ट्यूरिंग मशीन और लैंबडा कलन के बीच संबंध?

Question

क्या ट्यूरिंग मशीन और लैंबडा कैलकुलस के बीच एक संबंध है - या क्या वे केवल एक ही समय के बारे में उत्पन्न हुए थे?

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क्या आप अपने प्रश्न का विस्तार कर सकते हैं? दोनों मॉडलों में एक समान कम्प्यूटेशनल शक्ति है (दोनों पुनरावर्ती कार्यों के परिवार को व्यक्त करने में सक्षम हैं), अर्थात्, वे ट्यूरिंग पूर्ण हैं। देखें: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— जोएल रयबिकि

संबंधित: साकार करने के सिद्धांत: लैम्ब्डा पथरी और ट्यूरिंग मशीन के बीच सत्ता में अंतर

— कावेह

यह एक अच्छा सवाल है!

— तैफून पे

Answer 1

लैम्ब्डा कैलकुलस ट्यूरिंग मशीन मॉडल की तुलना में पुराना है, जाहिरा तौर पर 1928-1929 (सेलेडिन 2006) की अवधि से डेटिंग किया गया था, और एक योजनाबद्ध फ़ंक्शन की धारणा को एनकैप्सुलेट करने के लिए आविष्कार किया गया था जिसे चर्च को एक तर्कसंगत तर्क के लिए आवश्यक था जिसे उन्होंने तैयार किया था। यह कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की सामान्य धारणा को पकड़ने के लिए आविष्कार नहीं किया गया था, और वास्तव में एक कमजोर टाइप किए गए संस्करण ने अपने उद्देश्यों को बेहतर तरीके से सेवा दी होगी।

यह इस उद्देश्य के लिए आकस्मिक प्रतीत होता है कि जिस कलश चर्च का आविष्कार किया गया था वह ट्यूरिंग पूर्ण हो गया था, हालांकि बाद में चर्च ने लैंबडा कैलकुलस का उपयोग अपनी नींव के रूप में किया जिसके लिए उन्होंने प्रभावी रूप से कम्प्यूटेशनल कार्यों (1936) को बुलाया , जिसे टेड ने अपने पेपर में अपील की। ।

चर्च का सरल सिद्धांत प्रकार (1940) कार्यों का एक अधिक उदार, टाइप सिद्धांत प्रदान करता है जो उच्च-क्रम तर्क के वाक्यविन्यास को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है, लेकिन सभी पुनरावर्ती कार्यों को व्यक्त नहीं करता है। इस सिद्धांत को चर्च की मूल प्रेरणा के अनुरूप अधिक देखा जा सकता है।

संदर्भ

• चर्च (1936)। प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में एक अनसुलझी समस्या। गणित का अमेरिकन जर्नल 58: 345-363।
• चर्च (1940)। प्रकारों के सरल सिद्धांत का एक सूत्रीकरण । जर्नल ऑफ़ सिम्बोलिक लॉजिक 5 (2): 56-68।
• सेलिन (2006)। करी और चर्च का तर्क । में तर्क का इतिहास की पुस्तिका, vol.5: तर्क रसेल से चर्च के , पी। 819-874। उत्तर-हॉलैंड: एम्स्टर्डम।

नोट इस उत्तर को कावे और साशो की आपत्तियों के कारण काफी हद तक संशोधित किया गया है। मैं उस समय की विकिपीडिया समयरेखा की सिफारिश करता हूं, जो केव ने सुझाव दिया था, चर्च ऑफ ट्यूरिंग थीसिस का इतिहास , जिसमें कुछ लेखों के उद्धरण सेमिनल के हैं।

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चर्च ने यह दावा किया कि लैम्ब्डा कैलकुलस ने ट्यूरिंग के पेपर से पहले कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की सहज जानकारी को कैप्चर किया है, इसीलिए इसे चर्च का थीसिस कहा जाता है। कम्प्यूटेशनल कार्यों की सामान्य धारणा को कैप्चर करने का विचार आगे पीछे चला जाता है (जैसे गोडेल के सामान्य पुनरावर्ती कार्य), और चर्च इसे पकड़ने की कोशिश कर रहा था।

