मॉड्यूलर अपघटन और क्लिक-चौड़ाई

Question

मैं मॉड्यूलर अपघटन और क्लीक-चौड़ाई ग्राफ के बारे में कुछ अवधारणाओं को समझने की कोशिश कर रहा हूं ।

में इस पत्र ( "पी 4-सुथरा रेखांकन पर"), वहाँ कैसे गुट-नंबर या रंगीन-संख्या मॉड्यूलर अपघटन का उपयोग कर की तरह अनुकूलन समस्याओं को हल करने का एक सबूत है। G1 और G2 के जवाब जानने के बाद कंपोजिंग (डिसऑन सम या डिसॉइंट यूनियन का उपयोग करके) दो ग्राफ्स G1, G2 को हल करना आसान है। चूँकि P4-tidy graphs के अपघटन पर प्राइम-ग्राफ्स बाउंडेड ग्राफ्स (यानी C5, P5, इत्यादि) हैं, इसलिए इन "बेस केस" के लिए इसे हल करना आसान है और फिर रचनाओं के लिए इसे हल करना। इसलिए अपघटन वृक्ष का उपयोग करके इन समस्याओं को रैखिक समय में हल करना संभव है।

लेकिन ऐसा लगता है कि यह तकनीक किसी भी ग्राफ वर्ग के साथ काम करेगी जैसे कि ग्राफ-प्रिम्स बाध्य हैं। तब मुझे यह पेपर "बाउंडेड क्लिक्स चौड़ाई के रेखीय समय हल करने योग्य अनुकूलन समस्याएँ" मिला, जो कि सामान्यीकरण के लिए लगता है जो मैं देख रहा था, लेकिन मैं इसे अच्छी तरह से समझ नहीं पाया।

मेरा प्रश्न हैं:

1- क्या यह कहना बराबर है कि विघटित होने वाले पेड़ के प्राइम-ग्राफ बंधे होते हैं (जैसे P4-tidy graphs मामले में) और कहते हैं कि एक ग्राफ में संपत्ति "क्लिक-विथ" है?

2- यदि 1 का उत्तर ना के बराबर है, तो क्या इसका कोई परिणाम मौजूद है जिसमें ग्राफ-प्राइम्स के साथ ग्राफ के वर्ग के बारे में बाउंड किया गया है (जैसे P4-tidy रेखांकन) और इस प्रकार सभी वर्ग पर रैखिक समय पर क्लिक-नंबर सॉल्व करने जैसी अनुकूलन समस्याएं। ?

Answer 1

आपको यहां क्लिक्स-चौड़ाई (शॉर्ट के लिए cwd) पर एक परिचयात्मक पाठ मिलेगा: ग्राफ़ की क्लिक्स-चौड़ाई (बी। कौरसल और एस। ओलियारू, डैम 101) के लिए ऊपरी सीमा। आप इस सर्वेक्षण में और अधिक हाल के परिणाम पा सकते हैं: हाल ही में बंधी-बंधाई चौड़ाई (एम। कमिंसकी, वी। लोज़िन, एम। मिलानिक, डीएएम 157 (12): 2747-2761 (2009)) के रेखांकन पर हुए विकास

Cwd ग्राफ़ परिचालनों पर आधारित एक जटिलता उपाय है जो शब्द संयोजन को सामान्य करता है। अनंत गणना योग्य रेखांकन सीडब्ल्यूडी से बंधे हो सकते हैं। आप कहेंगे कि ग्राफ़ का एक सेट (संभवतः अनंत) (परिमित या गणनीय) ने cwd को बाउंड किया है यदि कोई निरंतर k मौजूद है जैसे कि इस सेट के किसी भी ग्राफ़ में अधिकांश kwd है। उदाहरण के लिए, पूर्ण रेखांकन में cwd 2, दूरी 3 पर वंशानुगत रेखांकन cwd है, ...

1) cwd और मॉड्यूलर-डिक के बीच लिंक निम्न है: cwd (G) = max {cwd (H) | H} G के मॉड्यूलर डिक में प्राइम। इसलिए, आप कह सकते हैं कि cwd इस तथ्य को सामान्य करता है कि "प्रधान रेखांकन का आकार सीमित है"। आपके पास बिना आकार के प्राइम-ग्राफ के साथ रेखांकन हो सकता है लेकिन बाउंडेड cwd के साथ।

2) अगर प्राइम-ग्राफ का आकार बंधा है, तो cwd बाउंड है। आपके द्वारा बताए गए पेपर के परिणाम कहते हैं कि MSOL में व्यक्त की जाने वाली कोई भी समस्या बाउंडेड cwd की ग्राफ कक्षाओं में कुशलता से हल की जा सकती है। समस्याओं के इस सेट में कई एनपी-पूर्ण समस्याएं शामिल हैं: क्लिक-नंबर, स्टेबल नंबर, 3-कलरबिलिटी, ...

मॉड्यूलर dec के कुछ एल्गोरिथम पहलुओं का अध्ययन यहां किया गया है "मॉड्यूलर अपघटन के एल्गोरिदम पहलुओं का एक सर्वेक्षण" (एम। हबीब और सी। पॉल, कंप्यूटर साइंस रिव्यू 4 (1): 41-59 (2010))

Comments

हालाँकि मुझे यकीन नहीं है कि ये "रेखीय एल्गोरिदम" व्यवहार में उपयोगी हैं क्योंकि "ए रिव्यू ऑफ़ ग्राफ ऑफ़ बाउंडेड क्लिक-विथथ" (शाहीन कमाली) यह बताता है कि आपको एल्गोरिदम के लिए के-एक्सप्रेशंस की आवश्यकता है और इस के-एक्सप्रेशन को प्राप्त करना है। एनपी-हार्ड है।

— 13:25 पर user2582

हां, k- अभिव्यक्ति प्राप्त करना एनपी-पूर्ण है और ये एल्गोरिदम केवल सैद्धांतिक महत्व के हैं। इनमें से कुछ समस्याओं (विशेषकर वर्चस्व की समस्याओं) के लिए, "बेहतर एल्गोरिदम" मौजूद है। हालाँकि, निश्चित k के लिए आप cwd <= k के रेखांकन के cwd को अनुमानित कर सकते हैं। यह एल्गोरिथ्म समतुल्य जटिलता मापक रैंक-चौड़ाई का उपयोग करता है (उदाहरण के लिए इस सर्वेक्षण को देखें "पी। हेलिनेंजी, एस। ओउम, डी। सीसे, जी। गोटलोब: चौड़ाई पैरामीटर्स बियॉन्ड ट्री-चौड़ाई और उनके अनुप्रयोग। कंप्युटर। जे। 51 (3) ): 326-362 (2008) ")। कुछ ग्राफ कक्षाओं के लिए, cwd या cwd पर ऊपरी बाउंड को जाना जाता है।

— एम। कांते