एच-फ्री कट समस्या


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मान लीजिए कि आपको एक जुड़ा हुआ, सरल, अप्रत्यक्ष ग्राफ H दिया गया है।

H-free कट समस्या को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक सरल, अप्रत्यक्ष ग्राफ जी को देखते हुए, क्या कोई कटौती (दो गैर-खाली सेटों, एल, आर में विभाजन का हिस्सा है) जैसे कि कट-सेट (एल और आर) द्वारा प्रेरित रेखांकन दोनों में एच के लिए एक सबग्राफिक आइसोमेरिक नहीं होता है ।

उदाहरण के लिए, जब H, एक किनारे से जुड़े दो कोने वाला ग्राफ है, तो समस्या यह निर्धारित करने के समान है कि क्या ग्राफ द्विदलीय है और P में है।

यदि H एक त्रिभुज है, तो यह मोनोक्रोमैटिक त्रिभुज समस्या के शीर्ष संस्करण की तरह है।

मुझे लगता है कि मैं यह दिखाने में सक्षम हूं कि जब एच कम से कम तीन कोने से जुड़ा हुआ है, तो एच-फ्री कट समस्या एनपी-पूर्ण है।

मैं इस समस्या (और इसलिए, किसी भी परिणाम) के लिए कोई संदर्भ नहीं पा सका हूं।

क्या हम 2-जुड़ाव की स्थिति को गिरा सकते हैं और फिर भी एनपी-पूर्णता साबित कर सकते हैं?

क्या किसी को किसी भी ज्ञात परिणाम के बारे में पता है जो उपरोक्त या एक मजबूत परिणाम होगा (या आपको लगता है कि प्रासंगिक हो सकता है)?


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"मुझे लगता है कि मैं यह दिखाने में सक्षम हूं कि जब एच कम से कम तीन कोने से जुड़ा हुआ है, तो एच-फ्री कट समस्या एनपी-पूर्ण है।" क्या इसका मतलब यह है कि हर दो-जुड़े एच के लिए तीन या अधिक कोने के साथ, एच-फ्री कट एनपी-पूर्ण है? और इसी तरह, अगर हम 2-कनेक्टिविटी को छोड़ देते हैं, तो हम यह साबित करना चाहते हैं कि प्रत्येक H के लिए तीन या अधिक वर्टीकल के साथ, H-free कट एनपी-पूर्ण है?
फॉक थोरस्टेंसन

@Evgenij: हाँ, ऐसे हर H के लिए, यह NP-Complete है। तो यह एनपी-पूर्ण समस्याओं का एक वर्ग है। अन्य प्रश्न के लिए भी हाँ।
आर्यभट्ट

जवाबों:


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आप "कटाव" के बजाय "द्विदलीय" या "शीर्ष विभाजन" या "रंग" शब्द देख सकते हैं। 80 के दशक के मध्य (या संभवतः पहले) के बाद से आपके द्वारा संकेतित लाइनों के साथ रंगीन संख्या के विभिन्न सामान्यीकरण। कैनेडियन कॉम्बीनेटरिक्स सम्मेलनों में कुछ शुरुआती कठिन-से-खोज संदर्भ हैं, लेकिन आप कोवेन, गोडार्ड और जेसुराम (JGT या सोडा 1997) और संबंधित संदर्भ / उद्धरण देखना चाहते हैं।

संपादित 15/02/2011

एच

जी

ए। फरुगिया। वर्टेक्स-विभाजन निश्चित योज्य प्रेरित-वंशानुगत गुणों में एनपी-हार्ड है। इलेक्ट्रॉन। जे। कंबिन। 11 (2004) # आर 46 (9 पीपी)।


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@ मॉरन: वास्तव में, एच-फ्री विभाजन प्रश्न में एक उत्तर मेरे उत्तर की तुलना में बहुत अधिक प्रासंगिक है! cstheory.stackexchange.com/questions/884/h-free-partition/…
RJK

मैंने उस पर ध्यान दिया और यह ग्राफ़ की कक्षाओं के बारे में लग रहा था, जिसमें सबग्राफ आदि शामिल हैं। यह समस्या विशिष्ट ग्राफ़ के क्षेत्र से संबंधित है।
आर्यभट्ट

