उदाहरण जहां ज्यामिति से अंतर्दृष्टि कुछ पूरी तरह से गैर-ज्यामितीय हल करने के लिए उपयोगी थी

Question

तीन स्थानिक आयाम वाले ब्रह्मांड में विकसित होने के बारे में एक अच्छी बात यह है कि हमने अंतरिक्ष में वस्तुओं से संबंधित समस्या को सुलझाने के कौशल विकसित किए हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, हम 3-डी में एक बिंदु के रूप में संख्याओं के एक ट्रिपल के बारे में सोच सकते हैं और इसलिए 3-डी में अंकों के बारे में गणना के रूप में संख्याओं के ट्रिपल के बारे में गणना करते हैं, जो तब अंतरिक्ष के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा लगता है कि ज्यामिति से तकनीकों का उपयोग करके पूरी तरह से गैर-ज्यामितीय समस्या को हल करना संभव है। क्या किसी को ऐसे उदाहरणों का पता है?

बेशक, यहाँ 'ज्यामितीय' और 'गैर-ज्यामितीय' शब्द थोड़े अस्पष्ट हैं। एक तर्क दे सकता है कि किसी भी ज्यामितीय समस्या वास्तव में गैर-ज्यामितीय है यदि आप सभी बिंदुओं को उनके समन्वय के साथ बदलते हैं। लेकिन सहज रूप से, परिभाषा स्पष्ट है। चलिए हम कहते हैं कि हम कुछ ज्यामितीय कहते हैं यदि हम इसके बारे में SoCG को एक पेपर भेजने पर विचार करेंगे।

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बेशक, ग्रैंड-डैडी यह मुल्मुले द्वारा उल्लिखित पी बनाम एनपी दृष्टिकोण है, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय है। लेकिन यह अभी तक उपयोगी साबित नहीं हुआ है। सबूत बिटवाइज़ संचालन बिना एनसी से पी अलग है लेकिन है कि का उपयोग करता है ज्यामितीय तर्क एक गैर ज्यामितीय सबूत। मैं इसे जोड़ूंगा, लेकिन मैंने पहले से ही बहुत सारे उत्तर दिए हैं :)

— सुरेश वेंकट

इस तरह के बहुत सारे उदाहरण अमेरिकी गणित मासिक के शब्दों के खंड के सबूतों में पाए जा सकते हैं

— अरजंग

Answer 1

कुछ और उदाहरण:

बाइनरी ट्री रोटेशन के लिए कम सीमा साबित करने के लिए, स्लाटर, थर्स्टन और टारजन ने बहुभुज और विभाजन के रूप में पेड़ों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग किया । (इसके अलावा, मेरा मानना ​​है कि डायनेमिक बाइनरी सर्च ट्री के इतिहास को टेट्राहेडलाइज़ेशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।)

न्यूनतम प्रश्नों को कम करने के लिए कम से कम सामान्य पूर्वजों की कमी , बर्कमैन और विस्किन के कारण, पेड़ों पर डेटा संरचनाओं की समस्या को यकीनन-ज्यामितीय समस्या से संबंधित करती है। (और लेख डेविड के लिए धन्यवाद)

अक्ष-समानांतर आयतों के स्वतंत्र वजन के अधिकतम निर्धारण के लिए समय-निर्धारण समस्या की कमी [1] या ज्यामितीय सेट कवर [2] के लिए एक अलग समय-निर्धारण समस्या को कम कर सकती है।

मैक्सिमा की परतों को खोजने के लिए सबसे बड़ी सामान्य बाद की समस्या को कम करना अच्छी तरह से ज्ञात है (मतलब, मैं यह देखने के लिए बहुत आलसी हूं कि वास्तव में इसके बारे में क्या सोचा था)।

[१] (लियोन लेविन-एयटन, जोसेफ़ सेफ़ी नोर और एरियल ओर्दा)

