एक पेड़ के आधे से ज्यादा किनारों पर कितना बड़ा पेड़ हो सकता है?

Question

G को 2n कोने पर एक पेड़ होने दें। G, treewidth of G, tw (G) = 1. अब मान लीजिए कि हम एक ग्राफ H प्राप्त करने के लिए G में n किनारों को जोड़ते हैं। Tw (H) पर एक आसान ऊपरी सीमा n + 1. क्या यह अनिवार्य रूप से सर्वोत्तम संभव है?

यह किसी भी तरह से लगता है कि ट्व (एच) ओ (वर्गर्ट (एन)) होना चाहिए, लेकिन यह सिर्फ एक अस्पष्ट कूबड़ है। क्या हम 2n कोने पर एक पेड़ पर n किनारों को जोड़कर प्राप्त ग्राफ के ट्रेविद के लिए O (n) से बेहतर ऊपरी सीमा जानते हैं?

Answer 1

आपका मॉडल वास्तव में 3-नियमित रेखांकन के बारे में पूछने की तुलना में किसी भी सामान्य रूप से कम नहीं है, और 3-नियमित विस्तारक रेखांकन में रैखिक ट्रेविद है। इसलिए मैं निरंतर कारकों के बारे में नहीं जानता, लेकिन Θ (n) सबसे अच्छा संभव है, हाँ।

Comments

धन्यवाद, जो मेरे सवाल का जवाब देता है। डेविड के जवाब को थोड़ा विस्तृत करने के लिए, H को 2n वर्टिकल पर कनेक्टेड 3-रेगुलर ग्राफ होने दें। एच तो 3n किनारों है। G को H से n + 1 किनारों को हटाकर प्राप्त 2n शीर्षों पर एक पेड़ होने दें। G के पीछे इन किनारों के n को जोड़ने से हमें H '= (H minus one edge) मिलेगा। H को treewidth \ theta (n) के साथ एक विस्तारक ग्राफ होने दें, हम देखते हैं कि H 'में treewidth \ theta (n) भी है।

— gphilip

Answer 2

जैसा कि डेविड ने बताया, आप मूल रूप से औसत डिग्री 3 के साथ एक जुड़े हुए ग्राफ के ट्रेविडीथ पर सीमा के लिए पूछते हैं। 3-नियमित ग्राफ के अधिक विशेष मामले के लिए, निम्न और ऊपरी सीमा प्राप्त की जा सकती है। P (G) एक ग्राफ G की विकृति से नकारते हुए, यह स्पष्ट है कि

(1) tw (G) <= pw (G) किसी भी ग्राफ G के लिए (पथ अपघटन एक वृक्ष विघटित होता है)

यह [1] में सिद्ध होता है

(2) प्रत्येक \ epsilon> 0 के लिए, एक पूर्णांक n_0 मौजूद होता है जैसे कि किसी भी 3-नियमित ग्राफ G पर n> = n_0 शीर्षकों के लिए, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon / n।

यह आपको 3-नियमित ग्राफ़ के ट्रेविद पर मोटे तौर पर n / 6 की ऊपरी सीमा प्रदान करता है।

लगभग निश्चित निचली सीमा के लिए, मैं [2] से उद्धृत करता हूं:

"जैसा कि रैंडम क्यूबिक ग्राफ लगभग निश्चित रूप से कम से कम 0.101 n (कोस्टोचका, मेलनिकोव, 1992) की बिसनेस चौड़ाई है, उनके पास निश्चित रूप से लगभग n / 20 से छोटे आकार का कोई विभाजक नहीं है" और इस प्रकार लगभग निश्चित रूप से n / 20 की तुलना में चौड़ाई का कोई पेड़ अपघटन नहीं है ।

द्विसंयोजक चौड़ाई पर "निश्चित" निचली सीमा के लिए, [3] ने 3-नियमित रेखांकन का एक अनंत परिवार दिखाया, जैसे कि इस परिवार में प्रत्येक ग्राफ G = (V, E) की चौड़ाई कम से कम 0.082 * है | V |

[१] फेडर वी। फोमिन, कजरतन होइ: क्यूब ग्राफ और सटीक एल्गोरिदम का पथप्रदर्शन। Inf। प्रक्रिया। लेट्ट। 97 (5): 191-196 (2006)

[२] जारोस्लाव नेसेट्रिल, पैट्रिस ओस्सोना डी मेंडेज़: ग्रैड एंड क्लासेस विद बाउंड एक्सपैंशन II। एल्गोरिदम संबंधी पहलू। ईयूआर। जे। कंघी। 29 (3): 777-791 (2008)

[३] सर्गेई एल। बेज्रुकोव, रॉबर्ट एल्सासर, बुर्कहार्ड मोनियन, रॉबर्ट प्रीस, जीन-पियरे टिलिच: रेखांकन की चौड़ाई पर नए वर्णक्रमीय सीमाएँ। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 320 (2-3): 155-174 (2004)

Comments

धन्यवाद, सर्ज। विस्तारक के माध्यम से बाध्यता इस चरण में शायद मेरे लिए अधिक सुलभ है, जबकि विस्तारक रेखांकन के माध्यम से; मैंने अभी तक या तो प्रमाण नहीं पढ़ा है, हालांकि।

— gphilip