मुलमुले का जीसीटी कार्यक्रम

कभी-कभी यह दावा किया जाता है कि पी बनाम एनपी प्रश्न जैसे जटिलता सिद्धांत के खुले प्रश्नों को निपटाने के लिए केतन मुल्मुले की ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत एकमात्र प्रशंसनीय कार्यक्रम है। कार्यक्रम के बारे में प्रसिद्ध जटिलता सिद्धांतकारों से कई सकारात्मक टिप्पणियां आई हैं। मुल्मुले के अनुसार वांछित परिणाम प्राप्त करने में लंबा समय लगेगा। सामान्य जटिलता सिद्धांतकारों के लिए क्षेत्र में प्रवेश करना आसान नहीं है और बीजीय ज्यामिति और प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर एक संभाल पाने के लिए काफी प्रयासों की आवश्यकता है।

जीसीटी को पी बनाम एनपी को निपटाने में सक्षम क्यों माना जाता है? यदि वहाँ पहुँचने में 100 वर्ष से अधिक समय लगने की उम्मीद है तो दावे का मूल्य क्या है? अन्य वर्तमान दृष्टिकोणों और अगले 100 वर्षों में उठने वाले इसके फायदे क्या हैं?
कार्यक्रम की वर्तमान स्थिति क्या है?
कार्यक्रम का अगला लक्ष्य क्या है?
क्या कार्यक्रम की कोई मौलिक आलोचना हुई है?

मैं उन उत्तरों को प्राथमिकता दूंगा जो सामान्य जटिलता सिद्धांतकार द्वारा समझे जाने वाले बीजगणितीय ज्यामिति और प्रतिनिधित्व सिद्धांत से न्यूनतम पृष्ठभूमि के साथ समझ में आएं।

— गुमनाम
स्रोत

आप FOCS पर Mulmuley के ट्यूटोरियल (पर उपलब्ध देखा techtalks.tv/talks/1301 ) और आप केन रेगन की प्रदर्शनी पढ़ें: theorie.informatik.uni-ulm.de/Personen/toran/beatcs/... ? मुलमुली ने निश्चित रूप से अपने अंतर्ज्ञान के लिए दिया कि वह क्यों सोचता है कि उसका कार्यक्रम व्यवहार्य है (और मुझे लगता है कि वह तर्क देता है कि यह कुछ हद तक आवश्यक है), और यह भी कि यह मुश्किल क्यों है।

— साशो निकोलेव

संबंधित ब्लॉग पोस्ट: 1 , 2 । स्कॉट भी लिखते हैं: "मुल्मुले का जीसीटी कार्यक्रम पी बनाम एनपी के लिए एकमात्र दृष्टिकोण है। मैंने देखा है कि पी में समस्याओं को हल करने के लिए बहुत से nontrivial तकनीकों के बारे में" जानने के लिए गंभीर आकांक्षाएं हैं (कम से कम, मिलान और रैखिक प्रोग्रामिंग) मेरे लिए, जीसीटी के पक्ष में शायद यह सबसे मजबूत तर्क है। "

— केव

मुझे लगता है कि GCT VP बनाम VNP पर लक्षित है और P बनाम NP नहीं।

— इडडू तजमेरेट

@ इदो: वास्तव में इसका उद्देश्य कई चीजों पर किया जा सकता है (वर्तमान में इसका उद्देश्य जितना है उससे अधिक)। "Perm v det over " के लिए इसका उद्देश्य बनाम (देखें arxiv.org/abs/0907.2850 )। हालांकि, परिमित क्षेत्रों और परमिट और हिरासत के अलावा अन्य कार्यों के लिए, इसे सीधे P बनाम NP पर लक्षित किया जा सकता है।

C

$\mathbb{C}$

\bar{V P_{w s}}

$\overline{VP_{ws}}$

V N P

$VNP$

— जोशुआ ग्रूचो

@ मोहम्मद: सिर्फ इसलिए कि एक समाधान अप्रत्याशित होगा और पूरी तरह से उपन्यास विचारों की आवश्यकता है इसका मतलब यह नहीं है कि समाधान कैसे जाएगा। वास्तव में, कई लोग पहले से ही मानते हैं कि किसी भी विधि द्वारा पी बनाम एनपी को हल करने के लिए पूरी तरह से उपन्यास विचारों की आवश्यकता होगी ...