[२] निखिल बंसल, कर्क प्रूह्स। निर्धारण की ज्यामिति, एफओसीएस 2010।

[बाद में संपादित करें] कुछ और मामले जहां एक "ज्यामितीय" दृश्य आश्चर्यजनक लगा (हालांकि "SoCG को प्रस्तुत करना" या "कल्पना करने के लिए कुछ बनाता है" मानकों को शायद पूरा नहीं किया गया है):

बीजगणितीय टोपोलॉजी वितरित कंप्यूटिंग के लिए निचली सीमा पर लागू होती है

हॉसडॉर्फ आयाम में कम्प्यूटेशनलता को शामिल करना

समूहों के लिए दूरी की एक धारणा को परिभाषित करना, फिर मात्रा, फिर दूरी के एक समारोह के रूप में मात्रा का विकास, फिर "बहुपदीय विकास" का उपयोग करना

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निखिल का पेपर एक बहुत ही दिलचस्प उदाहरण है, जिसके बारे में मैं किसी तरह भूल गया।

— साशो निकोलोव

Cstheory, Ken :) में आपका स्वागत है

— सुरेश वेंकट

कोई भी प्लानर सेपरेटर प्रमेय का उल्लेख नहीं करता है ... जो कोबे प्रमेय का एक आसान परिणाम है।

— सरियल हर-पेलेड

मुझे आश्चर्य है कि किसी ने रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए अनुकूलन और पृथक्करण की समानता और दहनशील अनुकूलन पर इसके प्रभाव का उल्लेख नहीं किया है। ग्रोत्शेल, लोवाज़ और स्क्रीवर की पुस्तक का शीर्षक "जियोमेट्रिक एल्गोरिथम और कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन" है।

— चंद्र चकुरी

वितरित कंप्यूटिंग के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी से संबंधित दो महत्वपूर्ण कागजात (जो 2004 का गोडेल पुरस्कार जीता) हैं: * मौरिस हेरालि और नी शविट, "द टॉपोलॉजिकल स्ट्रक्चर ऑफ एसिंक्रोनस कंप्युटिबिलिटी," एएसीएम 46, 6 (1999)। * माइकल सैक्स और फॉटियोस ज़हरोग्लू, "वेट-फ़्री के-सेट एग्रीमेंट इम्पॉसिबल: द टोपोलॉजी ऑफ़ पब्लिक नॉलेज," सियाम जे। कम्प्यूटिंग 29, 5 (2000)।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

Answer 2

निश्चित रूप से मेरे पिछले एक की तुलना में बहुत बेहतर उत्तर, स्पार्स कट को हल करने के लिए मीट्रिक एम्बेडिंग सिद्धांत का उपयोग है। कटी हुई समस्या के समाधान में एक महत्वपूर्ण कदम यह एहसास था कि इसे सामान्य मीट्रिक की एक अच्छी एम्बेडिंग को ℓ 1 में खोजकर अनुमानित किया जा सकता है।$\ell_1$ -normed अंतरिक्ष ।

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क्या आप कृपया कागज का हवाला दे सकते हैं?

— यूजर

@user यहाँ तुम जाओ।

— सुरेश वेंकट

Answer 3

उन लोगों का उल्लेख कहीं और भी किया गया था, लेकिन एक उदाहरण मुझे यह पसंद है: आंशिक जानकारी के साथ छांटना एक पॉज़ेट का एक निश्चित अज्ञात रैखिक विस्तार खोजने की समस्या है, जो पोज़ेट दिया गया है और तुलनात्मक प्रश्नों की संख्या का उपयोग सूचना सिद्धांत के जितना संभव हो उतना करीब है कम बाउंड (यह केवल छंटनी है जब तुलना की संख्या महत्वपूर्ण जटिलता माप है और कुछ तुलना मुफ्त में दी जाती है)। इष्टतम (एक स्थिर तक) तुलना रणनीतियों का अस्तित्व साक्स और काह्न द्वारा आदेश पॉलीटोप के गुणों का उपयोग करके साबित किया गया था , एक विशेष पॉलीटॉप एक पॉज़ेट के साथ जुड़ा हुआ है (आप असतत ज्यामिति पुस्तक में मैटकोक के व्याख्यान में एक महान प्रदर्शनी पा सकते हैं)। पहले बहुपद समय एल्गोरिथ्म (काह्न और किम द्वारा) जो एक इष्टतम (निरंतर तक) तुलनात्मक रणनीति की गणना करता है, फिर से ऑर्डर पॉलीटॉप के गुणों के साथ-साथ इनपुट पॉसेट के अतुलनीयता ग्राफ के स्थिर सेट पॉलीटॉप का उपयोग करता है।

