समय और क्वेरी जटिलता के बीच व्यापार बंद


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समय जटिलता या सर्किट कम सीमा के साथ सीधे काम करना डरावना है। इसलिए, हम निचले सीमा पर एक हैंडल प्राप्त करने के लिए क्वेरी जटिलता (या निर्णय-वृक्ष जटिलता) जैसे उपकरण विकसित करते हैं। चूंकि प्रत्येक क्वेरी में कम से कम एक इकाई चरण होता है, और प्रश्नों के बीच संगणना को मुक्त रूप में गिना जाता है, समय जटिलता कम से कम क्वेरी जटिलता जितनी अधिक होती है। हालाँकि, क्या हम अलगाव के बारे में कुछ कह सकते हैं?

मैं शास्त्रीय, या क्वांटम साहित्य में काम के बारे में उत्सुक हूं, लेकिन क्यूसी से उदाहरण प्रदान करता हूं क्योंकि मैं अधिक परिचित हूं।

कुछ प्रसिद्ध एल्गोरिदम जैसे कि ग्रोवर की खोज और शोर की अवधि का पता लगाना, समय जटिलता क्वेरी जटिलता के पॉली-लॉगरिदमिक कारकों के भीतर है। दूसरों के लिए, जैसे कि हिडन सबग्रुप समस्या, हमारे पास बहुपद क्वेरी जटिलता है , फिर भी बहुपद समय एल्गोरिदम का पता नहीं है।

चूंकि समय और क्वेरी जटिलता के बीच एक अंतर संभावित रूप से मौजूद है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि एक इष्टतम समय जटिलता एल्गोरिदम में क्वेरी क्वेरी जटिलता एल्गोरिथम के समान ही क्वेरी जटिलता है।

क्या समय और क्वेरी जटिलता के बीच व्यापार-नापसंद के उदाहरण हैं?

क्या ऐसी समस्याएं हैं जहां सर्वश्रेष्ठ ज्ञात समय जटिलता एल्गोरिथ्म में सर्वश्रेष्ठ ज्ञात क्वेरी जटिलता एल्गोरिदम की तुलना में एक अलग क्वेरी जटिलता है? दूसरे शब्दों में, क्या हम बीच-क्वेरी संचालन को आसान बनाने के लिए अधिक क्वेरी कर सकते हैं?

या क्या कोई तर्क है जो दर्शाता है कि हमेशा एक asymptotically इष्टतम क्वेरी एल्गोरिथ्म का एक संस्करण होता है जिसमें asymptotically सर्वश्रेष्ठ समय-जटिलता के साथ कार्यान्वयन होता है?


क्या आप एक प्राकृतिक समस्या चाहते हैं या एक कृत्रिम समस्या भी ठीक है?
रोबिन कोठारी

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प्राकृतिक समस्याओं को प्राथमिकता दी जाती है, लेकिन कृत्रिम समस्याएं बिना जवाब के बेहतर होती हैं।
Artem Kaznatcheev

जवाबों:


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यहां निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक कृत्रिम कार्य बनाने का प्रयास किया गया है:

  • समस्या को प्रश्नों के साथ हल किया जा सकता है , लेकिन एक्सप ( n ) समय की आवश्यकता होती है ।O(logn)exp(n)
  • समस्या को समय के साथ हल किया जा सकता है लेकिन इसके लिए O ( n ) क्वेरीज़ की आवश्यकता होती हैO(n)O(n)

इनपुट आकार । पहले लॉग एन बिट्स (चलो इस स्ट्रिंग x को कॉल करें) इनपुट को EEXP के लिए पूर्ण समस्या में एन्कोड करें। अगले n बिट्स (चलो इस स्ट्रिंग को y कहते हैं) की संपत्ति है कि वे सभी शून्य हैं यदि और केवल अगर x ईईएक्सपी-पूर्ण समस्या का कोई उदाहरण नहीं है।n+lognlognn

शब्दों में, पहले बिट्स एक कठिन समस्या को एन्कोड करते हैं, और अगले एन बिट्स आपको समस्या के समाधान के बारे में एक सुराग देते हैं। हालांकि, को देखकर समाधान यह पता लगाने की n बिट श्रृंखला के आप कर Ω ( एन ) प्रश्नों।lognnnΩ(n)

तो इस समस्या को या तो केवल पहले बिट्स को पढ़ने और एक्सप (एन) समय या एन बिट्स को पढ़ने और केवल रैखिक समय का उपयोग करके हल किया जा सकता है ।lognn

एक ही फ़ंक्शन क्वांटम क्वेरी जटिलता के लिए जाता है .. जहाँ आवश्यक हो, वर्गमूल चिह्न डालें।


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रॉबिन के उदाहरण का एक और चरम संस्करण:

बता दें कि इनपुट साइज़ , जिसमें पहले n - 1 बिट्स (इस स्ट्रिंग x को कॉल करें ) एक ट्यूरिंग मशीन T x एन्कोडिंग है । ठीक कुछ समारोह ( एन ) । मान लें कि स्ट्रिंग का अंतिम बिट 1 है यदि ट्यूरिंग मशीन T x हॉल f ( n ) से कम चरणों में है। समस्या यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या टी एक्स एफ से कम हैnn1xTxf(n)1Txf(n)Tx चरणोंऔरकी समता एक्स भी है।f(n)x

इस प्रकार, प्रश्नों को बनाकर समस्या को समय O ( f ( n ) ) में हल किया जा सकता है , जबकि n प्रश्न बनाने से समस्या को समय O ( n ) में हल किया जा सकता है ।n1O(f(n))nO(n)


