मोटा चीज़ों के प्रतिच्छेदन के माध्यम से प्लेनर ग्राफ?

Question

वहाँ Koebe का एक सुंदर प्रमेय (देखें है यहाँ ) है कि कहा गया है कि किसी भी समतल ग्राफ डिस्क की ग्राफ चुंबन के रूप में तैयार किया जा सकता (बहुत ही रोमांटिक ...)। (इसे कुछ अलग तरीके से कहते हुए, किसी भी प्लानर ग्राफ को डिस्क के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में खींचा जा सकता है।)

कोबे प्रमेय साबित करने के लिए बहुत आसान नहीं है। मेरा प्रश्न: क्या इस प्रमेय का एक आसान संस्करण है जहां डिस्क के बजाय किसी भी वसा उत्तल आकृतियों का उपयोग करने की अनुमति है (उत्तलता वार्ता के लिए खुली हो सकती है, लेकिन मोटापा नहीं)। ध्यान दें, कि प्रत्येक शीर्ष एक अलग आकार हो सकता है।

धन्यवाद...

स्पष्टीकरण: एक आकार के लिए , चलो आर ( एक्स ) की सबसे छोटी संलग्न गेंद की त्रिज्या एक्स , और आर ( एक्स ) मुझ में सबसे बड़ा संलग्न गेंद की त्रिज्या जाने एस । आकार एस है अल्फा वसा अगर आर ( एक्स ) / आर ( एक्स ) ≤ अल्फा । (यह केवल मोटापा, BTW के लिए परिभाषा नहीं है।)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

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थोड़ा पांडित्यपूर्ण होना: कोबे का प्रमेय संपर्क रेखांकन के बारे में है, जो अंतर रेखांकन से थोड़ा भिन्न होता है। आप कौन सा संस्करण पसंद करेंगे ?

— सुरेश वेंकट

इसलिए मुझे लगता है कि इस तथ्य के कारण मोटापा आवश्यक है कि हर प्लेन ग्राफ प्लेन में सेगमेंट का चौराहे का ग्राफ है (चलोपिन एंड गॉनक्लेव्स, एसटीओसी 09)। वे वसा नहीं हैं, तो चुंबन चौराहे के समान है। (हम्म, अंतिम वाक्य अजीब संदर्भ से बाहर ले जाया गया है!)

— आरजेके

थकान बस जीवन को आसान बनाती है जहाँ तक ग्राफ के साथ अन्य चीजें करना (उदाहरण के लिए, एक विभाजक खोजना)।

— सरियल हर-पेलेड

मुझे आश्चर्य है कि यहां असली सवाल यह है: "कम-जटिलता वसा आकार वाले परिवारों को खोजने के बजाय" कोबे के प्रमेय का एक सरल प्रमाण दें "जो कि कोबे के प्रमेय का अनुकरण करते हैं"

— सुरेश वेंकट

ज़रूर। यह एक मान्य व्याख्या है। हालांकि, मुझे लगता है कि कोबे प्रमेय का एक सरल प्रमाण प्राप्त करना है, किसी को इसे किसी तरह से आराम करने की आवश्यकता है ...

— सरियल हर-पेलेड

Answer 1

आपने यह नहीं कहा कि मोटी वस्तुओं को दो-आयामी होना चाहिए था, क्या आपने? फेल्सर और फ्रांसिस साबित करते हैं कि यह 3 डी में धुरी-समानांतर क्यूब्स के साथ हमेशा संभव है । लेकिन, सबूत में कोएम्ब-थर्स्टन-एंड्रीव के शोराम के सामान्यीकरण शामिल हैं, इसलिए यह बिल्कुल सरल परिणाम नहीं है। वे इस तरह से भी उल्लेख करते हैं कि चार-जुड़े मैक्सिमल प्लानर ग्राफ़ के लिए समानांतर-समानांतर एकतरफा त्रिभुज का उपयोग करना संभव है।

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खैर, यह एक अच्छा सवाल है, मुझे लगता है। क्या कोई त्वरित प्रमाण है कि हर प्लानर ग्राफ, क्षेत्र के संपर्क ग्राफ के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है?

— आरजेके

Answer 2

यदि आप त्रिकोण का उपयोग करते हैं, तो यह किया जा सकता है। शायद Koebe से आसान नहीं है ...

