रैंक और अनुमानित रैंक के बीच सबसे बड़ा अंतर क्या है?

हम जानते हैं कि 0-1 मैट्रिक्स के रैंक का लॉग नियतात्मक संचार जटिलता की निचली सीमा है, और अनुमानित रैंक का लॉग यादृच्छिक संचार जटिलता का निचला भाग है। निर्धारक संचार जटिलता और यादृच्छिक संचार जटिलता के बीच सबसे बड़ा अंतर घातीय है। तो बूलियन मैट्रिक्स के रैंक और अनुमानित रैंक के बीच अंतर के बारे में क्या?

— pyao
स्रोत

मैट्रिक्स की "अनुमानित रैंक" क्या है?

— सुरेश वेंकट

ϵ

$\epsilon$ एक बूलियन मैट्रिक्स के -approximate रैंक

M

$M$ एक असली मैट्रिक्स की न्यूनतम रैंक है

A

$A$ है कि से भिन्न

M

$M$ द्वारा ज्यादा से ज्यादा

ϵ

$\epsilon$ किसी भी प्रविष्टि में (सीएफ Buhrman और वुल्फ 2001, "बहुआयामी पद से संचार जटिलता कम सीमा")। यह समझाने के लिए प्रश्न को संपादित करना उपयोगी होगा (यदि यह वांछित परिभाषा है) और

की भूमिका का वर्णन करें

ϵ

$\epsilon$ (क्योंकि रैंक में अंतर स्पष्ट रूप से

पर निर्भर करता है

ϵ

$\epsilon$ )।

— mjqxxxx

पहले मैं कुछ पृष्ठभूमि देता हूँ और अनुमानित रैंक को परिभाषित करता हूँ। एक अच्छा संदर्भ संचार जटिलता पर ली और श्राइबमैन लोअर बाउंड्स द्वारा हालिया सर्वेक्षण है ।

परिभाषा: Let निशानी मैट्रिक्स हो। सन्निकट कारक साथ की अनुमानित रैंक , जिसे , निरूपित किया गया है $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

जब , परिभाषित करें $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ ।

Krause द्वारा एक परिणाम में कहा गया है कि जहां और है बाउंड-एरर प्राइवेट-कॉइन कम्यूनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी ऑफ़ विथ एअर अपर-बाउंडेड बाय । $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

ऊपर पृष्ठभूमि के लिए था। अब सवाल का जवाब देने, Paturi और साइमन कि पता चला पूरी तरह से की असीम त्रुटि संचार जटिलता की विशेषता है । उन्होंने यह भी दिखाया कि यह बूलियन फंक्शन को साकार करने के लिए एक व्यवस्था के न्यूनतम आयाम से सहमत है, जिसका संचार मैट्रिक्स । समानता फ़ंक्शन के अनबाउंड-त्रुटि संचार जटिलता । यह याद रखना। $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

समानता के लिए संचार मैट्रिक्स सिर्फ पहचान है, यानी, विकर्ण में सभी लोगों के साथ पंक्तियों और स्तंभों के साथ एक बूलियन मैट्रिक्स । आइए द्वारा निरूपित करते हैं । अलोन ने दिखाया कि जो एक लघुगणक कारक से तंग है (Krause द्वारा प्रमेय के साथ हम )। $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

पहचान मैट्रिक्स में पूर्ण रैंक है, अर्थात, । इस प्रकार, हमारे पास और लिए तेजी से बड़े अलगाव हैं । $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— मार्कोस विलगरा
स्रोत

धन्यवाद। लेकिन मेरा सवाल यह है कि अगर और , जहां नहीं बल्कि ।

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— प्याऊ

आह, मैं देख रहा हूं, लेकिन यह प्रश्न में नहीं लिखा गया है। मेरे ज्ञान के लिए सबसे बड़ा अंतर घातीय है।

— मार्कोस विलग्रा

मार्कोस आपको एक संदर्भ देता है जो और बीच का अंतर दिखाता है । जब मैट्रिक्स का आकार हो तो कैसे एक सुपरपॉन्शियल गैप हो सकता है ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— साशो निकोलेव

क्या आपका मतलब बजाय का अंतर है ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— साशो निकोलेव

साशो एक अच्छा बिंदु बनाता है, "सुपर-एक्सपोनेंशियल" के साथ आपका क्या मतलब है? किसी भी संचार समस्या के लिए, मैट्रिक्स हमेशा ।

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— मार्कोस विलाग।