आपका शायद मतलब था कि अंतिम बिट ऐसा है कि एक्स की समता यहां तक ​​कि अगर ट्यूरिंग मशीन समय में रुक जाती है (अन्यथा सवाल केवल एक क्वेरी की आवश्यकता है;))। यह अच्छा है और समय और क्वेरी के बीच किसी भी प्रकार का अलगाव देने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है। किसी भी फ़ंक्शन और g ( n ) < n पर विचार करें , फिर x के पहले g ( n ) बिट्स को टर्निंग मशीन का विवरण दें। चलो अन्य n - जी ( एन ) की एक्सg(n)=ω(1)g(n)<ng(n)xng(n)x बिट्स ऐसे हों कि समता भी iff होx h से कम f ( n ) > n चरणों में हो। फिर हम एक है जी ( एन ) बनाम एन की कीमत पर प्रश्नों Θ ( ( एन ) ) बनाम n समय में। Txf(n)>ng(n)nΘ(f(n))n
Artem Kaznatcheev

मेरी पिछली टिप्पणी के पहले वाक्य की अवहेलना करें।
Artem Kaznatcheev

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मुझे रॉबिन कोठारी का जवाब और जो फिट्ज़सिमों का संशोधन पसंद है। अपने उत्तरों के एक स्पष्ट विस्तार में वे छोटे और बड़े क्वेरी जटिलता और बड़े और छोटे समय की जटिलता के बीच किसी भी पृथक्करण अनुपात (निरंतर-बनाम-गैर-स्थिर को छोड़कर) को प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, उनके कार्यों को गैर-आंशिक बनाने का कोई स्पष्ट तरीका नहीं है। मैं एक प्राकृतिक समस्या की ओर संकेत करना चाहता हूं, जहां हमारा अलगाव है और यह बताता है कि कुल कार्यों के लिए बड़ी अलगाव कठिन हैं।


एक प्राकृतिक समस्या

बेन रिइचर्ड ने सूत्र-मूल्यांकन समस्या को ईमेल द्वारा बताया। वैरिएबल पर सामान्य रीड-वन-एंड फॉर्मूला के मूल्यांकन के लिए क्वांटम क्वेरी की जटिलता ity ( ity) हैn। हालाँकि,O( √)Θ(n)-क्वारी एल्गोरिथ्म समय कुशल नहीं है। यहाँ, सबसे तेजी से जाना जाता एल्गोरिथ्म बनाने के लिए दिखाया गया हैहे(O(n)क्वेरीज़ और समय के साथ पॉलीग्लारिथ्मिक रूप से बदतर। इस प्रकार हमारे पास एक प्राकृतिक कुल समस्या है जहां एक अलग अलगाव है। हालांकि इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि इस अलगाव का अस्तित्व है।O(nlogn)

कुल कार्यों को अलग करना मुश्किल है?

मेरे लिए, ऐसा लगता है कि यह साबित कार्यों के साथ कुल कार्यों को खोजने के लिए कठिन है। यह दिखाने के लिए कि कुल और आंशिक कार्यों का मामला अलग है, मैं कुल फ़ंक्शन के लिए क्वेरी-इष्टतम और समय-इष्टतम एल्गोरिदम की क्वेरी जटिलताओं के बीच सबसे बड़े अलगाव पर एक तर्क प्रदान करूंगा।

का उपयोग करते हुए साइमन के [1] कम हम देख सकते हैं कि अगर एक समारोह पर निर्भर करता है के लिए बाध्य के वैरिएबल की, हम क्वेरी कम से कम करने की आवश्यकता होगी Ω ( लॉग मीटर ) उनमें से। दूसरी ओर, हम कभी भी सबसे अधिक क्वेरी मीटर होगा । ध्यान दें कि सभी एन वेरिएबल्स को क्वेरी करने का कोई कारण नहीं है , क्योंकि आउटपुट एन - एम से स्वतंत्र है (उन मृत बिट्स को कॉल करें) और कुल फ़ंक्शन के लिए उन मृत बिट्स को देखकर कोई गुप्त संरचना सामने नहीं आएगी। इस प्रकार, यहां तक ​​कि कुल फ़ंक्शन के लिए सबसे अधिक समय-इष्टतम एल्गोरिदम को अधिकांश मी प्रश्नों का उपयोग करने के लिए संशोधित किया जा सकता है, बस यह मानकर कि मृत बिट्स सभी 0 हैंmΩ(logm)mnnmm0

इसलिए अगर हम लिखते हैं , फिर कुल फ़ंक्शन के लिए, जटिलता ( q 1 ( n ) , t 1 के साथ क्वेरी-इष्टतम एल्गोरिदम दिया गया(query complexity,time complexity) साथ, जटिलता के साथ एक समय-इष्टतम एल्गोरिथ्म है ( q 2 ( n ) , t 2 ( एन ) ) के साथ क्ष 2 ( एन ) ( क्ष 1 ( एन ) ) और( एन )(q1(n),t1(n))(q2(n),t2(n))q2(n)f(q1(n)) । दूसरे शब्दों में, हम कुल कार्यों के लिए क्वेरी-इष्टतम और समय-इष्टतम एल्गोरिदम के बीच क्वेरी जटिलता में एक घातीय पृथक्करण से अधिक नहीं हो सकते। मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर ये वास्तव में ढीले सीमा में सुधार किया जा सकता है।f(n)=O(2n)

[१] एचयू साइमन, "एक तंग जेड (लॉगलॉग) -समय पर समांतर रैम के लिए गैर-अध: पतन बूलियन कार्यों की गणना करने के लिए": सीमैप। संगणना सिद्धांत की नींव पर, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स, वॉल्यूम। 158, स्प्रिंगर, बर्लिन, 1983, पीपी। 439–444।

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