Answer 4

डेमनी एट अल द्वारा अपेक्षाकृत हालिया पेपर है जो गतिशील इष्टतमता पर कला की स्थिति को आगे बढ़ाने के लिए द्विआधारी खोज पेड़ों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है। मैं यहां थोड़ा अस्पष्ट हूं क्योंकि वे डीओ अनुमान को हल नहीं करते हैं: लेकिन वे कुछ सीमाएं मजबूत करते हैं और कुछ नई अंतर्दृष्टि देते हैं जो ज्यामितीय सूत्रीकरण से आते हैं।

Answer 5

मुझे नहीं लगता कि ऐसी बातों के कोई उदाहरण हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग, अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग, जटिल संख्या, मशीन सीखने के बड़े अंश आदि को छोड़कर, असली सवाल http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso है ।

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मोंटी पाइथन से जुड़े किसी भी उत्तर में अतिरिक्त अंक के हकदार हैं :)

— सुरेश वेंकट

Answer 6

पिछले साल पीओपीएल में एक अच्छा पेपर था, ईजेनसीएफए: जीपीयू के साथ तेजी से प्रवाह विश्लेषण , जिसने मैट्रिस के रूप में लैम्ब्डा-शर्तों का प्रतिनिधित्व किया और फिर तेजी से उन पर डेटाफ्लो विश्लेषण करने के लिए जीपीयू का इस्तेमाल किया।

कागज ने इसे स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया, लेकिन वे जो मूल रूप से कर रहे थे वह पेड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए वेक्टर रिक्त स्थान की स्पष्ट संरचना का शोषण कर रहा था। यही है, साधारण सेट सिद्धांत में, एक पेड़ (कुछ निश्चित ऊंचाई का) कार्टेशियन उत्पादों का एक नेस्टेड असंतुष्ट संघ है।

हालांकि, वेक्टर रिक्त स्थान में भी सीधे उत्पाद और रकम हैं, इसलिए आप एक पेड़ को एक उपयुक्त वेक्टर अंतरिक्ष के तत्व के रूप में अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। इसके अलावा, प्रत्यक्ष उत्पाद और प्रत्यक्ष रकम वेक्टर रिक्त स्थान के लिए मेल खाते हैं - अर्थात, उनका एक ही प्रतिनिधित्व है। यह समानांतर कार्यान्वयन के लिए द्वार खोलता है: चूंकि भौतिक अभ्यावेदन समान हैं, इसलिए बहुत सारे ब्रांचिंग और पॉइंटर-चेज़िंग को समाप्त किया जा सकता है।

यह भी बताता है कि डेटाफ्लो विश्लेषण क्यूबिक-टाइम क्यों है: यह कंप्यूटिंग आईजेनवेक्टर है!

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क्या आपके पास कोई अन्य उदाहरण है जहां वेक्टर स्पेस ट्रिक के लिए इस पेड़ का उपयोग किया जाता है? EigenCFA पेपर को समझने के लिए बहुत अधिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

— चाओ जू

अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो पेड़ / वेक्टर का संबंध सिर्फ पेड़ के प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल के लेबल को सूचीबद्ध करके पेड़ को वेक्टर में परिवर्तित करना है?