— केवह

मुझे लगता है कि यह कहना भ्रामक है कि मॉडल की समानता एक पूर्ण दुर्घटना है। यह मुझे लगता है कि चर्च और ट्यूरिंग ने संबंधित धारणाओं को पकड़ने के लिए सेट किया था, भले ही यह तुरंत स्पष्ट नहीं था कि धारणाएं वास्तव में संबंधित थीं। क्या आप कहेंगे कि यह "पूर्ण दुर्घटना" है कि रीमैन एकीकरण और विरोधी भेदभाव निकटता से संबंधित हैं?

— शाशो निकोलेव

@ केव: सेलिन के अनुसार (2006) चर्च और करी का तर्क , लैम्ब्डा कैलकुलस के उद्देश्य और वाक्यविन्यास 1928 से 1929 की अवधि में विकसित किए गए थे, इससे पहले कि चर्च पुनरावृत्ति समारोह की सामान्य धारणा से अवगत था। मेरे जवाब से एक समयरेखा को लाभ होगा, लेकिन मेरे पास अभी उस समय को इकट्ठा करने का समय नहीं है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

@ चर्च: चर्च गोटिंगेन 1927-1928 में था। उन्हें निश्चित रूप से पता था कि पुनरावर्ती कार्य सिद्धांत और हिल्बर्ट के कार्यक्रम के बारे में क्या चल रहा है। एक गैर-आदिम पुनरावर्ती कार्य के बारे में एकरमैन का परिणाम उसी वर्ष से है। चर्च गणित के लिए एक आधार बनाने की कोशिश कर रहा था। यह सब ट्यूरिंग के पेपर से पहले हुआ था। देखें इस । क्लीन सामान्य पुनरावर्ती कार्य करता है और की समतुल्यता साबित कर दिया ट्यूरिंग के काम करने से पहले -definable कार्य करते हैं। आपका अंतिम पैराग्राफ भ्रामक है क्योंकि यह एहसास $\lambda$

— दिलाता है

@Charles, जैसा कि मैंने लिखा है कि मैं सहमत हूं कि चर्च की मूल प्रेरणा एक नींव (फ्रीज की प्रणाली की तरह कुछ) (AFAIK) का निर्माण करना था, लेकिन उन्होंने ट्यूरिंग के काम से पहले इसे कम्प्यूटेशन मॉडल के रूप में भी माना। मुझे नहीं लगता कि उत्तर को हटाने की आवश्यकता है, दूसरे पैराग्राफ को संशोधित करके इसे ठीक करना चाहिए। (कारण मैंने टिप्पणी की है कि मुझे लगता है कि हाल के दिनों में लोग चर्च के काम को कम करने की क्षमता का मूल्यांकन करते हैं।)

— Kaveh

Answer 2

मैं केवल यह बताना चाहूंगा कि लैंबडा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीन दोनों ही संख्या-सिद्धांत कार्यों के एक ही वर्ग की गणना करते हैं, लेकिन वे हर तरह से कल्पना के बराबर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविकता सिद्धांत में ऐसे कथन हैं जिन्हें ट्यूरिंग मशीन द्वारा महसूस किया जा सकता है लेकिन लैम्ब्डा कैलकुलस द्वारा नहीं। ऐसा एक बयान औपचारिक चर्च की थीसिस है, जिसमें कहा गया है:

$$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$$

यहाँ , क्लेन का T विधेय है । इस बयान के लिए एक realizer एक कार्यक्रम होगा ग है कि एक (के प्रतिनिधित्व) मानचित्र स्वीकार करता है च और आउटपुट (का प्रतिनिधित्व) ई वांछित संपत्ति के साथ। ट्यूरिंग मशीन मॉडल में मैप एफ को ट्यूरिंग मशीन के कोड द्वारा दर्शाया जाता है जो कि एफ की गणना करता है , इसलिए प्रोग्राम सी सिर्फ (ट्यूरिंग मशीन कंप्यूटिंग का कोड) पहचान फ़ंक्शन है। हालाँकि, अगर हम लैम्ब्डा कैलकुलस का उपयोग करते हैं, तो c को एक संख्या की गणना करने के लिए माना जाता है जो एक लंबिंग टर्म से ट्यूरिंग मशीन का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक फ़ंक्शन f का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbf{T}$$c$$f$$e$$f$$f$$c$$c$$f$। यह नहीं किया जा सकता है (मैं समझा सकता हूं कि, यदि आप इसे एक अलग प्रश्न के रूप में पूछते हैं)।

