मैं निरंतर अनुकूलन साहित्य और टीसीएस साहित्य से उलझन में हूं कि किस प्रकार के (निरंतर) गणितीय कार्यक्रमों (एमपी) को कुशलता से हल किया जा सकता है, और जो नहीं कर सकते। निरंतर अनुकूलन समुदाय का दावा है कि सभी उत्तल कार्यक्रमों को कुशलता से हल किया जा सकता है, लेकिन मेरा मानना है कि "कुशल" की उनकी परिभाषा टीसीएस की परिभाषा से मेल नहीं खाती है।
यह प्रश्न पिछले कुछ वर्षों में मुझे बहुत परेशान कर रहा है, और मुझे इसका स्पष्ट उत्तर नहीं मिल रहा है। मुझे आशा है कि आप मुझे एक बार और सभी के लिए इसे निपटाने में मदद कर सकते हैं: सांसदों के कौन से वर्ग बहुपद में बिल्कुल हल हो सकते हैं और किस माध्यम से; और सांसदों के इष्टतम समाधान का अनुमान लगाने के बारे में क्या जाना जाता है कि हम बहुपद में बिल्कुल हल नहीं कर सकते हैं?
नीचे, मैं इस सवाल का अधूरा जवाब देता हूं जो कुछ स्थानों पर संभवतः गलत भी है, इसलिए मुझे आशा है कि आप मुझे उन बिंदुओं पर सत्यापित और सही कर सकते हैं जहां मैं गलत हूं। इसमें कुछ सवाल भी हैं जिनका मैं जवाब नहीं दे सकता।
हम सभी जानते हैं कि दीर्घवृत्तीय प्रोग्रामिंग को बहुपद के समय में, दीर्घवृत्त विधि या एक आंतरिक बिंदु विधि द्वारा और बाद में कुछ गोलाई प्रक्रिया चलाकर हल किया जा सकता है। रैखिक प्रोग्रामिंग को समय की बहुपदों में भी हल किया जा सकता है जब किसी बड़ी मात्रा में रैखिक बाधाओं के साथ एलपी के एक परिवार का सामना करना पड़ रहा है, जब तक कि कोई इसके लिए "जुदाई का दाना" प्रदान नहीं कर सकता है: एक अल्पविराम जो एक बिंदु देता है , या तो यह निर्धारित करता है कि वह बिंदु संभव है या हाइपरप्लेन को आउटपुट करता है जो बिंदु को संभव बिंदु के पॉलीहेड्रॉन से अलग करता है। इसी प्रकार, एलपी के परिवार को किसी भी बड़ी मात्रा में चर के साथ सामना करते समय बाधाओं की संख्या में बहुपद में रैखिक प्रोग्रामिंग, अगर कोई इन एलपी के दोहरे के लिए एक अलग एल्गोरिथ्म प्रदान करता है।
दीर्घवृत्त विधि भी बहुपद समय में द्विघात कार्यक्रमों को हल करने में सक्षम है, यदि उद्देश्य फ़ंक्शन में मैट्रिक्स सकारात्मक (अर्ध?) निश्चित है। मुझे संदेह है कि, जुदाई ओरेकल ट्रिक का उपयोग करके, हम कुछ मामलों में भी ऐसा कर सकते हैं यदि हम एक अविश्वसनीय संख्या में बाधाओं से निपट रहे हैं। क्या यह सच है?
लेसी सेमीफाइनल प्रोग्रामिंग (एसडीपी) ने टीसीएस समुदाय में बहुत लोकप्रियता हासिल की है। एक उन्हें आंतरिक बिंदु विधियों, या दीर्घवृत्त विधि का उपयोग करके मनमानी परिशुद्धता तक हल कर सकते हैं। मुझे लगता है, एसडीपी को समस्या के कारण हल नहीं किया जा सकता है कि वर्गमूल की गणना वास्तव में नहीं की जा सकती है। (?) क्या यह सही होगा यदि मैं कहता हूं कि एसडीपी के लिए एक एफपीटीएएस है? मैंने ऐसा कहीं नहीं देखा है, इसलिए शायद यह सही नहीं है। पर क्यों?
हम एलपी को बिल्कुल हल कर सकते हैं और एसडीपी मनमानी परिशुद्धता तक कर सकते हैं। शंकु कार्यक्रमों के अन्य वर्गों के बारे में क्या? क्या हम दूसरे क्रम के शंकु कार्यक्रमों को मनमाने ढंग से परिशुद्धता तक हल कर सकते हैं, दीर्घवृत्त विधि का उपयोग कर सकते हैं? मुझे नहीं पता।
सांसदों के कौन से वर्ग पर हम दीर्घवृत्त विधि का उपयोग कर सकते हैं? ऐसे सांसद को ऐसे गुणों की क्या आवश्यकता होती है जिससे उसे संतुष्ट किया जा सके कि एक उत्तर को मनमाने ढंग से सटीक किया जा सके, और बहुपद समय में एक सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए हमें किन अतिरिक्त गुणों की आवश्यकता है? आंतरिक बिंदु विधियों के लिए समान प्रश्न।
ओह, और आखिरकार, यह क्या है जो निरंतर ऑप्टिमाइज़र का कहना है कि उत्तल कार्यक्रमों को कुशलता से हल किया जा सकता है? क्या यह सच है कि उत्तल कार्यक्रम का एक मनमाना-सटीक उत्तर बहुपद समय में मिल सकता है? मेरा मानना है कि इसलिए, "कुशल" की उनकी परिभाषा किन पहलुओं से अलग है?
किसी भी योगदान की सराहना की है! अग्रिम में धन्यवाद।