क्या विकर्णीकरण वर्ग पृथक्करण के सार को पकड़ लेता है?

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मुझे याद नहीं है कि विकर्णीकरण और सापेक्षताकरण परिणामों के आधार पर एक वर्ग पृथक्करण नहीं देखा गया है। शेष बचे वर्गों को अलग करने के लिए विकर्णकरण का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि गैर-सापेक्ष तर्क अभी भी विकर्णीकरण निष्कर्ष में, या विकर्ण ट्यूरिंग मशीन निर्माण में उपयोग किया जा सकता है। यहाँ कुछ संबंधित प्रश्न दिए गए हैं:

क्या वर्ग पृथक्करण प्रमाण विकर्णीकरण पर आधारित नहीं हैं?

और यदि ऐसा है तो

क्या हम उनके पीछे एक आत्म-संदर्भ तंत्र पा सकते हैं?

आगे की,

क्या प्रत्येक वर्ग पृथक्करण में एक "विहित प्राकृतिक" प्रमाण (एक अनौपचारिक अर्थ में) है?

यदि ऐसा है, तो हमें खुले प्रश्नों के लिए अन्य प्रमाण योजनाओं के बजाय गैर-सापेक्ष तर्क खोजने की कोशिश करनी चाहिए।

क्या प्रत्येक गैर-विकर्ण प्रमाण को विकर्ण में फिर से लिखा जा सकता है?

— लुडोविक पाटी
स्रोत

मैंने प्रश्न को संपादित करने के लिए इसे पढ़ने में आसान बनाने की कोशिश की है। क्षमा याचना अगर मैंने आपका इरादा बदल दिया है।

— आंद्र सलाम

@ András अपने संस्करण के लिए धन्यवाद। मैं अक्सर अस्पष्ट हूं। एक परिवर्तन है: मेरा मतलब था कि विकर्णीकरण विफल नहीं हुआ क्योंकि इसके अंदर, हम गैर-सापेक्षतावादी तर्कों का उपयोग कर सकते हैं। मुझे लगता है कि सापेक्षता और विकर्णकरण ओर्थोगोनल हैं। और मैं यह नहीं मानता कि यह सबूत जो विकर्णीकरण का उपयोग नहीं करता है, एक गहन स्व-संदर्भ तंत्र का उपयोग करेगा, लेकिन केवल इस बात का कि सबूत की गहरी समझ में, हम एक अविभाजित आत्म-संदर्भ तंत्र की खोज कर सकते हैं ^ ^। मैं उन विशेष बिंदुओं को फिर से लिखूंगा।

— लुडोविक पाटी

कुछ संबंधित पोस्ट: सबूत, बाधाएं, और पी बनाम एनपी , क्या सबूत हैं कि स्थायी समान में नहीं है

relativize?

T C^{0}

$TC^0$ , जो जटिलता सिद्धांत के परिणामस्वरूप एकरूपता का अनिवार्य उपयोग करते हैं?

— केवह

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इस पर निर्भर करता है कि आप विकर्णीकरण को कैसे औपचारिक बनाते हैं। कोजेन में एक पेपर है जो दिखाता है कि कोई भी जटिलता वर्ग अलगाव एक विकर्ण प्रमाण होना चाहिए।

— लांस फोर्टो
स्रोत

+1 मुझे लगता है कि मैंने इसे आपके ब्लॉग में पढ़ा है और मैं आपके उत्तर की प्रतीक्षा कर रहा था :)

— मोहम्मद अल-तुर्किस्तानी

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चूंकि विकर्णीकरण relativizes, विरोधाभासी सापेक्षता को प्रभावित करने वाले किसी भी जटिलता परिणाम विकर्णीकरण पर आधारित नहीं हो सकता है। उद्धरण अरोड़ा-बराक :

परिणाम पूरी तरह से समझ में विकर्णन relativize का उपयोग कर कि वे करने के लिए ओरेकल का उपयोग के साथ टीएम के लिए यह भी मानती हैं साबित हर ओरेकल के लिए, । हम इसका उपयोग ऐसे तरीकों की सीमाओं को दिखाने के लिए कर सकते हैं। विशेष रूप से, केवल रिलेटिविंग विधियाँ P बनाम NP प्रश्न को हल नहीं कर सकती हैं। $O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

