एंथोलॉजी ऑफ कॉम्प्लेक्सिटी एंथम

Question

पेपर में रैंडम ओरेकल हाइपोथीसिस इज फाल्स , लेखक (चांग, ​​चोर, गोल्डरिच, हार्टमैनिस, हास्टैड, रंजन, और रोहतगी) यादृच्छिक-ओरेकल परिकल्पना के निहितार्थों पर चर्चा करते हैं । उनका तर्क है कि हम जटिलता वर्गों के बीच अलगाव के बारे में बहुत कम जानते हैं, और अधिकांश परिणामों में या तो उचित मान्यताओं, या यादृच्छिक-परिकल्पना परिकल्पना का उपयोग करना शामिल है। सबसे महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से माना जाता है कि PH का पतन नहीं होता है। उनके शब्दों में:

एक दृष्टिकोण में, हम एक कामकाजी परिकल्पना के रूप में मानते हैं कि PH का असीम रूप से कई स्तर हैं। इस प्रकार, किसी भी धारणा जो कि मतलब है कि PH परिमित है गलत माना जाता है। उदाहरण के लिए, कार्प और लिप्टन ने दिखाया कि यदि एनपी poly पी / पाली है, तो PH गिर जाता है । तो, हम मानते हैं कि SAT में बहुपद आकार के सर्किट नहीं हैं। इसी तरह, हम मानते हैं कि एनपी के लिए ट्यूरिंग-पूर्ण और कई-एक पूर्ण सेट विरल नहीं हैं, क्योंकि महान ने दिखाया कि ये स्थितियां पीएच को ध्वस्त कर देंगी। यहां तक कि कोई भी ≥ 0, P S A T [ k ] = P S A T [ k के लिए दिखा सकता है$\Sigma^P_2$$P^{\mathrm{SAT}[k]} = P^{\mathrm{SAT}[k+1]}$ तात्पर्य है कि PH परिमित है। इसलिए, हमें विश्वास है कि सभी कश्मीर ≥ 0. इस प्रकार के लिए, यदि बहुपद पदानुक्रम वास्तव में अनंत है, हम एनपी के कम्प्यूटेशनल जटिलता के कई पहलुओं का वर्णन कर सकते हैं।$P^{\mathrm{SAT}[k]} \ne P^{\mathrm{SAT}[k+1]}$

PH के ढहने के बारे में धारणा के अलावा, कई अन्य जटिलता धारणाएं हैं। उदाहरण के लिए:

1. याओ समझे निम्नलिखित धारणा प्रशंसनीय: ।$RP \subseteq \bigcap\limits_{\epsilon > 0} DTIME(2^{n^\epsilon})$
2. निसान और विगडरसन व्युत्पन्नकरण से संबंधित कई धारणाएँ बनाते हैं।

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इस सवाल का मुख्य विचार यह है कि इसका शीर्षक क्या है: जटिलता-सिद्धांत संबंधी मान्यताओं का संकलन होना। यह बहुत अच्छा होगा यदि निम्नलिखित सम्मेलनों का पालन किया जाए (जब भी संभव हो):

1. खुद की धारणा;
2. पहला पेपर जिसमें धारणा बनाई गई है;
3. दिलचस्प परिणाम जिसमें धारणा का उपयोग किया जाता है;
4. यदि धारणा को कभी भी नकारा गया / सिद्ध किया गया है, या क्या इसकी संभाव्यता पर कभी चर्चा हुई है।

This post is meant to be a community wiki; if an assumption is already cited, please edit the post and add new information rather than making a new post.

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संपादित करें (10/31/2011): कुछ क्रिप्टोग्राफिक मान्यताओं और उनके बारे में जानकारी निम्नलिखित वेबसाइटों में सूचीबद्ध हैं:

1. क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स का विकी और क्रिप्टोग्राफी में कठिन समस्याएं ।
2. हेल्पर लिप्मा की क्रिप्टोग्राफिक धारणाएं और कठिन समस्याएं ।

Comments

अच्छा लगा। डेविड जॉनसन ने जटिलता के परिणामों के लिए कुछ ऐसा ही किया था जो हाल ही के कॉलम में सन्निकटन की कठोरता को दिखाने के लिए उपयोग किया गया था।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: जॉनसन के कॉलम की एक कड़ी काबिले तारीफ है।