— चाओ जू

Answer 7

नेटवर्किंग में, ट्रैफ़िक को वर्गीकृत करने के लिए, राउटर TCAMs (टर्नरी कंटेंट-एड्रेसेबल मेमोरी - दूसरे शब्दों में, कंटेंट एड्रेसेबल मेमोरी विथ केयर नहीं) का उपयोग करते हैं। एक TCAM में प्रविष्टियाँ अक्सर बहुआयामी उपसर्ग-मिलान नियम हैं: उदाहरण के लिए, (101 *, 11 *, 0 *) किसी भी पैकेट से मेल खाता है जहाँ पहला हेडर फ़ील्ड 101 से शुरू होता है और दूसरा हेडर फ़ील्ड 11 (और आदि) से शुरू होता है। एक पैकेट पहले नियम से मेल नहीं खाता है, यह दूसरे पर जाता है, और इसी तरह जब तक कि एक मिलान नियम नहीं मिलता है।

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$ वें आयाम भिन्न हो सकते हैं। पैकेट मिलान तब एक अनुकूलन समस्या है: हम हाइपरप्लेन (नियम) को अधिकतम प्राथमिकता आयाम के साथ खोजना चाहते हैं जो लाइन (पैकेट) द्वारा प्रतिच्छेदित हो।

नेटवर्किंग के लोगों के लिए, यह व्याख्या यह समझने के लिए उपयोगी है कि नियमों का एक विशिष्ट सेट क्या करता है। सिद्धांतकारों के लिए, अन्य दिलचस्प उपयोग हैं। पैकेट वर्गीकरण केगुप्ता और मैककेन द्वारा , ज्यामितीय व्याख्या ने हमें पैकेट वर्गीकरण की समस्या के लिए निचले और ऊपरी सीमा को जल्दी से स्थापित करने की अनुमति दी। मुझे पता है कि टीसीएएम नियम न्यूनीकरण पर काम करना (नियमों की सबसे छोटी संख्या को खोजना जो शब्दार्थ को संरक्षित करता है) को भी ज्यामितीय दृष्टिकोण से लाभ हुआ है। इसके लिए मेरे द्वारा दिए जा सकने वाले कई संदर्भ हैं, लेकिन जो आपके लिए सबसे अधिक उपयोग का हो सकता है वह है Applegate, et al। Soda 2007 का पेपर, रेक्टिलाइनर चित्रों को संपीड़ित करना और अभिगम नियंत्रण सूचियों को कम करना। लिए एल्गोरिदम के अनुसार । वे साबित करते हैं कि उपसर्ग-मिलान नियमों के अधिक सामान्य संस्करण को कम करना एनपी-कठिन है, और समस्या को हल करने के लिए आयतों की सुंदर तस्वीरों से इसे (फिर से) कनेक्ट करें!

Answer 8

मुझे आश्चर्य है कि किसी ने भी यूक्लिडियन एल्गोरिथम को दो संख्याओं के बीच सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजने के लिए नहीं कहा है । आप एक कुल्हाड़ी आयत खींचकर समस्या से निपट सकते हैं, फिर छोटी तरफ से बनाए गए वर्ग द्वारा आयत को हटा सकते हैं, बचे हुए आयत के लिए दोहरा सकते हैं, बचे हुए आयत के लिए दोहराते रहें जब तक कि आपको एक वर्ग न मिल जाए जो शेष आयत को विभाजित कर सकता है (देखें यूक्लिडियन एल्गोरिथम पृष्ठ पर एनिमेटेड जिफ)।

बहुत सुंदर तरीके से यह पता लगाने की कोशिश की जाती है कि चीज कैसे काम करती है, आई.एम.ओ.

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मुझे लगता है कि यूक्लिड का तर्क होगा कि संख्या "पूरी तरह से गैर-ज्यामितीय" के रूप में योग्य नहीं है!