डी फ्रैसिस, ओस्सोना डी मेंडेज़ और रोसेन्स्टिहल। त्रिभुज संपर्क ग्राफ़ पर। सीपीसी 3 (2): 233-246, 1994।

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मुझे नहीं लगता कि उस पेपर में त्रिकोण मोटे हैं लेकिन टी-आकृतियों के प्रतिनिधित्व के आधार पर प्रमाण आसान है, जो सभी आदेशों से होता है।

— डोमटॉर्प

Answer 3

श्रामम ने साबित किया कि हर प्लानर ग्राफ Brouwer के फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय का उपयोग करते हुए अपने पीएचडी थीसिस (प्रिंसटन, 1990) में विमान में चिकनी उत्तल वस्तुओं के कुछ सेट का संपर्क ग्राफ है ।

इस और कॉबे के प्रमेय से संबंधित अन्य परिणामों का एक अच्छा सर्वेक्षण सैक्स द्वारा किए गए सर्वेक्षण में है ।

Answer 4

एक बात हम जानते हैं कि आप कोएबे के प्रमेय को आयतों के साथ दोबारा नहीं बना सकते। आयतों के संपर्क रेखांकन पर कब्जा नहीं कर सकते$K_4$ ।

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अक्ष समानांतर आयतें? या कोई आयतें?

— सरील हर-पेलेड

अक्ष समानांतर आयतें।

— सुरेश वेंकट

Answer 5

डनकन , गांसनर, हू, कॉफमैन और कोबोरोव द्वारा संपर्क ग्राफ अभ्यावेदन पर आरएक्सवी पर एक नया पेपर है । वे बताते हैं कि 6 पक्षीय बहुभुज आवश्यक और पर्याप्त हैं। हेक्सागोन उत्तल हो सकता है, लेकिन यह मेरे लिए पहली बार पढ़ने पर स्पष्ट नहीं था कि क्या वे मोटे थे।

Comments

योयो। मैंने अभी खुद इस पेपर की खोज की है ... वे ऊपर वर्णित डी फ्रैस्सिक्स एटल परिणाम का उपयोग कर रहे हैं, और कांट द्वारा एक परिणाम ...

— सरीएल हर-पेलेड

यहां "संपर्क" को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। मेरे पढ़ने से बिंदु संपर्क अस्वीकृत है।

— RJK

मुझे लगता है कि बहुभुज प्रतिनिधित्व के लिए उचित है (क्योंकि किसी भी गैर-शीर्ष संपर्क आवश्यक रूप से गैर-बिंदु होगा)?

— सुरेश वेंकट

चूँकि यहाँ केवल तीन स्वीकार्य ढलान हैं, स्पर्श समानांतर किनारों के माध्यम से एक दूसरे को छूना चाहिए ... नहीं?

— सरियल हर-पेलेड

Answer 6

अपनी पीएचडी थीसिस (जॉर्ज-अगस्त-यूनिवर्सिटेट, गोटिंगेन, 1967) में गेर्ड वेगनर ने साबित किया कि कोई भी ग्राफ तीन आयामी उत्तल पॉलीटोप के सेट का संपर्क ग्राफ है (लेकिन वह परिणाम का पहला अप्रकाशित प्रमाण ग्रुनबम को देता है)। यह एक छोटा सा प्रमाण है।

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इसके आसान प्रत्यक्ष प्रमाण हैं, उदाहरण के लिए पल वक्र पर अंक डालकर और उनके वोरोनोई आरेख की गणना। हालांकि मोटापा की स्थिति बुरी तरह से विफल हो जाती है ...

— Sariel Har-Peled

आह, मैंने "वसा" को पूरी तरह से गलत समझा। मैं स्वीकार करने के लिए शर्मिंदा हूं (लेकिन मुझे लगता है कि यह अब स्पष्ट होना चाहिए) कि मुझे परिभाषा पता नहीं थी, जब तक कि मैंने "वसा त्रिकोण" को गॉगल नहीं किया। क्या आप इस अवधारणा के लिए संदर्भ / परिभाषा प्रदान कर सकते हैं?

— आरजेके

इसके अलावा, मैं जिस प्रतिनिधित्व का उल्लेख करता हूं उसका उपयोग इस तरह से किसी भी ग्राफ का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है - न केवल प्लानेर ग्राफ।

— सरियल हर-पेलेड

प्रश्न में "वसा" के स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। यह इंगित करने योग्य है कि मैंने इस पोस्ट में या तो प्लानर का उल्लेख नहीं किया है। मोटापे के दिए गए मूल्य के लिए, प्रत्येक ग्राफ कुछ (उच्च पर्याप्त) आयाम में वसा उत्तल पॉलीटोप्स द्वारा प्रतिनिधित्व करने योग्य है। स्पष्ट प्रश्न यह है कि क्या आयाम पर बंधे सभी ग्राफ पर समान हो सकते हैं। क्या इसका अध्ययन किया गया है?

— RJK

जहाँ तक मुझे पता है, लेकिन मैं इस तरह के सामान के बारे में बहुत जानकार नहीं हूँ ...

— Sariel Har-Peled