एक प्रमुख पृथक्करण तकनीक जो सापेक्षता नहीं करती है वह है सर्किट लोअर सीमा। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि सभी समस्याओं में बहुपद सर्किट हैं। दूसरी ओर, हम साबित एक है कि अगर समस्या सुपर बहुपद सर्किट है (यानी दिखा एक सुपर बहुपद लोअर बाउंड), तो । दुर्भाग्य से, रज़बोरोव और रूडीच ने दिखाया कि यह तकनीक पी बनाम एनपी समस्या को हल करने की संभावना नहीं है। ( प्राकृतिक प्रमाण देखें )। सर्किट लोअर सीमा को साबित करने के आधार पर वर्ग पृथक्करण में हाल की सफलता की चर्चा [1] और [2] में की गई है । $P$ $NP$ $P\ne NP$

एक और प्रमुख तकनीक जो सापेक्षता नहीं करती है वह अंकगणित है। तकनीक पहले साबित होता है कि इस्तेमाल किया गया था ( लुंड एट अल। ), और बाद में साबित करने के लिए आईपी = PSPACE । इस तकनीक को पी बनाम एनपी को आरोनसन और विगडरसन (जिसे अल्गेब्रिज़ेशन बाधा कहा जाता है ) द्वारा हल करने के लिए अपर्याप्त साबित किया गया था । $P^{PH} \subseteq IP$

— एमएस डौस्ती
स्रोत

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ध्यान दें कि बेकर, गिल, और सोलोवे ने यह नहीं कहा कि विकर्णीकरण काम नहीं कर सकता है , लेकिन एक अधिक बारीक कथन किया है "ऐसा लगता है कि सामान्य विकर्ण विधियां पर्याप्त नहीं हैं"।

— आंद्रे सलामन

@ सादिक मैं इस बात से सहमत नहीं हूं कि विकर्णीकरण से संबंधित है। उदाहरण के लिए, आप एक कम्प्यूटेशनल मशीन को परिभाषित कर सकते हैं जो संपत्ति की गणना करने वाले स्थानीयता की संपत्ति के आधार पर होती है, जो कि संबंधित नहीं होती है।

— लुडोविक पाटी

Algebrization एक तकनीक नहीं है, बल्कि एक अवधारणा है जो सापेक्षता के समान है। मुझे लगता है कि आप के बजाय अंकगणित मतलब है। और प्राकृतिक प्रमाणों से क्या संबंध है?

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

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@ सादिक: बीजीएस स्पष्ट रूप से अरोड़ा-बराक की तुलना में विकर्ण की अधिक समावेशी परिभाषा की अनुमति दे रहे थे। अगर रॉबर्ट सोलोवे जैसा एक सेट सिद्धांतकार सोचता है कि विकर्णीकरण की अन्य धारणाएं हो सकती हैं जो सापेक्ष नहीं करती हैं, तो हमें शायद उस संभावना को खुला छोड़ देना चाहिए। A & B का नोट पृष्ठ 75 इस संभावना को खारिज नहीं करता है कि किसी प्रकार का विकर्ण ट्यूरिंग मशीनों के बारे में एक गैरसंबंधी तथ्य का उपयोग करता है; अभी भी अप्रकाशित अरोड़ा-इम्पेग्लियाज़ो-वज़ीरानी पांडुलिपि इंगित करती है कि इसमें काफी सूक्ष्म मुद्दे शामिल हैं। cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— एंड्रास सालेमन

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इस बारे में कुछ बहस चल रही है: AIV कागज करने के लिए उदाहरण Fortnow की प्रतिक्रिया के लिए देखें: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— सुरेश वेंकट

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फोर्टेन के उत्तर में जोड़ने के लिए, कोज़ेन के काम को जारी रखते हुए, नैश, इम्पेग्लियाज़ो और रेमेल ने मजबूत विकर्ण की धारणा को औपचारिक रूप दिया और कुछ सबूत दिए कि यह सापेक्ष नहीं करता है। आपके पहले प्रश्न का आंशिक रूप से उत्तर देने के लिए, उनके परिणाम बताते हैं कि कुछ वर्ग पृथक्करण प्रमाण मजबूत विकर्ण पर आधारित नहीं हो सकते हैं। यहाँ सार है:

