क्या पॉलीटोप्स (सभ्य) विस्तारक के किनारे-शीर्ष ग्राफ हैं?

Question

यह प्रश्न बहुपद हिर्श अनुमान (PHC) से प्रेरित है। यह देखते हुए कि -acacet polytope in , क्या इसके एज-वर्टेक्स ग्राफ का स्पेक्ट्रल गैप है (इसे कहो ) लोअर बाय ? ध्यान दें कि कोने पर चक्र ग्राफ दिखाता है कि, यहां तक ​​कि , वर्णक्रमीय अंतर जितना छोटा हो सकता है ; इसलिए अनुमान लगाया गया है - अगर सच है - लगभग तंग होगा।$n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$

एक हाँ जवाब PHC का मतलब होगा। वास्तव में, यह भी मतलब होगा कि रैखिक कार्यक्रमों को केवल पॉलीटॉप वर्टिकल पर एक यादृच्छिक चलना द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है, और यह एल्गोरिथ्म भी उद्देश्य फ़ंक्शन पर अधिक ध्यान नहीं दे रहा है! यह सच होना बहुत अच्छा लगता है।

तो, इस समस्या की स्थिति क्या है: खुली (जैसे पीएचसी), या गलत? यदि झूठे हैं, तो क्या सरल प्रतिकृतियां हैं?

नोट : मुझे बस विस्तारक परिभाषित करने में शामिल सामान्य जटिलताओं के बारे में पता चला है: नियमित या द्विदलीय होने की आवश्यकता नहीं है। मुझे उम्मीद है कि इन दोनों तकनीकी मुद्दों को मानक तरीकों का उपयोग करके दूर किया जा सकता है, और विशेष रूप से, वे मेरे प्रश्न को तुच्छ नहीं बनाते हैं। (यदि मैं गलत हूं तो मुझे बताएं!)$G$

Comments

क्या कोई यह समझा सकता है कि यह प्रश्न कैसे सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के यादृच्छिक यादृच्छिक धुरी नियमों के लिए नए उपसमुच्चय कम सीमाओं से संबंधित है? ओलिवर फ्रीडमैन, थॉमस ड्यूडहोम हैनसेन और उरी ज़्विक। 2011. सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के लिए यादृच्छिक धुरी नियमों के लिए Subexponential निचले सीमा। कंप्यूटिंग के सिद्धांत (STOC '11) के 43 वें वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही में। एसीएम, न्यूयॉर्क, एनवाई, यूएसए, 283-292। DOI = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— टायसन विलियम्स

Answer 1

0/1-पॉलीटोप्स के लिए (सभी शीर्ष निर्देशांक 0 या 1 हैं), यह सच नहीं है। मिहेल और वाज़िरानी द्वारा एक अनुमान है कि 0/1-पॉलीटोप के ग्राफ का किनारा विस्तार कम से कम एक है। एक पेपर में अधिक जानकारी का वर्णन वोल्कर काइबेल द्वारा किया गया है ।

मुझे दो बातों पर ध्यान देना चाहिए। (१) ० / १-बहुपद के लिए, हिर्श अनुमान सत्य है । (२) जब किसी पॉलीटॉप के कोने पर बेतरतीब चलना होता है, तो हमें संभावित पतन की देखभाल करनी होगी। एक शीर्ष बहुत सारे ठिकानों के अनुरूप हो सकता है, और इसलिए यदि हम आधारों पर एक यादृच्छिक चलना करते हैं, तो पैदल एक ही शिखर पर रह सकते हैं। यदि हम शीर्ष पर एक यादृच्छिक चलना चाहते हैं, तो हमें एक प्रक्रिया करनी होगी जो एक यादृच्छिक आसन्न शीर्ष दे।

Answer 2

$n^{[d/2]}$

मैंने "ड्यूल-टू-पड़ोसी" पॉलीटोप्स के लिए 1 / पाली (एन) पृथक्करण साबित किया। (यह बहुपद Hiresch अनुमान पर मेरा पहला शॉट था।) "" उत्तल पोलीटोप्स और f- सदिश सिद्धांत के रेखांकन का व्यास "अनुप्रयुक्त ज्यामिति और असतत गणित, 387–411, DIMACS सर्ज। असतत गणित। सिद्धांत। संगणक। , 4, आमेर। गणित।, प्रोविडेंस, आरआई, 1991।