नियमित रेखांकन में चालकता और व्यास

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

अधिक समवर्ती मान लें कि मुझे पता है कि व्यास कम से कम (या अधिकतम) । यह मुझे आचरण के बारे में क्या बताता है, अगर कुछ भी हो? और, इसके विपरीत, मान लीजिए कि मैं जानता हूं कि चालन सबसे अधिक (या कम से कम) । यह मुझे व्यास के बारे में क्या बताता है, अगर कुछ भी हो? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— रॉबिन्सन
स्रोत

ऐसा लगता है कि आपके द्वारा रही संपत्ति ग्राफ़ चालन के बजाय ग्राफ़ विस्तार है , जिसे रूप में परिभाषित किया गया है , जहां को में रूप में परिभाषित किया जाता है । आपको कौन सी संपत्ति चाहिए?

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— हसीन-चिह चांग 張顯 '

@ Hsien-Chi चांग - चूंकि ग्राफ नियमित है, मेरा मानना है कि आचरण और विस्तार डिग्री गुणक कारक तक समान होना चाहिए ।

d

$d$

— रॉबिन्सन

आह, मैंने नहीं देखा कि ग्राफ नियमित है। स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— हसीन-चिह चांग 張顯 '

@ Hsien-ChihChang 張顯 I: मैंने सोचा था कि ग्राफ विस्तार और ग्राफ चालन एक ही अवधारणा है। क्या आपकी टिप्पणी में परिभाषा पर संदर्भ हैं?

— टिम

जैसा कि Hsieh नोट करता है, आपकी चालकता की परिभाषा एक कारक से मैं जानता हूँ , जहाँ नियमित ग्राफ की डिग्री है। यह नियमित रेखांकन के लिए बढ़त विस्तार के रूप में भी जाना जाता है। $d$ $d$

किनारे के विस्तार और व्यास के बीच एक संबंध दिखाने में काफी आसान है। सहज रूप से, एक विस्तारक एक "पूर्ण ग्राफ" जैसा है, इसलिए सभी कोने एक दूसरे के "करीब" हैं। अधिक औपचारिक रूप से, चलो

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

किसी भी सेट को से ले । कम से कमकिनारों से बाहर आने के और के बाद से है नियमित, के पड़ोस (सहित ही) कम से कम आकार की है। उपपादन द्वारा इस दावे को लागू करना, से शुरू किसी शीर्ष के लिए , हम देखते हैं कुछ के लिए है कि , के -hop पड़ोस आकार की है कम से कम । इसलिए, किसी भी शीर्ष के -एचपी पड़ोस $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ को के -hop पड़ोस को काटना है , या ग्राफ से अधिक होगाकोने, एक विरोधाभास। मतलब आपके पास है $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

बेशक, यह भी इस प्रकार है कि व्यास पर एक निचली सीमा होने से किनारे के विस्तार पर एक ऊपरी बाध्यता होती है।

मुझे नहीं लगता कि छोटे व्यास का तात्पर्य चालकता से है। यदि आप नियमित रेखांकन पर जोर नहीं देते (और Hsieh की परिभाषा का उपयोग करते हैं), तो एक किनारे से जुड़े दो पूर्ण रेखांकन एक प्रतिरूप प्रदान करता है।

— साशो निकोलोव
स्रोत

मैं एक उत्तर पोस्ट करने वाला हूं और अब मुझे ऐसा नहीं करना है, मैं बस इसके बजाय आपका उत्थान कर सकता हूं;) अच्छे उत्तर के लिए धन्यवाद!

— ह्वेन-चिह चांग 張顯 '

मुझे आशा है कि कुल समय आप और मैंने शोध से दूर बिताए :) :)

— साशो निकोलेव जूल

@robinson: यह सरल तथ्य और तेजी से मिश्रण नियमित रेखांकन के विस्तारक परिवारों के कई (सबसे?) अनुप्रयोगों का आधार है। उदाहरण के लिए छोटे व्यास संपत्ति logspace में हल सेंट कनेक्टिविटी के लिए आवेदन का आधार है

— Sasho निकोलोव

मेरे मूल उत्तर में एक बग था: मैंने जो तर्क लिखा था, वह शीर्ष विस्तार के लिए था, लेकिन हम यहां किनारे विस्तार के साथ काम कर रहे हैं। मैंने बग को ठीक कर दिया है, और अब बाउंड थोड़ा खराब है

— साशो निकोलेव