हम मजबूत विकर्णीकरण को परिभाषित और अध्ययन करते हैं और इसकी तुलना कमजोर विकर्णीकरण से करते हैं, जो कि [7] में निहित है। कोजेन के परिणाम [7] से पता चलता है कि वस्तुतः हर अलगाव को कमजोर विकर्ण के रूप में बदला जा सकता है। हम दिखाते हैं कि ऐसी भाषाएं हैं, जिन्हें मजबूत विकर्णीकरण द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है और इस बात का प्रमाण दिया जाता है कि मजबूत विकर्णीकरण सापेक्षता नहीं करता है। हम दो प्रकार के अप्रत्यक्ष विकर्णों को भी परिभाषित करते हैं और उनकी शक्ति का अध्ययन करते हैं।

चूंकि हम सार्वभौमिक भाषाओं के संदर्भ में मजबूत विकर्ण को परिभाषित करते हैं, इसलिए हम उनकी जटिलता का अध्ययन करते हैं। हम कमजोर और सख्त सार्वभौमिक भाषाओं को भेद और तुलना करते हैं। अंत में हम सार्वभौमिक भाषाओं के कुछ स्पष्ट रूप से कमजोर रूपांतरों का विश्लेषण करते हैं, जिन्हें हम छद्म विविध भाषाएं कहते हैं, और बताते हैं कि कमजोर बंद होने की स्थिति में वे आसानी से सार्वभौमिक भाषाओं का उत्पादन करते हैं।

1-नैश, ए।, इम्पेग्लियाज़ो, आर।, रेमेल; जे। "यूनिवर्सल लैंग्वेजेस एंड द पावर ऑफ़ डायगोनाइजेशन।" कम्प्यूटेशनल जटिलता पर 18 वीं वार्षिक IEEE सम्मेलन (CCC'03), पी। 337, 2003।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

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क्या वर्ग पृथक्करण प्रमाण विकर्णीकरण पर आधारित नहीं हैं?

हाँ, एक समान जटिलता वर्ग के लिए नहीं हैं। हमारे पास इस तरह के सबूतों को खारिज करने का तर्क नहीं है, लेकिन अब तक एक समान जटिलता वर्गों के बीच सभी अलगाव किसी स्थान पर विकर्णीकरण का उपयोग करते हैं।

क्या हम उनके पीछे एक आत्म-संदर्भ तंत्र पा सकते हैं?

मुझे नहीं लगता कि गैर-वर्दी जटिलता वर्ग अलगाव को "स्व-संदर्भ" तर्क में बदल दिया जा सकता है क्योंकि वे एक समान वर्ग नहीं हैं और न ही गणना की जा सकती हैं, और एक आत्म-संदर्भ तर्क के लिए हमें वर्ग के सदस्यों की गणना करने की आवश्यकता है।

क्या प्रत्येक वर्ग पृथक्करण में एक "विहित प्राकृतिक" प्रमाण (एक अनौपचारिक अर्थ में) है?

निर्भर करता है कि आप "विहित" से क्या मतलब है। AFAIK, प्रश्न के उत्तर पर कोई सहमति नहीं है "जब दो प्रमाण सार में समान हैं?"।

यदि ऐसा है, तो हमें खुले प्रश्नों के लिए अन्य प्रमाण योजनाओं के बजाय गैर-सापेक्ष तर्क खोजने की कोशिश करनी चाहिए। क्या प्रत्येक गैर-विकर्ण प्रमाण को विकर्ण में फिर से लिखा जा सकता है?

