क्वांटम सैंपलिंग, सिमुलेशन और विस्तारित-चर्च-ट्यूरिंग (ईसीटी) परीक्षण में सत्यापन की उचित भूमिका क्या है?

Question

चूंकि कोई जवाब नहीं दिया गया था, इसलिए एक ध्वज का अनुरोध किया गया है जिसमें कहा गया है कि इस प्रश्न को एक समुदाय विकि में बदल दिया जाए।

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हारून स्टर्लिंग, सैशो निकोलोव और वोर की टिप्पणियों को निम्नलिखित संकल्प में संश्लेषित किया गया है, जो सामुदायिक विकि चर्चा के लिए खुला है:

हल:    शास्त्रीय एल्गोरिदम के संबंध में कि आउटपुट संख्या, नमूने, या सिमुलेशन ट्रैजेटरी, सख्त गणितीय तर्क के लिए आवश्यक है कि निम्नलिखित सभी प्रस्तावों में से चार को स्वीकार किया जाए, या उनमें से कोई भी नहीं:

1. हम यादृच्छिक संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए एक बहुपद-कालिक शास्त्रीय एल्गोरिदम का शासन कर सकते हैं।  [1]
2. "हम एक बहुपद-कालिक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म को क्वांटम कंप्यूटर के आउटपुट वितरण के नमूने के लिए नियंत्रित कर सकते हैं, एकमात्र धारणा के तहत कि बहुपद पदानुक्रम अनंत है।"  [2]
3. "हम अनुकरण नहीं कर सकते [एक क्वांटम मैकेनिकल प्रक्षेपवक्र] $\psi(t)$सामान्य रूप से ... बहुत अधिक चर हैं। "  [3]
4. विस्तारित एल्गोरिथ्म-ट्यूरिंग-थीसिस (ईसीटी) को कठोर कारण से बताया जाता है कि शास्त्रीय एल्गोरिदम यादृच्छिक संख्या उत्पन्न नहीं कर सकते हैं।  [4]

चर्चा शुरू करने के लिए, यहाँ सकारात्मक और नकारात्मक प्रतिक्रियाएँ दी गई हैं, हालाँकि प्रत्येक रक्षात्मक, जानबूझकर अधिक बताई गई हैं। एक दृढ़ता से सकारात्मक तर्क हो सकता है:

Affirmative:   ये चार कथन उन प्रमेयों को दर्शाते हैं, जिनमें कठोरता का सम्मान करने के लिए, हमें कभी भी ऐसे शास्त्रीय एल्गोरिदम की बात नहीं करनी चाहिए जो यादृच्छिक संख्या, यादृच्छिक नमूने या क्वांटम सिमुलेशन उत्पन्न करते हैं, बल्कि केवल शास्त्रीय एल्गोरिदम बोलते हैं जो छद्म यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करते हैं (द्वारा विस्तार) छद्म यादृच्छिक नमूने, और छद्म-क्वांटम सिमुलेशन।

यह समझा जा रहा है, सभी चार कथन सत्य हैं। इसके अलावा, अस्पष्टता से बचने और भ्रम को रोकने के लिए, गणितज्ञों को वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को "यादृच्छिक", "नमूना" और "क्वांटम सिमुलेशन" के लगभग सभी उपयोगों के लिए उपसर्ग "छद्म-" को प्रोत्साहित करने के लिए प्रोत्साहित करना चाहिए।

एक दृढ़ता से नकारात्मक तर्क हो सकता है:

नकारात्मक:   ये कथन (और उनके संबद्ध औपचारिक सिद्धांत) साइन-पोस्ट हैं जो हमें एक लाकोटोस-शैली "लाल-प्रकाश" के लिए निर्देशित करते हैं, जहां हम उत्साहपूर्वक आलिंगन (जिसे कहा जा सकता है) के छद्म यादृच्छिकता के विषयों के लिए गिना जाता है। , छद्म-नमूनाकरण, और छद्म-अनुकरण ... गणितीय प्रथाओं जो एक स्वादिष्ट पापपूर्ण कारण के लिए मज़ेदार हैं: वे गणितीय प्रभाव प्राप्त करते हैं जो औपचारिक तर्क कहते हैं कि असंभव है। इसलिए, इस निष्कर्ष से अधिक जादुई और अधिक मजेदार क्या हो सकता है: संकल्प के चार कथन प्रत्येक औपचारिक रूप से सत्य हैं, लेकिन व्यावहारिक रूप से झूठ हैं?