— बजे एमएस डौस्ती

पहले पेपर की आवश्यकता मुश्किल हो सकती है।

— एंड्रू सलामॉन

@ एंड्रस: हाँ। उस कारण से, मैंने "जब भी संभव हो" वाक्यांश जोड़ा। आपको लगता है कि आप पहले वाले पेपर का हवाला दे सकते हैं । चूंकि यह सीडब्ल्यू है, अगर किसी को एक पुराने परिणाम पता है, तो वह केवल पोस्ट को सही करता है।

— एमएस डौस्टी

@Sadeq: www2.research.att.com/~dsj/columns/col25.pdf

— सुरेश वेंकट

Answer 1

• धारणा: घातांक समय परिकल्पना ।
• First cited in: While being folklore, it was first formalized in the following paper: Russell Impagliazzo and Ramamohan Paturi. 1999. The Complexity of k-SAT. In Proceedings of the Fourteenth Annual IEEE Conference on Computational Complexity (COCO '99). IEEE Computer Society, Washington, DC, USA, 237-240.
• Use(s): It assumes that no NP-complete problem can be decided in sub-exponential time, and therefore implies that P ≠ NP.
• Status: Open.

Comments

I guess ETH assumes that 3-SAT problem can not be decided in sub-exponential time. Answers to this post (cstheory.stackexchange.com/questions/3620/…) imply the existence of sub-exponential time algorithms for some NP-complete problems such as Planar Independent Set.

— Mohammad Al-Turkistany

As Mohammad writes, the description in "Use(s)" is imprecise or just wrong.

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: This is a community wiki post. Why not go ahead and make the post precise, or even correct it?

— M.S. Dousti

I'm not sure. The linked wikipedia page contains more information, and my edit would just be a repetition.

— Yoshio Okamoto

Answer 2

• Assumption: NP does not have p-measure 0
• First cited in: Jack H. Lutz. Category and measure in complexity classes. SIAM J. Comput. 19:1100-1131, 1990.
• Use(s): If $\mu_p(NP) \neq 0$ then $P \neq NP$ and:
  1. There is a language that is $\leq_T^p$-complete for NP but not $\leq_m^p$-complete for NP [1];
  2. There is a pair of disjoint languages in NP that are P-inseparable [4];
  3. For every $\alpha < 1$, every $\leq_{n^{\alpha}-tt}^p$-hard language for NP is dense [3];
  4. Every $\leq_m^p$-complete language for NP has a dense exponential complexity core [2];
  5. NP contains a P-bi-immune language [3];
  6. $E \neq NE$ and $EE \neq NEE$ ([1] - see this answer for more consequences of $EE \neq NEE$).

As far as I know, the above consequences are not known to follow merely from the assumption that $P \neq NP$.

• Status: Open

[1] J. Lutz and E. Mayordomo. Cook versus Karp/Levin: separating completeness notions if NP is not small. Theoret. Comp. Sci. 164:141-163, 1996.

[2] D. Juedez and J. Lutz. The complexity and distribution of hard problems. SIAM J. Comput 24(2):279-295, 1995.

[3] E. Mayordomo. Almost every set in exponential time is P-bi-immune. Theoret. Comp. Sci. 136:487-506, 1994.

[4] L. Fortnow, J. Lutz, and E. Mayordomo. Inseparability and strong hypotheses for disjoint NP pairs. In Jean-Yves Marion and Thomas Schwentick, editors, Proceedings of the 27th Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, volume 5 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), pages 395-404. Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik, Dagstuhl, Germany, 2010.

Comments

Excellent. I believe you can track down the assumption to Lutz's 1987 PhD thesis "Resource-Bounded Category and Measure in Exponential Complexity Classes" or to his 1987 IEEE paper "resource-bounded Baire category and small circuits in exponential space" (which is not available online!).

— M.S. Dousti

Answer 3

• Assumption: NEE ≠ EE.
• First cited in: Mihir Bellare and Shafi Goldwasser. 1994. The Complexity of Decision Versus Search. SIAM J. Comput. 23, 1 (February 1994), 97-119.
• Use(s): If the assumption holds, there exist problems in NP whose search version does not (polynomially) Cook-reduce to their decision version. In other words, under the given assumption, not all languages in NP are self reducible.
• Status: Open.