क्या यह साबित करना संभव है कि, किसी समस्या के लिए, कोई इष्टतम लालची एल्गोरिदम मौजूद नहीं है?

Question

लालची एक गैर-औपचारिक शब्द है, लेकिन यह सुनिश्चित हो सकता है (इसलिए, मैं यही पूछ रहा हूं) कि कुछ समस्याओं के लिए, लालच गणितीय रूप से तैयार किया जा सकता है और इस प्रकार यह साबित किया जा सकता है कि कोई इष्टतम लालची एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है। क्या यह संभव है?

Comments

हां, देखें: en.wikipedia.org/wiki/Greedy_al एल्गोरिm#Cases_of_failure ।

— एमएस डौस्टी

Answer 1

सबसे सरल बात यह होगी कि समस्या के लिए लालची एल्गोरिथ्म सेट किया जाए, और फिर एक काउंटर-उदाहरण के लिए देखें। यदि आप एक खोज करते हैं, तो आपको अपना उत्तर मिल गया है। अन्यथा लालच काम करने के कई तरीके हैं । इसके साथ कुछ मुद्दे हैं, निश्चित रूप से (जैसे कि विशेष रूप से लालची एल्गोरिथ्म को कैसे तैयार किया जाए)। के रूप में चिह्नित करने के लिए जो समस्याओं और जो समस्याओं को लालच से हल नहीं किया जा सकता है, उस के लिए एक सामान्य जवाब भी है।

वास्तव में, उनके पेपर "लालची संरचनाओं का एक सटीक चरित्र" ( SIAM जे। असतत गणित । 6 , पीपी। 274-283), हेलमैन, मोरेट और शापिरो ने इसका केवल एक औपचारिक विवरण दिया (जिसे एक मेट्रॉइड एम्बेडिंग कहा जाता है , जो सामान्यीकरण करता है। दोनों matroids और greedoids)। अमूर्त से: "लेखक संरचनाओं का सटीक लक्षण प्रस्तुत करते हैं, जिस पर लालची एल्गोरिथ्म इष्टतम समाधान पैदा करता है।"

सामान्य तौर पर, लालची एल्गोरिथ्म को भारित सेट सिस्टम रूप में तैयार किया जा सकता है । आपके पास एक सेट (उदाहरण के लिए, किनारों, न्यूनतम फैले पेड़ों के मामले में) है, और आपके पास एक सेट के उपसमुच्चय का (लगता है कि आंशिक फैले जंगलों, सेट की समस्या के लिए) न्यूनतम फैले हुए पेड़)। से तत्वों के संयोजन द्वारा निर्मित वैध आंशिक समाधान का प्रतिनिधित्व करता है । भार फ़ंक्शन, , जो आपको में किसी भी तत्व का वजन या लागत देता है । हम आमतौर पर इसे रेखीय मानते हैं - यानी, में प्रत्येक तत्व$(E,\mathcal{F},w)$$E$$\mathcal{F}\subseteq 2^E$$E$$\mathcal{F}$$E$$w$$\mathcal{F}$$E$एक वजन है, और (आंशिक) समाधानों का वजन तत्व भार का योग है। (उदाहरण के लिए, एक फैले हुए पेड़ का वजन इसके किनारे के वजन का योग है।) इस संदर्भ में, हेलमैन एट अल। दिखाया कि निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. प्रत्येक रैखिक उद्देश्य फ़ंक्शन के लिए, का एक इष्टतम आधार है।$(E,\mathcal{F})$

2. $(E,\mathcal{F})$ एक मैट्रोइड एम्बेडिंग है।

3. प्रत्येक लीनियर ऑब्जेक्टिव फंक्शन के लिए, के लालची ठिकाने वास्तव में इसके इष्टतम आधार हैं।$(E,\mathcal{F})$

दूसरे शब्दों में: इन जैसे संरचनाओं के लिए (जो मूल रूप से लालच के साथ काम करते समय आमतौर पर जिस तरह की संरचनाओं के बारे में सोचते हैं), ठीक उसी तरह से मैट्रोइड एम्बेडिंग का सेट लालच से हल किया जा सकता है।

एक matroid embedding की परिभाषा यह सब कठिन नहीं है, इसलिए यह साबित करना कि दी गई समस्या है या नहीं है matroid embedding निश्चित रूप से संभव है। विकिपीडिया प्रविष्टि परिभाषा काफी स्पष्ट रूप देता है। (सबूत को समझते हुए कि ये लालच के कारण सटीक संरचनाएं क्यों हैं - यह पूरी तरह से एक और मामला है ...)

यदि आपकी समस्या को एक रेखीय उद्देश्य फ़ंक्शन के साथ भारित सेट प्रणाली से चयन के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है, और यदि आप दिखा सकते हैं कि यह एक matroid embedding नहीं है, तो आपने दिखाया है कि यह लालच से हल नहीं किया जा सकता है, भले ही आप ' t एक काउंटर-उदाहरण खोजने में सक्षम है। (हालांकि मुझे संदेह है कि प्रति-उदाहरण प्राप्त करना थोड़ा आसान होगा।)

यह दृष्टिकोण पूरी तरह से समस्याओं के बिना नहीं है, मुझे लगता है। जैसा कि आप कहते हैं, लालच का सामान्य विचार अनौपचारिक है, और इसे इस तरह से ट्वीक करना संभव हो सकता है कि रैखिक भारित सेट सिस्टम की औपचारिकता लागू नहीं होती है।

Answer 2

हां, ऐसा काम है। Coauthors के साथ एलन बोरोडिन ने एक सिद्धांत विकसित किया जहां वे लालच की धारणा को औपचारिक रूप देते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं जो उनके साथ सन्निकटन अनुपात तक पहुंचा जा सकता है। वे प्राथमिकता एल्गोरिदम का एक वर्ग पेश करते हैं, जो लालची एल्गोरिदम को सामान्य करता है। इस विषय पर उनका पहला काम कागज " (वृद्धिशील) प्राथमिकता एल्गोरिदम " है।

PS एक अलग प्रश्न पर पिछला पैराग्राफ उत्तर: क्या यह साबित करना संभव है कि, किसी समस्या के लिए, कोई लालची एल्गोरिदम लगभग से कम सन्निकटन अनुपात के साथ मौजूद है ? मैं जो सवाल उठाता हूं, मुझे लगता है कि यह माना जाता है कि इष्टतम का मतलब सटीक है, इसलिए प्रश्न P में समस्याओं से संबंधित है (मेरा मानना ​​है कि लालची एल्गोरिदम में बहुपद जटिलता है, हालांकि मुझे लगता है कि यह आवश्यक नहीं है) जो लालची लोगों द्वारा अन्य तरीकों से समाधान के लिए जाने जाते हैं । और मैं इस सवाल का जवाब नहीं जानता।$1+\epsilon$

Ivotron के लिए: यदि आपको मेरी पहली व्याख्या से कोई मतलब नहीं है तो मैं इस उत्तर को हटा दूंगा।

Answer 3

इसे भी देखें: http://en.wikipedia.org/wiki/Greedoid

Comments

Greedoids (matroids की तरह) केवल matroid embeddings का एक विशेष मामला है।

— मैग्नस लाइ हेटलैंड