साथ PARITY : आसान प्रमाण?

$AC^0$ न गेट्स के साथ निरंतर गहराई वाले बहुपद आकार के सर्किटों का वर्ग है और अनबाउंड फैन-इन और OR गेट्स हैं, जहां इनपुट्स और गेट्स भी अनबाउंड फैनआउट हैं।

अब एक नई कक्षा पर विचार करें, इसे जो तरह है, लेकिन जिसके लिए इनपुट्स और गेट्स में अधिकांश । यह वर्ग स्पष्ट रूप से । वास्तव में, यह में कड़ाई से निहित है , जैसा कि यहां उल्लेख किया गया है । इसलिए, में स्पष्ट रूप से नहीं है । $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

वहाँ समता के एक सबूत है जो करता है नहीं भी के लिए के माध्यम से जाने ? दूसरे शब्दों में, क्या कोई ऐसा सबूत है जो स्विचिंग लेम्मा या रेज़बोरोव / स्मोलेंस्की विधि जैसी शक्तिशाली तकनीकों का उपयोग नहीं करता है? $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— एडम पैत्ज़निक
स्रोत

इसे साहित्य में कहा जाता है: qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

नहीं, यह नहीं है, क्योंकि फैन अनबाउंड है।

— डोमटोटर

आह, मैंने फैनआउट शब्द को गलत बताया। इशारा करने के लिए धन्यवाद।

— हिसियन-चिह चांग 張顯 '

संबंधित पोस्ट @Kaveh: cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800 , एक्सपोज़र बढ़ाने के लिए नीचे टिप्पणी से ले जाया गया।

— ह्इस-चिह चांग 張顯 '

वैसे 'बाउंडेड फैनआउट' क्या है?

— xxx ---

जवाबों:

मुझे कुछ याद आ सकता है, लेकिन फॉर्मूला के समान नहीं है? चूँकि प्रत्येक इनपुट बिट पर गेट्स की एक अधिक से अधिक संख्या पर प्रभाव हो सकता है, हम बस यह मान सकते हैं कि हर गेट का केवल एक आउटपुट होता है (संभवतः कुछ चीज़ों की नक़ल करने के बाद) और हम पुश न कर पाने वाले गेट्स को भी नीचे धकेल सकते हैं। हम जानते हैं कि समता का सूत्र आकार n ^ 2 है (देखें ट्रॉय जे। ली, " स्थायित्व का सूत्र आकार ", 2007) और चूंकि हमारे सर्किट के हर स्तर पर हमारे पास केवल O (n) द्वार हो सकते हैं, इससे पता चलता है कि समता । $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— domotorp
स्रोत

तो "फॉर्मूला" से आपका मतलब है लीनियर साइज फॉर्मूला, है ना? और आकार से आपका मतलब सूत्र के आकार से है ...

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

मुझे लगता है कि आपका उत्तर अंत में सही है, लेकिन तर्क अधिक सूक्ष्म है। गेट फैनआउट को सर्किट के कुछ हिस्सों को डुप्लिकेट करके कम किया जा सकता है, लेकिन इससे सूत्र का आकार बढ़ जाता है। (फॉर्मूला का आकार इनपुट तारों की संख्या के बराबर है।) कहें कि गेट फैनआउट अधिकतम 2 पर है। फिर नीचे की परत के गेट्स के फैनआउट को कम करने के लिए मुझे प्रत्येक गेट और प्रत्येक इनपुट को फॉर्मूला के आकार को दोगुना करने की आवश्यकता है। प्रत्येक परत के लिए इस प्रक्रिया को दोहराने से आकार

का सूत्र उत्पन्न होता है जहां

सर्किट की गहराई है। हमारे मामले में

एक स्थिर है इसलिए सूत्र का आकार अभी भी रैखिक है।

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— एडम पैत्ज़निक

यह वही था जो मेरा मतलब था, अगर मेरा एक्सपोज़र खराब था तो क्षमा करें।

— १

@Aalandro: मुझे खेद है अगर मैंने आपके सवाल को गलत समझा। लेकिन मेरी पहली धारणा है कि एक किसी भी गहराई-डी बदल सकता है सर्किट आकार के गहराई-डी में सूत्र (1 फैनआउट) आकार के बारे में : बस नीचे से शुरू परत-दर-परत जाना (आदानों के बगल में) परत, और एक ही गेट की कई प्रतियाँ ले; प्रत्येक परत पर गेट्स की संख्या अधिकांश कारक से बढ़ सकती है । इसका मतलब है कि किसी भी लोअर बाउंड के लिए सूत्रों का तात्पर्य एक लोअर बाउंड के लिए सर्किट $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ । इसलिए, यह आसान लोअर बाउंड सबूत उम्मीद करना मुश्किल है सूत्रों: की दुनिया में , एक निरंतर है। $AC^0$ $AC^0$ $d$

Btw अपनी भाषा (बिल्कुल साथ तार ) मोनोमियल के साथ एक मामूली DNF (गहराई -2 सूत्र ) है । $X$ $1$ $n$

— Stasys
स्रोत

यह है कि हम बेहतर कर सकती है मुझे लगता है

के बाद से प्रशंसक बहिष्कार घिरा रहे हैं, हम प्राप्त कर सकते हैं

जहां

अधिकतम पंखे की बाहर है। इसके अलावा, चूंकि प्रत्येक इनपुट बिट का उपयोग केवल बाउंड संख्या में किया जाता है, इसलिए सर्किट (

) का आकार रैखिक होता है।

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— केवह

एक और तरीका है देखने के लिए कि

कड़ाई में निहित है

कि के बाद से हर इनपुट सा सबसे कश्मीर में फैनआउट है, वहाँ ज्यादा से ज्यादा कर रहे हैं टिप्पणी करने के लिए है

पहली परत में फाटक, और

में फाटकों दूसरी परत और इतने पर। चूँकि गहराई स्थिर है, इसका मतलब है कि सर्किट में कुल मिलाकर

द्वार हैं। इस प्रकार किसी भी

फ़ंक्शन को सुपर-लीनियर साइज़ सर्किट की आवश्यकता होती है जो

।

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— रॉबिन कोठारी

क्या कोई मुझे बता सकता है कि यह "इनपुट चर की k प्रतियां से अधिक नहीं" मॉडल दिलचस्प क्यों है? गहराई होने पर भी। ऐसा मॉडल किस संदर्भ में उत्पन्न होता है? बस उत्सुक हूं।

— Stasys

@Stasys, दोनों एडम और मेरा सवाल क्वांटम वर्ग

पर काम से उत्पन्न होता

, जिसे एक प्रशंसक गेट के बिना परिभाषित किया गया है।

Q A C^{0}

$QAC^0$

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

@ एडम: धन्यवाद, वास्तव में, डोमोटर ने पहले ही एक गैर-

तर्क (ख्रापचेंको) का उल्लेख किया है । के रूप में cstheory.stackexchange.com/questions/1824/... रॉबिन कोठारी मनाया, वहाँ अभी तक एक और इस तरह के तर्क Krichevskii के दिखा रहा है कि सीमा-2 समारोह के बारे में आकार के फार्मूले की जरूरत है,

। फिर भी बेहतर, यह ज्ञात है कि सभी लेकिन 16 सममित बूलियन कार्यों को सुपर-लीनियर आकार के सूत्रों की आवश्यकता होती है। तो, आपके प्रश्न का उत्तर निश्चित रूप से "हां" के साथ दिया गया है।

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$

— Stasys