है

डी। बेरा, एफ। ग्रीन और एस। होमर (एसीएम सिगच न्यूज़ के पृष्ठ 36, जून 2007 वॉल्यूम 38, नंबर 2) द्वारा "स्मॉल डेप्थ क्वांटम सर्किट्स" के सर्वेक्षण में , मैंने निम्नलिखित वाक्य पढ़ा:

का शास्त्रीय संस्करण (जिसमें और गेट्स के पास सबसे अधिक निरंतर प्रशंसक हैं) तुलना में काफी कमजोर है । $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

इस दावे का एक संदर्भ गायब है। मैं इस वर्ग को कहूँगा , जहाँ अर्थ "बंधे हुए पंखे" से है। (कॉम्प्लेक्सिटी ज़ू नीचे है और मैं यह सत्यापित नहीं कर सकता कि ऐसी क्लास का पहले से ही साहित्य में नाम है)। यदि हम इनपुट बिट्स के लिए निर्बाध प्रशंसक मानते हैं, तो ये सर्किट आकार में एक बहुपद वृद्धि के लिए निरंतर गहराई के सूत्रों के बराबर प्रतीत होते हैं, इसलिए उपरोक्त दावा का कोई मतलब नहीं है। इसके बजाय, यदि हम इनपुट बिट्स के लिए बंधे हुए कट्टर को मान लेते हैं, तो मैं किसी भी भाषा के बारे में नहीं सोच सकता जो इस वर्ग को से अलग करती । एक संभावित उम्मीदवार भाषा हो सकती है $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ ,यानी, केवल एक 1. साथ तार की भाषा यह दिखाने के लिए आसान है , लेकिन मैं साबित होता है कि प्रबंधन नहीं किया । $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ $X \notin AC^{0}_{bf}$

प्रश्न हैं:

क्या वास्तव में से कमज़ोर है ? अगर यह है, किसी भी विचार या किसी भी संदर्भ पर यह कैसे साबित करना है? और ऐसी कौन सी भाषा है जो उन दो वर्गों को अलग करती है? बारे में क्या ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो
स्रोत

इनपुट बिट्स के फैन-बाउंडिंग को रैखिक आकार का सर्किट बना देगा। किसी भी

समारोह जो सुपर रेखीय आकार की आवश्यकता है उन्हें अलग कर देगा।

A C^{0}

$AC^0$

— केवह

@Kaveh: हो सकता है कि आप एक जवाब के रूप में, जो शायद एक स्पष्ट कार्य का एक उदाहरण है, जिसे सुपर-लीनियर आकार

सर्किट की आवश्यकता होती है और शायद एक संदर्भ जो आकार को कम से कम दिखाता है? (या अपने उत्तर में तर्क को शामिल करें यदि यह बहुत सरल है?)

A C^{0}

$AC^0$

— रॉबिन कोठारी

@Kaveh धन्यवाद। मुझे नहीं पता था कि

और रैखिक आकार स्थिर गहराई वाले सर्किट (जिसे

कहा जाता

) के बीच अलगाव ज्ञात था। संदर्भ एस। चौधुरी और जे। राधाकृष्णन द्वारा "सर्किट जटिलता में निर्धारक प्रतिबंध" है। @ क्या आप अपनी टिप्पणी का उत्तर दे सकते हैं?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

जैसा कि अनुवर्ती प्रश्न cstheory.stackexchange.com/questions/7447/… पर चर्चा की गई है ,

, रैखिक आकार सूत्र के समान है।

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— डोमटोटर

इनपुट बिट्स और गेट्स के फैन-आउट पर एक सर्किट के आकार को रैखिक बना देगा। चलो एक प्रशंसक से बाहर फाटक और आदानों की पर बाध्य हो। यह एक DAG है जिसकी अधिकतम डिग्री और अधिकतम लंबाई से । प्रत्येक स्तर में उपलब्ध तारों की संख्या में वृद्धि कर सकते हैं बार, और शीर्ष पर उपलब्ध तारों की संख्या है , तो सर्किट में तारों की कुल संख्या ज्यादा से ज्यादा है जो । $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

किसी भी समारोह जो सुपर रेखीय आकार की आवश्यकता कार्यों के वर्ग घिरे प्रशंसक-आउट (इनपुट बिट्स के लिए भी लागू) से साथ अलग कर देगा । यहाँ कुछ उदाहरण हैं: $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]: फ़ंक्शन जिसे सुपर-लीनियर आकार की आवश्यकता होती है वह $\mathsf{AC^0}$ -संयोजक चयनकर्ता $\frac{1}{4}$ । ए अनुमानित चयनकर्ता कोई भी कार्य है जिसका मान है: $\frac{1}{4}$
- जब भी sकी संख्यासबसे अधिक $0$ $1$ , $\frac{n}{4}$
- जब भी sकी संख्यासबसे अधिक $1$ $0$ , $\frac{n}{4}$
- या तो या हो सकता है। $0$ $1$
[Ros08] से पता चलता है कि -clique है कार्यों जटिलता ( इनपुट बिट्स के साथ एक ग्राफ के संभावित किनारों हैं कोने)। यह लिए सुपर लाइन आकार देता है । $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
यह संभव है कि किसी भी अनियंत्रित संरचना में किसी भी nontrivial (एक बिट से अधिक की आवश्यकता) के निर्धारित प्रेरित निर्माण में उदाहरण को 2 में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जैसे:
- दिए गए ग्राफ़ में लंबाई 2 के पथ का अस्तित्व,
- , $\#_1(x)=2$
चूँकि उन्हें बिट के आधार पर फाटकों की सुपर निरंतर संख्या की आवश्यकता होती है जो में संभव नहीं है । $\mathsf{AC^0_{bf}}$
सबसे आसान उदाहरण एक अनुलिपित्र गेट, यानी एक गेट है कि बनाता है अपने इनपुट बिट की प्रतियां। में यह संभव नहीं है क्योंकि गेट्स का केवल प्रत्येक इनपुट बिट पर निर्भर कर सकता है। $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

इसके अलावा आकार के का कोई सर्किट अधिकांश के आकार के एक सूत्र में बदल सकता है और इसलिए $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ आकार के सूत्रsuperlinear के किसी भी समारोह तोसूत्र जटिलता में नहीं होगी। $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

संदर्भ:

[CR96] एस। चौधुरी और जे। राधाकृष्णन, " सर्किट जटिलता में निर्धारण प्रतिबंध ", १ ९९ ६

[रोस ० On] बेंजामिन रोसमैन, " ऑन-कांस्टेंट-डेप्थ कॉम्प्लेक्सिटी ऑफ के-क्लिक ", २०० 2008

[जुक] स्टाइस जुकना, " बुलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी: एडवांस एंड फ्रंटियर्स ", ड्राफ्ट

— कावेह
स्रोत

के बीच एक अधिक हाल जुदाई

और

से इस प्रकार इस परिणाम बेंजामिन Rossman की वजह से। वह दिखाता है कि सभी निरंतर

(कुछ बढ़ते

) और निरंतर

लिए कोई भी गहराई

सर्किट

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ) वास्तव में अनंत है।

— श्रीकांत

मैंने उत्तर को अपडेट किया, धन्यवाद एलेसेंड्रो, डोमोटर, रॉबिन, श्रीकांत और स्टैसिस।

— केवह

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

@Kaveh: द्वारा तो

, आप लंबाई के रास्ते मतलब

, आप ध्यान में रखना चाहिए देखते हैं कि

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

A C^{0}

$AC^0$