

मेरी व्यक्तिगत प्रेरणा पूरी तरह से रूढ़िवादी है: मैं एक मॉडल के साथ कुछ प्रयोगात्मक डेटा से मेल खाने की कोशिश कर रहा हूं जो क्वांटम से शास्त्रीय तक आसानी से संक्रमण करता है और अपेक्षाकृत सहज है।

पृष्ठभूमि

जब क्वांटम और पूर्णांक लाइन पर शास्त्रीय क्षेत्रों पर विचार, एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि क्वांटम चलने के (स्थिति वितरण के) मानक विचलन के रूप में चला जाता है के रूप में और शास्त्रीय लोगों जहां है असतत मॉडल के लिए चरणों की संख्या, या निरंतर मॉडल में समय। ध्यान दें कि यह लाइन तक ही सीमित नहीं है, और कई ग्राफ़ के लिए आपको क्वांटम और शास्त्रीय मिश्रण समय के बीच एक समान द्विघात संबंध दिखाई देगा, मैं लाइन के प्रतिबंधित मामले पर विचार करता हूं क्योंकि मुझे लगता है कि विश्लेषण करना आसान है। $\Theta(t)$ $\Theta({t^{1/2}})$ $t$

जैसा कि हम एक क्वांटम वॉक (या तो माप या शोर के माध्यम से) के साथ डिक्रियोनेस का परिचय देते हैं, वॉक अधिक शास्त्रीय व्यवहार करने लगता है। वास्तव में, सबसे मापन के लिए, हम सिर्फ एक शास्त्रीय टहलने के साथ समाप्त कि के रूप में फैलता है सही timescale से देखा है। विघटन के अन्य रूपों के लिए (जैसे कि सिक्के को फिर से खोलना, या पंक्ति में खामियों का परिचय देना) आमतौर पर एक तेज दहलीज होती है जिसके नीचे चलना क्वांटमली ( रूप में फैलता व्यवहार करता है और जिसके ऊपर से चलना शुरू होता है शास्त्रीय (प्रसार) के रूप में $\Theta(t^{1/2})$ $\Theta(t)$ $\Theta(t^{1/2})$ )। वास्तव में, इस स्केलिंग को एक क्वांटम वॉक की परिभाषा के रूप में भी सुझाया गया है।

प्रश्न का लंबा संस्करण

, ऐसा है कि के रूप में हम असम्बद्धता की राशि अलग-अलग हो हम स्थिति में एक मानक विचलन प्राप्त कर सकते हैं लाइन पर एक यादृच्छिक टहलने के लिए असम्बद्धता की वहाँ मॉडल हैं कि के रूप में तराजू किसी के लिए ? मिश्रण या समय से टकराने में एक अंतराल के साथ अन्य रेखांकन के लिए वैकल्पिक रूप से, हम मिश्रण / मार / मानक विचलन है कि के रूप में चला जाता है हो सकता है कि इतने असम्बद्धता की वहाँ रूपों है किसी के लिए और $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$ $f(t)$ $f \in \Sigma(g(t))$ जहाँ शास्त्रीय मिश्रण / मार / STD है और शुद्ध क्वांटम है। यदि यह संभव नहीं है तो क्या एक गहरा कारण है कि हम इस तरह के एक-या-अन्य व्यवहार को क्यों देखते हैं? $f \in O(h(t))$ $g(t)$ $h(t)$

quantum-computing random-walks quantum-walk

— Artem Kaznatcheev
स्रोत

यदि आप चाहते हैं कि मैं प्रश्न में कुछ परिष्कृत करूं तो कृपया उसे इंगित करें। यदि आप इस प्रश्न के दायरे से चिंतित हैं तो मेटा चर्चा में योगदान करें ।

— Artem Kaznatcheev

बड़ा सवाल है। वास्तव में, एक ही प्रश्न कुछ महीने पहले मैं काम कर रहा था ( arXiv: 1011.1217 )। ऐसा लगता है कि किसी भी प्रकार की निर्विकारता व्यवहार की ओर ले जाती है, जो शुरू में बालिस्टिक लगती है, लेकिन जो समय बढ़ने के साथ ही विवादास्पद हो जाती है, इसलिए आप एक शासन और एक बीच संक्रमण कर रहे हैं $t$ शासन। इसके उदाहरण के लिए उपरोक्त पेपर में आकृति 2 देखें। यह स्वाभाविक व्यवहार प्रतीत होता है क्योंकि आपका राज्य धीरे-धीरे सुसंगतता खो देता है। $t^{\frac{1}{2}}$

यह सुझाव देता है कि विचरण कभी केवल या , और इसलिए चलना रूप में फैलता है $t$ $t^2$ या। $t^{\frac{1}{2}}$ $t$

हालांकि, ठीक यही बात क्वांटम मेट्रोलॉजी में होती है जब शोर पेश किया जाता है, लेकिन एक मध्यवर्ती स्केलिंग (उदाहरण के लिए जेए जोन्स एट अल, विज्ञान, 324, 5931 (2009) देखें, arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 पर काबू पाने के लिए मात दी जा सकती है । आदि।)। इसे प्राप्त करने का एक तरीका मध्यवर्ती माप करना है।

कल्पना कीजिए कि आप हर बार के बाद वाकर की स्थिति को मापते हैं तरंग को ध्वस्त करते हुए, और बीच में मुक्त विकास की अनुमति देते हैं। अब, कल्पना करें कि हम सिस्टम को कुल समय लिए विकसित करना चाहते हैं । तो फिर इस समय के बाद वॉकर की स्थिति में विचरण किया जाएगा $T$ $t=nT$ $\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$ । अन्य विकृति की अनुपस्थिति में, हम जानते हैं कि वॉकर बैलिस्टिक रूप से चलता है, और इसलिए , और इसलिए । लेकिन, जैसा कि , हम ले जा सकते हैं और । इस प्रकार $\mbox{Var}(x(T)) = T^2$ $\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$ $t=nT$ $n\propto t^k$ $T\propto t^{1-k}$ । इस तरह आप माप अंतराल को उचित रूप से चुनकर किसी भी मध्यवर्ती स्केलिंग को प्राप्त कर सकते हैं। $\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

'बैलिस्टिक' व्यवहार क्या है?

— सुरेश वेंकट

t^{2}

$t^2$

t

$t$

t \to \infty

$t \rightarrow \infty$

T

$T$

f (n)

$f(n)$

n

$n$

@ आर्टम: हां, मैं मानता हूं कि यह अजीब और अस्वाभाविक है, लेकिन इसके लिए एक कारण है, कम से कम मेट्रो के संदर्भ में जिसमें यह मूल रूप से दिखाई देता है। विचार यह है कि डिकॉयनेस आमतौर पर लागू करेगा

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$

@Artem: प्राकृतिक विकास के लिए आप बस एक क्षेत्र है जहाँ एक संक्रमण क्षेत्र के साथ बैलिस्टिक प्रसार होता है, पर निरंतर वृद्धि को धीमा कर देता है

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$