जैसा कि अन्य लोगों ने बताया है, इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि आप विकर्णीकरण से क्या मतलब रखते हैं। अधिक सामान्य अर्थ में (लांस द्वारा जुड़ा हुआ कोजेन का पेपर), उत्तर किसी भी दो अलग-अलग "जटिलता वर्गों" के लिए हां है (जैसा कि कोजेन के पेपर में परिभाषित किया गया है)। आप तर्क को "विकर्णीकरण" तर्क में बदल सकते हैं। परंतु:

यह जटिलता वर्गों पर लागू नहीं होता है जो कोजेन के कागज में वर्णित आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है (यानी कोजेन "काम्प्लेक्स क्लासेस" नहीं हैं)।
$P$ $PSpace$
महत्वपूर्ण बात यह है कि यह विधि जितनी अधिक सामान्य है, उतने ही सीमित इसके अनुप्रयोग हैं (यदि इसका उपयोग स्वयं किया जाता है) क्योंकि विधि को अधिक मामलों के लिए काम करने की आवश्यकता होती है और यह विधि पर प्रतिबंध है, हम विशिष्ट का उपयोग नहीं कर सकते हैं समस्या के बारे में हमारे पास जानकारी है यदि इसे साझा नहीं किया जाता है या इसे अन्य समस्याओं के लिए समान नहीं बदला जा सकता है जो हम उनके लिए विधि लागू करना चाहते हैं।
हम अलग-अलग तर्कों को "विकर्णीकरण" तर्कों में बदल सकते हैं (ऊपर उल्लिखित प्रतिबंध को देखते हुए), लेकिन यह तथ्य कि "विकर्ण फलन वास्तव में वर्गों को अलग करता है" स्वयं एक प्रमाण की आवश्यकता है। कोजेन के पेपर से पता चलता है कि यदि वर्ग अलग-अलग हैं, तो एक विकर्ण कार्य मौजूद है, लेकिन हम कैसे जान सकते हैं कि एक दिया गया कार्य वास्तव में विकर्ण है? हमें एक प्रमाण की आवश्यकता है! और कागज (AFAIU) हमें उन सबूतों के साथ आने का कोई विचार नहीं देता है। यदि हमारे पास एक अलग तर्क है तो हम इसे एक विकर्ण प्रमाण में बदल सकते हैं, लेकिन उसके बाद हीप्रमाण होना। मूल प्रमाण नए विकर्ण प्रमाण के एक हिस्से के रूप में काम करेगा, यह दिखाएगा कि फ़ंक्शन वास्तव में विकर्ण है। (और एक अर्थ में, कोजेन के कागज से निर्मित विकर्ण प्रमाण "विहित" नहीं होगा क्योंकि यह मूल तर्क पर पूरी तरह से निर्भर होगा।)

— कावेह
स्रोत

मुझे आपके दूसरे प्रश्न के बारे में अधिक सावधान रहना चाहिए (क्या हम उनके पीछे एक स्व-संदर्भ तंत्र पा सकते हैं?) और गैर-एकरूपता। मुझे लगता है कि आपको "एक आत्म-संदर्भ तंत्र" से क्या मतलब है इसके बारे में अधिक विशिष्ट होने की आवश्यकता है। "आत्म-संदर्भ" शब्द उन शब्दों में से एक है जिसका दुरुपयोग बहुत (विशेष रूप से दार्शनिक कार्यों में) किया जाता है, इसलिए हमें सावधान रहना चाहिए। सामान्य सेल्फ-रेफरेंस मैकेनिज्म (गोडेल के अर्थ में, आर। स्मुल्लियन की पुस्तक "डायगनैलाइजेशन एंड सेल्फ-रेफरेंस", 1994) को भी देखें, जिसमें भाषा में छोटे वर्ग की वस्तुओं (यहां टीएम) की गणना की जाती है। लेकिन कुछ अन्य भी हैं जो उपयोग करते हैं

— केवह

"स्व-संदर्भ" शब्द का उपयोग करें। EgK Mulmuley अपने जीसीटी की गैर-समान सेटिंग में इसका उपयोग करता है जिसे वह "स्व-संदर्भ विरोधाभास" के रूप में संदर्भित करता है। लेकिन मेरे लिए यह देखना मुश्किल है कि क्या आपके मन में ऐसा है जब आप "सेल्फ-रेफरेंस मैकेनिज्म" का इस्तेमाल कर रहे हैं।

— केवह