परिवारों को जोड़ते हुए समुच्चय का हिट सेट

Question

एक हिटिंग सेट एक परिवार के $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$ एक सबसेट है $H$ के $\bigcup_{i=1}^{n} S_i$ ऐसा है कि $H \cap S_i \ne \emptyset$ के लिए $1 \le i \le n$ । किसी दिए गए परिवार के न्यूनतम हिटिंग सेट को खोजने में समस्या एनपी-कठिन है, क्योंकि यह शीर्ष कवर समस्या को सामान्य करता है। अब मेरा सवाल है:

जब जोड़े के तत्वों को जोड़ते हैं तो क्या हिटिंग सेट की समस्या एनपी-हार्ड रहती है ?$\mathcal{S}$

मुझे इस समस्या के सन्निकटन कठोरता (या ट्रैक्टेबिलिटी) में भी दिलचस्पी है।

Answer 1

जवाब हां है - समस्या अभी भी एनपी-पूर्ण है। प्रत्येक सेट के लिए एक नकली तत्वों को बनाने के ई ' मैं , ई " मैं और बनाने के लिए एक नया सेट एस ' मैं = एस मैं ∪ { ई ' मैं } और एस " मैं = एस मैं ∪ { ई " मैं } । यह सत्यापित करना आसान है कि पुरानी प्रणाली का कोई हिटिंग सेट नई प्रणाली का हिटिंग सेट है। इसके अलावा, नकली तत्वों को छोड़कर, हर तत्व अब कम से कम तीन सेट मारता है।$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

इसके बाद, नई प्रणाली में सेट के प्रत्येक जोड़े के लिए ( भ्रम की स्थिति से बचने के लिए उन्हें और T j कहते हैं ), एक नकली तत्व x i j बनाएँ और इसे T i और T j दोनों में जोड़ें । स्पष्ट रूप से, परिणामी सेट प्रणाली में सभी समुच्चय को जोड़ते हैं, लेकिन मूल इष्टतम हिटिंग सेट अभी भी इस नवीनतम सिस्टम के लिए इष्टतम हिटिंग सेट है।$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

किसी भी अन्य प्रतिबंध के बिना समस्या मूल समस्या जितनी कठिन दिखती है।

BTW, यह साबित करते हुए कि वास्तव में इष्टतम समाधान नकली तत्वों में से किसी का उपयोग नहीं करेगा तुच्छ नहीं है। सबसे पहले, हम मान सकते हैं कि नई प्रणाली के लिए एक दिया मार सेट किसी भी शामिल नहीं है या ई " मैं , क्योंकि अन्यथा हम सेट के मूल तत्वों को तत्वों को स्थानांतरित कर सकते हैं, और इसी तरह के आकार का एक हिटिंग सेट मिलता है। यह देखना थोड़ा अधिक सूक्ष्म है कि तत्व x i j इष्टतम हिटिंग सेट में क्यों नहीं हैं। चूंकि यह थकाऊ है, मैं सिर्फ एक संकेत छोड़ दूंगा: मूल प्रणाली में दो सेट S i और S j को जोड़ने वाला एक ग्राफ बनाएँ: x 1 $e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$इन सेटों से प्राप्त होने वाले दो सेटों को जोड़ता है। तर्क दें कि न्यूनतम हिटिंग सेट में यह ग्राफ नियमित होना चाहिए , और इसमें किनारों की संख्या कड़ाई से वर्तमान सेट की संख्या से अधिक होती है। जैसे, कोई इन सेटों के लिए एक छोटा हिटिंग सेट पा सकता है।$3$

Comments

आपके अच्छे सबूत के लिए धन्यवाद। मुझे लगा कि प्रतिबंध से समस्या आसान हो सकती है, और मैं गलत था।

— योता ओटैची