एकात्मक संचालकों की वास्तविक संख्या और सार्वभौमिक गेट सेटों की प्रविष्टियों को प्रतिबंधित करना

Question

बर्नस्टीन और Vazirani के लाभदायक कागज "क्वांटम जटिलता सिद्धांत" में, वे बताते हैं कि एक आयामी एकात्मक परिवर्तन कुशलता से वे क्या "के पास तुच्छ रोटेशन" और "के पास तुच्छ चरण बदलाव" कॉल का एक उत्पाद इसका अनुमान लगाया जा सकता है।$d$

"निकट-तुच्छ घूर्णन" -ddimensional एकात्मक मैट्रिक्स हैं जो सभी आयामों पर पहचान के रूप में कार्य करते हैं, लेकिन उन दो आयामों द्वारा फैलाए गए विमान में एक रोटेशन के रूप में कार्य करते हैं (अर्थात फॉर्म का 2x2 सबमेट्रिक्स है)$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

कुछ )।$\theta$

"निकट तुच्छ चरण बदलाव" कर रहे हैं आयामी एकात्मक मैट्रिक्स है कि सभी लेकिन 1 आयाम पर पहचान के रूप में कार्य है, लेकिन का एक पहलू लागू ई मैं θ कुछ के लिए θ कि एक आयाम है।$d$$e^{i\theta}$$\theta$

इसके अलावा, वे बताते हैं कि केवल एक ही रोटेशन कोण की जरूरत है (दोनों रोटेशन और चरण में बदलाव unitaries के लिए), यह देखते हुए कि कोण का एक तर्कहीन कई है के लिए (BV कोण सेट 2 π Σ ∞ j = 1 2 - 2 j ।$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

क्वांटम जटिलता सिद्धांत (जैसे कि एडलमैन एट अल या फोर्टवॉर्न एंड रोजर्स द्वारा) के बाद के कागजात का दावा है कि बीवी परिणाम का अर्थ है कि सार्वभौमिक क्वांटम अभिकलन एकात्मक ऑपरेटरों के साथ पूरा किया जा सकता है जिनकी प्रविष्टियां ।$\mathbb{R}$

यह कैसे पालन करता है? मैं समझ सकता हूं कि निकट-तुच्छ रोटेशन मैट्रिसेस का एक उत्पाद आपको वास्तविक प्रविष्टियों के साथ एकात्मक मैट्रिक्स देगा, लेकिन चरण शिफ्ट मैट्रिसेस के बारे में क्या?

यही कारण है: यदि आप ही कर रहे हैं सक्षम के पास तुच्छ रोटेशन करते हैं, और चरण में बदलाव मैट्रिक्स जिसमें मैट्रिक्स की प्रविष्टियों या तो कर रहे हैं , हम कुशलतापूर्वक अन्य सभी चरण में बदलाव मैट्रिक्स का अनुमान लगा सकता?$0,\pm 1$

मुझे संदेह है कि यह निहितार्थ तुरंत स्पष्ट नहीं है, और इसके लिए उचित प्रमाण इस प्रमाण से मिलता जुलता है कि Deutsch का टोफोली जैसा द्वार सार्वभौमिक है - या क्या मुझे कुछ बहुत स्पष्ट याद आ रहा है?

Answer 1

नहीं है एक सरल सबूत है कि Toffoli और Hadamard क्वांटम यूनिवर्सल हैं डोरिट अहरोनोव द्वारा जो पहले से पता चलता है कि कैसे जटिल आयाम एक और qubit के साथ एक बड़ा हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर वास्तविक आयाम से प्रेरित किया जा सकता है।

$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Comments

धन्यवाद मार्टिन! हालांकि, मुझे ऐसा लगता है कि असली यूनिटों के साथ जटिल इकाइयों को बदलने के लिए अहरोनोव की तकनीक उसी तरह से नहीं है जैसा कि एडलमैन / बीवी को माना जाता है (क्योंकि मुझे कोई सबूत नहीं मिल सकता है कि वे इस तरह से सोचते थे)। लेकिन अहरानोव का परिणाम दिलचस्प और बहुत अच्छा है।

— हेनरी यूएन

मुझे पूरा यकीन है कि एडलमैन / बीवी ने एक निर्माण का उपयोग किया था जो कि केवल एक को जोड़ने के बजाय क्वाइबल्स की संख्या को दोगुना करता था, लेकिन यह इसी तरह काम करता था।

— पीटर शोर

@ पेटर: रूडोल्फ और ग्रोवर का निर्माण उस तरह से काम करता है, जिसमें एक एकल कोबिट को एनकोड करने के लिए दो रिबेट का उपयोग किया जाता है: क्वांट-फ / 0210187।

— जो फिट्जसिमों

Answer 2

मार्टिन ने आपको जिस पेपर की ओर इशारा किया, उसके अलावा टेरी रूडोल्फ और लव ग्रोवर का एक पुराना पेपर था जिसमें दिखाया गया था कि क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक 2 रेबिट गेट यूनिवर्सल है ( क्वांट-फ / 0210187 देखें )। गेट में सभी वास्तविक एंट्रीज हैं, और यदि आप अनजान हैं तो रिबेट ऐसे क्वैबिट हैं जहां एम्प्लिट्यूड वास्तविक संख्याओं तक सीमित हैं। यह दावे का स्रोत हो सकता है। प्रश्नपत्र में वर्णित गेट एक नियंत्रित वाई रोटेशन है।

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$