— जोशुआ ग्रूचो

जवाबों:

जैसा कि कई अन्य लोगों द्वारा बताया गया है, इन सवालों में से कई पर मुल्मुले, रेगन और अन्य द्वारा पहले ही बहुत कुछ कहा जा चुका है। मैं यहां केवल एक संक्षिप्त सारांश प्रस्तुत करूंगा जो मुझे लगता है कि कुछ प्रमुख बिंदु हैं जो अभी तक टिप्पणियों में उल्लेख नहीं किए गए हैं।

जैसा कि GCT को को दिखाने में काफी हद तक सक्षम माना जाता है क्योंकि कई उत्तर पहले ही कहीं और दिए गए हैं और ऊपर की टिप्पणियों में, हालांकि मुझे लगता है कि किसी ने अभी तक यह उल्लेख नहीं किया है कि यह ज्ञात बाधाओं (relativization, albbrization, प्राकृतिक सबूतों) से बचने के लिए प्रतीत होता है )। जैसा कि इसके मूल्य - मुझे लगता है कि भले ही हमें 100 साल लग जाएं, हम इस कोण से अध्ययन करके रास्ते में जटिलता के बारे में कुछ नया सीखेंगे। $P \neq NP$
- बीजीटी में उत्पन्न होने वाले बीजीय किस्मों, अभ्यावेदन और एल्गोरिदम संबंधी प्रश्नों को समझने के लिए कुछ प्रगति की जा रही है। मुख्य शोधकर्ता मुझे पता है कि इस पर काम किसने किया है (कोई विशेष क्रम में नहीं): पी। बर्गिसर, सी। इकेनमेयर, एम। क्रिस्टलैंड, जेएम लैंड्सबर्ग, केवी सुब्रह्मण्यन, जे। ब्लासियाक, एल। मैनिवेल, एन। रस्सेरे, जे। वीमन, वी। पोपोव, एन। कयाल, एस। कुमार और पाठ्यक्रम के। मुल्मुले और एम। सोहोनी।
- अधिक संक्षिप्त रूप से, बर्गिसरर और इकेनमेयर ने अभी प्रस्तुत किया (एसटीओसी 2011) जीसीटी दृष्टिकोण ( ) का उपयोग करते हुए मैट्रिक्स गुणा पर कुछ मामूली कम सीमाएं , वर्तमान में सबसे अच्छी तरह से ज्ञात )। हालांकि ये निचले सीमाएं नई सीमाएं नहीं हैं, लेकिन वे कम से कम कुछ सबूत-की-अवधारणा देते हैं, जिसमें कि जीसीटी में मौजूद प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी वस्तुएं इस मॉडल समस्या पर इन मामूली निचली सीमाओं के लिए मौजूद हैं। $n^2 + 2$ $\frac{3}{2}n^2 +O(n)$
- एन। कयाल के पास परीक्षण के एल्गोरिथम प्रश्न पर एक दो पेपर हैं जब एक बहुपद दूसरे की कक्षा में है या दूसरे का प्रक्षेपण है। वह दर्शाता है कि सामान्य तौर पर ये समस्याएं एनपी-कठिन हैं, लेकिन स्थायी, निर्धारक और प्राथमिक सममित बहुपद जैसे विशेष कार्यों के लिए, पी में ये समस्याएं निर्णायक हैं। यह मुलमुले के कुछ सम्मेलनों की दिशा में एक कदम है। बंद - निर्धारक जैसे विशेष कार्यों के लिए पी में हैं)।
मेरे पास 2 के उत्तर की तुलना में इस पर कहने के लिए अधिक विशिष्ट नहीं है।
जहां तक मुझे पता है कि मौलिक आलोचना नहीं हुई है, इस अर्थ में कि मैंने कोई आलोचना नहीं देखी है जो वास्तव में किसी भी तरह से कार्यक्रम को बदनाम करती है। इस तरह की तकनीकें आवश्यक क्यों होनी चाहिए, इस विषय पर निश्चित रूप से चर्चा की गई है कि लंबे समय के क्षितिज की उम्मीद किए गए कार्यक्रम के मूल्य, आदि, लेकिन मैं मौलिक आलोचना की तुलना में स्वस्थ चर्चा के रूप में इनकी अधिक विशेषता होगी।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

@ user124864: सिद्धांत रूप में हाँ। जीसीटी केवल निचली सीमा दिखाने के लिए एक दृष्टिकोण है, जो भी निम्न सीमाएं हो सकती हैं। ऐसा लगता है कि यह उनके समरूपता द्वारा विशेषता कार्यों के लिए बेहतर काम करना चाहिए, लेकिन बाद वाली संपत्ति उस निचले सीमा के संख्यात्मक मूल्य पर निर्भर नहीं करती है जिसे आप दिखाना चाहते हैं (जैसे क्वासिपोली बनाम एक्सप)।

— जोशुआ ग्रूचो

मुझे लगता है कि केतन डी। मुल्मुले का यह लेख पी बनाम एनपी और जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्स थ्योरी पर कम से कम प्रश्न # 1 (संभवतः 2) का जवाब देगा।

— जोशुआ हरमन
स्रोत