यह समझा जा रहा है, सभी चार कथन झूठे हैं। इसके अलावा, चूंकि "यादृच्छिकता", "नमूनाकरण", और "क्वांटम सिमुलेशन" के अधिकांश व्यावहारिक अवतार इस जादुई वातावरण में होते हैं - जिसमें कोलमोगोरोव जटिलता और अलौकिक आकलन से जुड़े मुद्दों को स्पष्ट रूप से अनदेखा किया जाता है - यह गणितज्ञ हैं जिन्हें अपने उपयोग को बदलना चाहिए।

वास्तविक रूप से, हालांकि, जटिलता सिद्धांतकारों को यादृच्छिकता, नमूना और अनुकरण से संबंधित अपने निष्कर्षों को कैसे वाक्यांशित करना चाहिए ... एक तरफ स्पष्टता, दृष्टिकोण और कठोरता का उचित संतुलन बनाए रखने की ओर एक दृश्य के साथ ... और दूसरी ओर, एक दृश्य के साथ। अन्य एसटीईएम विषयों के साथ कम शोर संचार बनाए रखने की ओर? बाद का लक्ष्य विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि क्रिप्टोग्राफी, सांख्यिकीय परीक्षण, मशीन सीखने और क्वांटम सिमुलेशन जैसे क्षेत्रों में व्यावहारिक क्षमता लगातार बढ़ती है।

यह बहुत ही मददगार (और सुखद) भी है, जो तर्कपूर्ण या नकारात्मक होने के लिए उचित जवाब पढ़ने के लिए है।

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पूछा गया प्रश्न है

नमूना-सिमुलेशन, और विस्तारित-चर्च-ट्यूरिंग (ईसीटी) थीसिस के परीक्षण से जुड़ी जटिलता-सिद्धांत संबंधी परिभाषाओं में सत्यापन की आम तौर पर स्वीकृत भूमिका क्या है?

पसंदीदा उत्तर लेख, मोनोग्राफ या पाठ्यपुस्तकों के संदर्भ में है जो इन मुद्दों पर गहराई से चर्चा करते हैं।

क्या यह साहित्य विरल या अन्यथा असंतोषजनक साबित होना चाहिए, तब (दो दिनों के बाद) मैं इस प्रश्न को एक समुदाय से पूछना चाहूंगा:

नमूना, सिमुलेशन, और विस्तारित-चर्च-ट्यूरिंग (ईसीटी) थीसिस के परीक्षण से जुड़ी जटिलता-सिद्धांत संबंधी परिभाषाओं में सत्यापन की उचित और उचित भूमिका क्या है ?

पृष्ठभूमि

पूछे गए सवाल हाल के धागे से प्रेरित है "चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को भंग करने का क्या मतलब होगा?" , विशेष रूप से (उत्कृष्ट आईएमएचओ) गिल कलाई और टिमोथी चाउ द्वारा दिए गए उत्तर

पूछे गए प्रश्न में, वाक्यांश "उचित और / या स्वीकृत जटिलता-सिद्धांत संबंधी परिभाषाएं" को ऐलिस को निम्नलिखित जैसे अनुमानित दावों से रोकने के रूप में माना जा सकता है:

ऐलिस:   यहाँ मेरे (एक-फोटॉन) रैखिक ऑप्टिकल नेटवर्क द्वारा गणना की गई वास्तव में यादृच्छिक द्विआधारी अंकों का मेरा प्रयोगात्मक नमूना है।

बॉब:   यहाँ एक शास्त्रीय ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की गई छद्म-यादृच्छिक अंकों का मेरा नकली नमूना है।

ऐलिस:   क्षमा करें बॉब ... आपका नमूना एल्गोरिदमिक रूप से संपीड़ित है, और मेरा नहीं है। इसलिए मेरा प्रयोगात्मक डेटा दर्शाता है कि ईसीटी गलत है! "

नमूने के सत्यापन के किसी भी संघ की अनुपस्थिति में, ऐलिस का तर्क त्रुटिहीन है। दूसरे शब्दों में, क्या जटिलता सिद्धांतकारों को ईसीटी के संबंध में पहले से ही औपचारिक रूप से असुरक्षित ... होना चाहिए ?