— जेफ

Answer 9

संभवतः सूची में बहुत अधिक उदाहरण हैं, लेकिन एक शास्त्रीय उदाहरण (इसे " पुस्तक से प्रमाण " के रूप में Aigner और Ziegler द्वारा हाइलाइट किया गया है ) शैनन क्षमता में एक समस्या को हल करने के लिए एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के Lovász द्वारा उपयोग किया जाता है। हालांकि यह प्रमाण 1979 में प्रकाशित हुआ और 1956 से एक खुला प्रश्न हल किया गया, लेकिन यह अत्याधुनिक बना हुआ है।

Answer 10

अक्षांश, क्षेत्र पैकिंग आदि (जैसे, कॉनवे और स्लोअन पुस्तक) के साथ त्रुटि सुधार कोड का संबंध। फिर भी रिश्ता इतना मजबूत है, कि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, अगर मुझे त्रुटि सुधार कोड "उसके बाद पूरी तरह से ज्यामितीय नहीं" कहना चाहिए ...

Answer 11

Lattice कमी तकनीक, जैसे LLL या PSLQ , अत्यधिक ज्यामितीय हैं और शुद्ध संख्या सिद्धांत की समस्याओं को हल करती हैं, जैसे रैखिक Diophantine सन्निकटन और पूर्णांक संबंध का पता लगाना।

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Answer 12

जेरार्ड सैलटन ने सूचना पुनर्प्राप्ति प्रणाली के लिए वैक्टर (कोसिन समानता) के बीच कोण के कोसाइन का उपयोग करने के इस विचार के साथ आया था। यह शब्द आवृत्ति-उलटा दस्तावेज़ आवृत्ति की गणना करने के लिए उपयोग किया गया था । मैं इसे आधुनिक दिन के खोज इंजनों का पूर्ववर्ती मानता हूं। वेक्टर स्पेस मॉडल भी देखें ।

Answer 13

हार बंटवारे समस्या एक बहुत अच्छा उदाहरण है। इसका कथन विशुद्ध रूप से दहनशील है: मान लें कि आपके पास मोतियों के साथ एक खुला हार है$k$विभिन्न रंग, और प्रत्येक रंग के मोतियों की संख्या सम है। हार को कई स्थानों पर इस तरह से काटा जाना चाहिए कि टुकड़ों को दो सेटों में विभाजित किया जा सके, जिसमें प्रत्येक रंग के मोतियों का आधा हिस्सा हो। यह हमेशा केवल बनाने के लिए पर्याप्त है$k$कटौती। इसे साबित करने के लिए, मोमेंट मोमेंट पर नेकलेस लगाएं और हैम सैंडविच प्रमेय का एक संस्करण का उपयोग करें (एक अच्छी किताब देखें "बोरिस-उलम प्रमेय का उपयोग जिआती मटौसेक द्वारा")।

बेशक, प्रमाण ज्यामितीय की तुलना में अधिक सामयिक है, लेकिन कम आयाम में इसकी स्पष्ट ज्यामितीय तस्वीर है। मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा करने के लिए, कोई विशुद्ध रूप से दहनशील प्रमाण (यानी एक प्रमाण जो आप किसी व्यक्ति को समझा सकते हैं जो टोपोलॉजी के बारे में कुछ भी सुनने से इनकार करता है) मौजूद है।

Answer 14

डेटाबेस और अनुकूलन में अंतरिक्ष भरने वाले घटता की भूमिका: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Answer 15

मशीन लर्निंग में सपोर्ट वेक्टर मशीन शायद क्वालिफाई करती है।

Answer 16

रैखिक प्रोग्रामिंग को हल करने के लिए कम्प्यूटेशनल ज्यामिति तकनीक मौजूद है। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति: एल्गोरिदम और अनुप्रयोगों के बारे में एक अच्छा और सरल अध्याय है।

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लेकिन रैखिक प्रोग्रामिंग - "इस पॉलीहेड्रॉन में सबसे कम बिंदु खोजें" - स्पष्ट रूप से ज्यामितीय है।

— जेफ

Answer 17

ए निश्चित इंटीग्रल एक समारोह का क्षेत्र अपनी ग्राफ से घिरा के हस्ताक्षर किए क्षेत्र के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

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सही है, सिवाय इसके कि "" वर्तनी की जानी चाहिए "के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है"।

— जेफ