रेखांकन का निर्माण, जहाँ हर जोड़ी में एक अनोखा आम पड़ोसी होता है

Question

चलो पर एक साधारण ग्राफ होना कोने डिग्री के कोई शिखर के साथ । मान लीजिए कि किसी भी दो कोने के लिए , उन दोनों से सटे एक अद्वितीय शीर्ष है। यह ए कोर्स इन कॉम्बिनेटरिक्स , वैन लिंट और विल्सन से एक अभ्यास है , जिससे यह साबित हो सके कि ऐसा ग्राफ नियमित है।एन ( एन > 3 ) एन - 1 $G$$n$$(n > 3)$$n − 1$$G$

मेरा प्रश्न, हालाँकि, यह है कि क्या रेखांकन भी दिए गए अवरोधों को संतुष्ट करता है। समस्या-समाधान सत्र के दौरान मूल अभ्यास पर चर्चा करते हुए, किसी ने पूछा कि क्या हम एक ग्राफ के उदाहरण के साथ आ सकते हैं जहां हर जोड़ी में एक अनूठा आम पड़ोसी है, और कोई वैश्विक कोने नहीं हैं। न तो हम निर्माण के लिए एक ठोस उदाहरण या प्रक्रिया के साथ आने में सक्षम थे, न ही हमने एक प्रमाण स्थापित किया कि किसी भी ग्राफ में ये गुण नहीं हैं।

कोई सुझाव?

नोट: जैसा कि यह साबित करने के लिए कि ऐसा ग्राफ नियमित है, यह बिल्कुल सीधा हो जाता है, किसी न किसी जोड़ी के पड़ोसियों को जोड़े रखने के लिए अद्वितीय-आम-पड़ोसी मानदंडों का उपयोग करके इस तथ्य को स्थापित करना है कि हर जोड़ी कोने में समान डिग्री होती है, और फिर नो-ग्लोबल-वर्टेक्स्ट बाधा की मदद से एक ट्रांज़िटिविटी तर्क हमें देता है कि ग्राफ नियमित है।

Answer 1

यदि आपको "डिग्री की कोई वर्टेक्स " की स्थिति से छुटकारा नहीं मिलता है , तो संपत्ति के साथ रेखांकन, जो कि हर दो कोने में एक आम पड़ोसी है बिल्कुल दोस्ती के ग्राफ (त्रिकोण का एक सेट एक आम वर्टेक्स पर एक साथ चिपके हुए) हैं; जैसा कि जुड़ा हुआ लेख बताता है, यह एर्ड्स, रेनी और एसओएस का एक प्रमेय है। लेकिन जाहिर है, ऐसे सभी ग्राफ़ में डिग्री का एक शीर्ष है ; एकमात्र नियमित एक त्रिकोण है। तो आपके प्रश्न का उत्तर यह है कि नहीं, आम पड़ोसी संपत्ति के साथ एक ग्राफ और डिग्री के बिना- वर्टेक्स मौजूद नहीं है।एन - 1 एन - $n-1$$n-1$$n-1$

Comments

क्यों धन्यवाद - यह उत्कृष्ट है। यह उन सभी कठिनाईयों की भी व्याख्या करता है, जो हम इन रेखांकन को वैश्विक शीर्ष के बिना बनाने के साथ कर रहे थे!

— नीलधारा