@ मॉरन: फर्रुगिया पेपर में वे मामले शामिल होते हैं जिनमें प्रत्येक भाग एडिटिव प्रेरित होता है, अर्थात डिसऑन यूनियन और वर्टेक्स विलोपन के तहत बंद होता है। H-freeness एक additive प्रेरित संपत्ति है।
आरजेके

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तुम सही हो। मैं बस अमूर्त से जा रहा था। वास्तव में, जाहिरा तौर पर पेपर users.soe.ucsc.edu/~optas/papers/G-free-complex.pdf भी पूछे गए सवाल के लिए प्रासंगिक है! क्या आपको बुरा लगता है अगर मैं उन लिंक को जोड़ने के लिए आपके उत्तर को संपादित करता हूं?
आर्यभट्ट

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अन्य पेपर पीडीएफ यहाँ है: www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1r46.pdf
आर्यभट्ट

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मुझे लगता है कि यह सीधे आपके प्रश्न (संदर्भों के बारे में) का जवाब नहीं दे सकता है, लेकिन मैं 2-कनेक्टेड स्थिति के बिना एनपी-कठोरता दिखाने के लिए एक संभावित दृष्टिकोण को रेखांकित करना चाहूंगा। दो चीजें हैं जो गायब हैं: एक 'स्रोत समस्या' की एनपी-कठोरता का प्रमाण है, इसलिए बोलने के लिए, और दूसरा यह है कि मैं एच-कट के 'रंगीन' संस्करण को कम कर रहा हूं जो या उपयोगी नहीं हो सकता है। पहली अड़चन के रूप में, मेरा मानना ​​है कि मेरे दिमाग में एक प्रमाण है कि मैं औपचारिकता को लेकर आलसी हो रहा हूं, इसलिए मुझे उम्मीद है कि मैं जल्द ही इसके आसपास पहुंचूंगा। मैंने आपके द्वारा प्रस्तुत किए गए रंगीन संस्करण को कम करने के बारे में सोचा है, हालांकि, अब तक बहुत कम भाग्य के साथ। मैं इस घटना में आपके प्रमाण के बारे में बहुत उत्सुक हूं कि एच 2-जुड़ा हुआ है, क्या आप संभवतः कुछ विवरणों की आपूर्ति कर सकते हैं?

तो रंगीन संस्करण निम्न है: ग्राफ़ में प्रत्येक शीर्ष पैलेट पी (एक निश्चित, परिमित सेट) से रंगों की एक सूची से सुसज्जित है। हमें एक कट खोजने की आवश्यकता है ताकि कोई भी विभाजन एच की एक मोनोक्रोमैटिक प्रतिलिपि को प्रेरित न करे, अर्थात, एच का सबसेट नहीं है | वर्टिकल जो H की एक प्रति उत्पन्न करते हैं, और रंगों की संबंधित सूची में एक गैर-खाली चौराहा होता है।

यहाँ d-SAT के प्रतिबंधित संस्करण से कमी है, जहाँ d | H | (ध्यान दें कि यह स्पष्ट रूप से तब काम नहीं करेगा जब d = 2)।

डी-सैट का प्रतिबंधित संस्करण निम्नलिखित है:

  1. प्रत्येक खंड में केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक शाब्दिक शब्द होते हैं, मुझे क्रमशः P-clauses और N-clauses जैसे खंडों को संदर्भित करते हैं,

  2. प्रत्येक पी-क्लॉज को एन-क्लॉज के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि दो क्लॉज में वैरिएबल के समान सेट शामिल होते हैं।

(मुझे इस बारे में कुछ पता है कि यह प्रतीत होता है कि प्रतिबंधित संस्करण कठिन क्यों हो सकता है - एक बहुत ही निकटता से संबंधित प्रतिबंध कठिन है, और मैं वहां से कमी की कल्पना कर सकता हूं, हालांकि मुझे आसानी से गलत किया जा सकता है!)

