बॉल्स और Bins का विश्लेषण m >> n शासन में होता है।

यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि यदि आप n गेंदों को n डिब्बे में फेंकते हैं, तो सबसे अधिक लोड किए गए बिन में $O(\log n)$ गेंदों की अत्यधिक संभावना है। सामान्य तौर पर, कोई व्यक्ति बिन में $m > n$ गेंदों के बारे में पूछ सकता है । रैबॉम और स्टीगर द्वारा रैंडम 1998 के एक पेपर ने कुछ विस्तार से यह पता लगाया, कि जितना बढ़ता है, के अपेक्षित मूल्य से थोड़ा ऊपर जाने की संभावना तेजी से घटती है। मोटे तौर पर, स्थापना , वे दिखाते हैं कि से अधिक देखने की संभावना $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ है। $o(1)$

यह पत्र 1998 में दिखाई दिया, और मुझे हाल ही में कुछ भी नहीं मिला। क्या इन पंक्तियों के साथ नए और भी अधिक केंद्रित परिणाम हैं, या क्या संदेह करने के लिए अनुमानी / औपचारिक कारण हैं कि यह सबसे अच्छा एक है? मुझे यह जोड़ना चाहिए कि 2006 में एंजेलिका स्टीगर द्वारा सह- बहुविकल्पी वैरिएंट पर एक संबंधित पेपर हाल के किसी भी काम का हवाला नहीं देता है।

अद्यतन : पीटर की टिप्पणी के जवाब में, मुझे उन चीजों को स्पष्ट करना चाहिए जो मैं जानना चाहता हूं। मेरे यहाँ दो लक्ष्य हैं।

सबसे पहले, मुझे यह जानने की आवश्यकता है कि कौन से संदर्भ का हवाला देते हैं, और ऐसा लगता है कि यह इस पर सबसे हाल का काम है।
दूसरे, यह सच है कि परिणाम आर = 1 श्रेणी में काफी तंग है। मुझे m >> n रेंज में दिलचस्पी है, और विशेष रूप से दायरे में जहां आर पाली लॉग एन, या एन ^ सी भी हो सकता है। मैं इस परिणाम को एक लेम्मा में बदलने की कोशिश कर रहा हूं, जिसे मैं साबित कर रहा हूं, और आर पर विशिष्ट सीमा समग्र एल्गोरिथ्म के अन्य हिस्सों को नियंत्रित करती है। मुझे लगता है कि (लेकिन मुझे यकीन नहीं है) कि इस पेपर द्वारा प्रदान की गई सीमा पर सीमा पर्याप्त हो सकती है, लेकिन मैं सिर्फ यह सुनिश्चित करना चाहता था कि एक तंग बाउंड नहीं था (जो बेहतर परिणाम देगा)।

reference-request pr.probability

— सुरेश वेंकट
स्रोत

मैंने टैग से "ऑक्यूपेंसी प्रॉब्लम" नाम सीखा है, इसलिए एक शैक्षिक प्रश्न पोस्ट करने के लिए धन्यवाद। :)

— त्सुयोशी इतो

रैब और स्टीगर के कागज को देखते हुए, मेरे लिए यह पता लगाना कठिन है कि आप इन पंक्तियों के साथ आगे क्या परिणाम चाहते हैं। क्या कोई विशिष्ट प्रश्न है जिसका उत्तर आपको जानना है? यदि हां, तो आपको इसे पूछना चाहिए, या तो यहां या MathOverflow पर। विशेष रूप से, यदि

r = m / n

$r=m/n$ , Raab और Steger

का एक तंग बाउंड देते हैं

जहां

सही स्थिर है।

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— पीटर शोर

@Peter मैं प्रश्न संपादित करूँगा: यह एक मान्य बिंदु है।

— सुरेश वेंकट

वास्तव में पूर्ण उत्तर नहीं (न ही एक उपयोगी संदर्भ), बल्कि सिर्फ एक विस्तारित टिप्पणी। किसी भी बिन के लिए, बिन में बिलकुल बॉल्स होने की संभावना द्वारा दी जाएगी $B$ । हम Sondow की वजह से एक असमानता का उपयोग कर सकते, $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ ,उपज के लिए $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ , जहां $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ । ध्यान दें कि यह ही, काफी तंग है के बाद से एक $r=\frac{m}{B}-1$ । $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

इस प्रकार हमारे पास । अब, जब से तुम पाने की संभावना में रुचि रखने वाले रहे हैं एक बिन हम विचार कर सकते हैं या अधिक गेंदों $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ । मामले का उलटफेर करने पर हम पाते हैं $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$ If we rewrite

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$ terms using exponentials, we get

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$ which then becomes

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

Now, I take it you care about finding some $B$ such that $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ for some constant $C$ , since this gives the total probability of any bin having $B$ or more balls as bounded from above by $C$ . This criteria is satisfied by taking

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$ which can be rewritten as

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.

— Joe Fitzsimons
स्रोत

this is pretty awesome. thanks for the outline.

— Suresh Venkat

@Suresh: Glad it's useful.

— Joe Fitzsimons