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अब हमारे पास मार्कअप है। $T_EX$

— आंद्रेस सलामन

विकिपीडिया, विकिपीडिया लेख आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे मापदंडों के विभिन्न क्रमों का उपयोग करता है, दूसरा तर्क इनपुट का है और तीसरा रुकने की गणना का कोड है, पहला तर्क मशीन का कोड है। मुझे लगता है कि आप सीटी बजा रहे हैं, मैंने इसे vDT88 के आधार पर संपादित किया।

— केवह

$f$$\lambda$$f$$\lambda$

@ केव: मुझे लगता है कि यह चारों ओर का दूसरा तरीका था, लेकिन मुझे यह भी आश्चर्य है कि लैम्ब्डा पथरी के मामले में इनपुट के समान प्राकृतिक उत्पादन भी क्यों नहीं होता है।

— हाबिल मोलिना

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$2^\mathbb{N}$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

Answer 3

वे गणितीय और ऐतिहासिक दोनों रूप से संबंधित हैं।

लैंबडा कैलकुलस का विकास 1928 - 1929 में अलोंजो चर्च (1932 में प्रकाशित) द्वारा किया गया था।

ट्यूरिंग मशीन को 1935 - 1937 में एलन ट्यूरिंग (1937 में प्रकाशित) द्वारा विकसित किया गया था।

एलन ट्यूरिंग अलोंजो चर्च के पीएच.डी. प्रिंसटन में छात्र 1936 - 1938 से।

ट्यूरिंग मशीन और लैम्ब्डा कैलकुलस कम्प्यूटेशनल पावर में बराबर हैं: प्रत्येक कुशलता से दूसरे का अनुकरण कर सकते हैं।

Answer 4

गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट द्वारा प्रस्तावित प्रसिद्ध 23 समस्याओं में से एक है एन्सेचिडुंगस्प्रोब्लेम ।

1936 और 1937 में अलोंजो चर्च और एलन ट्यूरिंग ने क्रमशः स्वतंत्र पत्र प्रकाशित किए, जिसमें दिखाया गया कि एल्गोरिथम को तय करना असंभव है कि क्या अंकगणित में कथन सही या गलत हैं, और इस तरह एनट्सचेइदंगस्प्रोब्लेम का एक सामान्य समाधान असंभव है।

यह अलोंजो चर्च द्वारा 1936 में अपने λ कलन पर आधारित "प्रभावी गणनाशीलता" की अवधारणा के साथ और ट्यूरिंग मशीनों की अपनी अवधारणा के साथ उसी वर्ष एलन ट्यूरिंग द्वारा किया गया था। बाद में यह माना गया कि ये गणना के समकक्ष मॉडल हैं। - विकिपीडिया

इसलिए लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीनें न केवल निकटता से संबंधित हैं बल्कि वे गणना के समकक्ष मॉडल हैं ।

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Answer 5

ट्यूरिंग मशीन और लैंबडा कैलकुलस दो मॉडल हैं जो एल्गोरिथ्म (यांत्रिक गणना) की धारणा को पकड़ते हैं। कार्यों के साथ संगणना करने के लिए चर्च द्वारा लैंबडा कैलकुलस का आविष्कार किया गया था। यह कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषाओं का आधार है। मूल रूप से, हर समस्या जो ट्यूरिंग मशीनों द्वारा कम्प्यूटेबल (घटने योग्य) है, वह भी लैम्ब्डा कैलकुलस का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल है। तो, वे गणना के दो समकक्ष मॉडल (बहुपद कारकों तक) हैं और दोनों किसी भी यांत्रिक संगणना की शक्ति को पकड़ने की कोशिश करते हैं।