इस समस्या को देखते हुए, कमी शायद खुद ही बताती है। सूत्र के प्रत्येक चर के लिए ग्राफ में एक शीर्ष है। प्रत्येक खंड C_i के लिए, खंड में भाग लेने वाले चर के सेट पर H की एक प्रतिलिपि बनाएँ, और रंग I को इस सेट के कोने में जोड़ें। यह निर्माण पूरा करता है।

कोई भी असाइनमेंट स्वाभाविक रूप से कटौती से मेल खाता है:

एल = सभी वेरिएबल्स का सेट जो 0, आर = सेट किए गए थे जो सभी वेरिएबल्स का सेट है जो 1 पर सेट है।

दावा है कि एक संतोषजनक कार्य एक मोनोक्रोमैटिक-एच-मुक्त कटौती से मेल खाता है।

दूसरे शब्दों में, (एल, आर), जब एक संतोषजनक असाइनमेंट दिया जाता है, तो ऐसा होगा कि एल या आर, एच की एक मोनोक्रोमैटिक कॉपी को प्रेरित नहीं करते हैं। यदि एल के पास ऐसी कोई कॉपी है, तो ध्यान दें कि संबंधित पी-क्लॉज होना चाहिए। इसके सभी चर 0 पर सेट होते हैं, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि असाइनमेंट संतोषजनक था। इसके विपरीत, यदि आर के पास ऐसी कोई प्रति है, तो संबंधित एन-क्लॉज में इसके सभी चर 1 पर सेट होने चाहिए, फिर से विरोधाभास होगा।

इसके विपरीत, किसी भी कट पर विचार करें, और चर को 1 पर और दूसरे को 0 पर सेट करें (ध्यान दें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे किस तरह से करते हैं - जिस तरह के सूत्र के साथ हम काम कर रहे हैं, उसे देखते हुए और यह फ़्लिप हो गया है। संस्करण समतुल्य हैं जहाँ तक संतोष जाता है)। यदि कोई क्लॉज इस असाइनमेंट से संतुष्ट नहीं होता है, तो हम इसे एक तरफ एच की एक मोनोक्रोमैटिक कॉपी में ट्रेस कर सकते हैं, जो कट की मोनोमैट्रिक-एच-फीनेस के विपरीत है।

रंग में लिप्त होने का कारण यह है क्योंकि एच की प्रतियां एक सीधी कमी के प्रयास में एच के नकली प्रतियां बनाने के लिए हस्तक्षेप कर सकती हैं जो खंड के अनुरूप नहीं हैं। वास्तव में, यह विफल होता है - बुरी तरह से - यहां तक ​​कि जब एच कुछ पथ के रूप में सरल है।

मुझे रंगों से छुटकारा पाने का कोई सौभाग्य नहीं है, और मुझे यकीन नहीं है कि मैंने समस्या को किसी भी सरल बना दिया है। हालाँकि, मुझे उम्मीद है कि - अगर सही है - यह एक शुरुआत हो सकती है।


जवाब के लिए धन्यवाद। जैसा कि मेरे पास प्रमाण था, मैंने सभी समान 3 नहीं के साथ शुरू किया, जो कुछ संरचना के साथ एक अभिव्यक्ति में बदल गया था और फिर उस संरचना का शोषण करने वाले गैजेट के लिए कुछ जटिल (वर्णन करने और आकर्षित करने के लिए) का निर्माण किया। अगर मेरे पास समय हो तो मैं लिख सकता हूं और कहीं न कहीं पेपर डाल सकता हूं (और एक लिंक पोस्ट करूंगा)।
आर्यभट्ट

आह अच्छा। मैंने 3-सिट-इन-नहीं के साथ शुरू करने की कोशिश की, लेकिन बहुत अधिक भाग्य के बिना (न जाने क्यों मुझे यह काम करने की उम्मीद थी)। मुझे विवरण देखने में अच्छा लगेगा यदि आपके पास / जब आप उन्हें हैं, तो अच्छा काम लगता है! मेरा मतलब कुछ और के लिए इस पर रखने के लिए है, FWIW।
नीलधारा

यह nae-3sat का नीरस संस्करण था। प्रोत्साहित करने के लिए धन्यवाद! खुशी है कि इसे देखने के लिए आपकी दिलचस्पी बढ़ गई है :-)
आर्यभट्ट

RJK ने मुझे एक ऐसे उत्तर की ओर इशारा किया, जो एक पेपर से जुड़ा हुआ है, जिसका यह संदर्भ है: users.soe.ucsc.edu/~optas/papers/G-free-complex.pdf
आर्यभट्ट
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