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, वैराइटी राज्य-स्थानों पर क्वांटम प्रक्षेपवक्र नमूने से जुड़े सिमुलेशन तरीके विज्ञान और इंजीनियरिंग के कई विषयों में व्यापक उपयोग में आ रहे हैं। यही कारण है कि विज्ञान और इंजीनियरिंग में सत्यापन की केंद्रीय भूमिका (जो पुनरावृत्ति से अविभाज्य है) का सम्मान करने की जटिलता-सिद्धांत संबंधी परिभाषाएं वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के अभ्यास के लिए बहुत स्वागत योग्य होंगी ... खासकर अगर इन परिभाषाओं के साथ कम्प्यूटेशनल जटिलता का वर्णन करने वाले सिद्धांत हैं सत्यापित नमूनाकरण।

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जोड़ा गया संपादन: जिनेवा विश्वविद्यालय और कंपनी आईडी क्वांटिक के बीच सहयोग के लिए धन्यवाद , इस अभ्यास को वास्तविकता में पूरा करना पूरी तरह से संभव है।

यहां 1024 रैंडम बिट्स हैं जो आईडी क्वांटिक द्वारा प्रमाणित किए गए हैं एल्गोरिदमिक रूप से अयोग्य हैं :

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0100011110011101000011000100110110010000100001111100101001010011 

क्या हमें अब इस दावे को स्वीकार करना चाहिए: "ईसीटी थीसिस को अस्वीकृत किया गया है"?

यदि नहीं, तो हमें क्या आधार देना चाहिए?

Comments

सत्यापन से क्या आपका तात्पर्य है कि "एल्गोरिथम ए में कम्प्यूटेशनल मॉडल एम में संपत्ति पी" का कथन किसी विशेष इनपुट लंबाई के लिए परिमित समय में परीक्षण किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, संपत्ति "संभाव्य एल्गोरिथ्म एक विटनेस को रोक देता है$1000n$ आकार के किसी भी इनपुट पर कदम $n$, सबसे अधिक उपयोग करते हुए $\log_2 n$ यादृच्छिक बिट्स और accetpt भाषा $L$ संभाव्यता के साथ $2/3$"किसी भी के लिए परिमित समय में सत्यापित किया जा सकता है $n$। परिमित समय में सत्यापित एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन द्वारा अभिकलन के विफल मॉडल के रूप में होगा?

— साशो निकोलेव

मुझे लगता है कि यह एक महान प्रश्न है। लेकिन, आपके उदाहरण में, ऐलिस कैसे जानता है कि उसके अंकों का तार एल्गोरिदमिक रूप से संपीड़ित नहीं है?

— हारून स्टर्लिंग

तुल्यता नमूनाकरण / खोज पर: scottaaronson.com/papers/samprel.ps

— Marzio De

@ जॉन: बस एक स्पष्टीकरण (मैं रेखांकित करता हूं कि मैं एक विशेषज्ञ नहीं हूं): " ... आईडी क्वांटिक द्वारा एल्गोरिथम रूप से अयोग्य होने के रूप में प्रमाणित किया जाता है ", लेकिन वे इसे कैसे प्रमाणित कर सकते हैं? स्पष्ट रूप से एक स्ट्रिंग की कोलमोगोरोव जटिलता कम्प्यूटेशनल नहीं है, इसलिए वाक्य गलत लगता है। भले ही वे कहते हैं कि " हम प्रमाणित करते हैं कि अनुक्रम (क्वांटम) यादृच्छिक है " मुझे कुछ संदेह है: शारीरिक प्रक्रिया (हार्डवेयर) को संतुलित करना मुश्किल है, इसलिए वे वॉन न्यूमैन निष्पक्षता का उपयोग करते हैं जो अच्छा है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है परिणाम वास्तव में यादृच्छिक है ।

— मार्जियो डी बियासी

@ जॉन सिडल्स: जब आप ध्वनि और दिलचस्प अवलोकन करते हैं, मुझे समझ नहीं आता कि आप क्या देख रहे हैं। यह स्पष्ट है कि आरोनसन और coauthors का मतलब "नियम से" है: यदि PH अनंत है, तो किसी विशेष मॉडल में एक विशेष एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है। मुझे लगता है कि आप पूछ रहे हैं कि क्या मॉडलिंग की धारणाएं वैध हैं। ध्यान दें कि मॉडल का उद्देश्य किसी भी संभावित एल्गोरिथ्म / प्रमेय के बजाय केवल मॉडलिंग धारणा को सत्यापित करना है

— सैशो निकोलेव

Answer 1

इस सवाल का सार यह है कि क्वांटम संभावना सच यादृच्छिकता का एक स्रोत है, यह कैसे विस्तारित (या कुशल, या बहुपद-काल) चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को प्रभावित करता है?

उत्तर यह है कि, अनुमान के अनुसार, यह इसे प्रभावित नहीं करता है। लोग अनुमान लगाते हैं कि BPP = P, यानी कि रैंडमाइज्ड एल्गोरिदम को बहुपद के साथ छद्म-यादृच्छिक-संख्या जनरेटर के साथ व्युत्पन्न किया जा सकता है। सही यादृच्छिकता के प्रतिस्थापन के रूप में PRNGs में विश्वास एक कारण है कि लोग क्वांटम गणना के लिए नहीं तो विस्तारित चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर विश्वास करेंगे।