एक मिलान खोजना जिसका संकुचन एक ग्राफ में आर्क्स की संख्या को कम करता है

Question

मिश्रित ग्राफ को किनारों और arcs , में एक मिलान खोजें जो में चापों की संख्या को कम करता है , जहाँ को मिलान किए गए शीर्षों को संकुचित करके और हटाकर से प्राप्त किया जाता है। समानांतर चाप।ई ए ई जी / एम जी / एम $G=(V,E,A)$$E$$A$$E$$G/M$$G/M$$G$

क्या (निर्णय संस्करण) यह समस्या एनपी-पूर्ण है? क्या साहित्य में इसका अध्ययन किया गया है?

Comments

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपके पास आर्क्स हैं या नहीं?

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: वास्तव में, को अप्रत्यक्ष नहीं किया जा सकता है। मुद्दा यह है कि किनारों का एक सेट परिभाषित करता है कि क्या कोने मेल खाते हैं और मिलान किनारों के दूसरे सेट में संकुचन के बाद किनारों की संख्या को कम करता है। $A$

— माक्र्स रिट

आह अच्छा। इसलिए वास्तव में इस सवाल का सरलीकरण सिर्फ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ जी के बिना किया जा सकता है, दो सेट ई और ए के बिना

— सुरेश वेंकट

मुझे यकीन नहीं है। जब किनारों को अप्रत्यक्ष किया जाता है, तो हम प्रत्येक किनारे को दो निर्देशित लोगों द्वारा प्रतिस्थापित करके निर्देशित मामले में समस्या को कम कर सकते हैं; लेकिन निर्देशित मामले में, संकुचन के बाद चाप की संख्या उनकी दिशा पर निर्भर करती है, क्योंकि एक ही कोने के बीच दो चाप समानांतर होने की आवश्यकता नहीं है। तो बस चाप की दिशा की उपेक्षा, इष्टतम मिलान अलग हो सकता है।

— मार्कस रिट्ज

Answer 1

मुझे नहीं पता कि आपका इरादा ई में अप्रत्यक्ष किनारों को अनुमति देने के लिए है और ए में समानांतर है या नहीं, लेकिन यह अंत में कोई फर्क नहीं पड़ता। इस उत्तर में, हम मानते हैं कि आप किनारों और चापों को समानांतर नहीं होने देते।

एक विशेष मामले पर विचार करें जहां ए में प्रत्येक चाप के लिए , ए में विपरीत दिशा में चाप भी होता है। इस मामले में, हम आर्क्स के उन्मुखीकरण को अनदेखा कर सकते हैं और उन्हें अप्रत्यक्ष मान सकते हैं। हम ई काले किनारों और ए लाल किनारों में किनारों को कहते हैं ।

यहां तक ​​कि इन दो प्रतिबंधों के तहत, समस्या मैक्स -2 एसएटी से कम करके एनपी-पूर्ण है। चलो φ में एक 2CNF सूत्र होना n चर के साथ मीटर खंड। एक ग्राफ का निर्माण जी के साथ 3 n कोने v 1 , ... , वी एन , एक्स 1 , ... , x n , ˉ एक्स 1 , ... , ˉ एक्स एन के रूप में इस प्रकार है। जी में 2 हैं$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$n काले किनारों: और ( v मैं , ˉ एक्स मैं ) के लिए मैं = 1, ..., एन । जी में 5 ($(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$लाल किनारों। सबसे पहले, कनेक्टवीमैंऔरवीजेके लिएमैं≠जेएक लाल किनारे से। इसके बाद, हर विशिष्ट चर के लिएxमैंऔरएक्सजे, शाब्दिक के चार जोड़े पर विचार(एल,एल')=(एक्समैं,एक्सजे),(एक्समैं, ˉ एक्स जे),( ˉ एक्स मैं,एक्स$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$ । कनेक्ट शाब्दिक एल और एल ' एक लाल बढ़त यदि और केवल यदि खंड द्वारा ( ˉ एल ∨ ˉ एल ' ) में प्रकट नहीं होताφ।$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

यह स्पष्ट है कि हमें संकुचन के बाद लाल किनारों की संख्या को कम करने के लिए केवल काले किनारों में अधिकतम मिलान पर विचार करना होगा। यह भी स्पष्ट है कि हर अधिक से अधिक मिलान है एम काले किनारों में होते हैं n जोड़ने किनारों करने के लिए एल मैं ∈ { x मैं , ˉ एक्स मैं } के लिए मैं = 1, ..., एन । सत्य असाइनमेंट { l 1 , … , l n } के साथ इस अधिकतम मिलान एम को पहचानें । यह सत्यापित करना आसान है कि एम को अनुबंधित करने के बाद$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$और समानांतर किनारों को हटाते हुए, ग्राफ में ठीक लाल किनारे, जहांkइस सत्य असाइनमेंट से संतुष्ट क्लॉज़ की संख्या है। इसलिए, काले किनारों में मिलान के बाद लाल किनारों की संख्या को कम करना, संतुष्ट क्लॉस की संख्या को अधिकतम करने के बराबर है।$4\binom{n}{2}-k$

Comments

धन्यवाद! (टाइपो: खंड होना चाहिए ।)$(\bar{l}\lor\bar{l'})$

— मार्कस Ritt

@ मारकस: आपका स्वागत है, और टाइपो को इंगित करने के लिए धन्यवाद।

— Tsuyoshi Ito