अंतरिक्ष कुशल "औद्योगिक" असंतुलित विस्तारक

Question

मुझे असंतुलित विस्तारकों की तलाश है जो "अच्छे" और "अंतरिक्ष-कुशल" हैं। विशेष रूप से, एक द्विपक्षीय बाएं नियमित ग्राफ , , , के साथ छोड़ दिया डिग्री एक है -expander किसी के लिए करता है, तो अधिक से अधिक आकार के , के विशिष्ट पड़ोसियों की संख्या में है कम से कम। यह ज्ञात है कि संभाव्य विधि और साथ इस तरह के ग्राफ की पैदावार करती है।$G=(A,B,E)$| B | = मीटर घ ( कश्मीर , ε ) एस ⊂ एक कश्मीर एस बी ( 1 - ε ) घ | एस | घ = हे ( लॉग ( एन / कश्मीर ) / ε ) मीटर = हे ( कश्मीर लॉग ( एन / कश्मीर ) / ε 2$|A|=n$$|B|=m$$d$$(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$$(1-\epsilon)d|S|$$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$$m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$। हालांकि, ऐसे ग्राफ को संग्रहीत करने के लिए किसी को स्थान की आवश्यकता होती है । साथ ही किसी को ग्राफ के साथ कुछ भी करते समय इस स्टोरेज को एक्सेस करने की आवश्यकता होती है, जिसकी लागत भी हो सकती है। आदर्श रूप से, एक स्पष्ट निर्माण की तरह होगा। हालाँकि, जहां तक ​​मुझे पता है, ज्ञात निर्माण उन मापदंडों को प्राप्त करते हैं जो अभी भी ऊपर से कुछ हद तक दूर हैं (कम से कम इतने पर)।$O(n d)$

मेरा प्रश्न: क्या कोई अन्य निर्माण हैं, संभवतः गैर-स्पष्ट, जो ऊपर वाले लोगों के लिए "करीब" सीमाएं प्राप्त करते हैं, फिर भी अंतरिक्ष की तुलना में "काफी कम" का उपयोग करते हैं?$O(nd)$

मैं इन तीन श्रेणियों में से किसी में उत्तर की तलाश कर रहा हूं: (ए) प्रमेय (बी) अनुमान (सी) अवलोकन और "युद्ध-कहानियां" जैसे कि "हमने यह किया और यह इस तरह का काम करने लगा (जैसे)।" यानी, "औद्योगिक" विस्तारक ठीक हैं। मैं (ए) ओवर (बी) और (बी) ओवर (सी) पसंद करता हूं, लेकिन भिखारी चयनकर्ता नहीं हो सकते :)

यहाँ प्रकार (c) के निर्माण का एक उदाहरण है। लो यादृच्छिक रैखिक हैश फंक्शन (आधुनिक ), और प्रत्येक शिखर कनेक्ट करने के लिए । मैंने और मेरे छात्र ने इस पर कुछ प्रयोग किए, और यह "ठीक" काम करने लगा। क्या इस या संबंधित निर्माण के बारे में कोई प्रमेय या अनुमान हैं?h i : [ n ] → [ m ] m i h 1 ( i ) ... h d ( i $d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

धन्यवाद!

Comments

यह एक महान सवाल है, लेकिन कोई जवाब नहीं लगता है! क्या कोई भी एक सबूत के रूप में काम करने के लिए जादू की छड़ी के अलावा विस्तारकों का उपयोग नहीं कर रहा है? मुझे लगा कि कुछ प्रकार के रामानुजन रेखांकन निर्माण के लिए काफी सरल थे।

— आंद्र सलाम

रामानुजन रेखांकन वास्तव में निर्माण के लिए अपेक्षाकृत आसान है, लेकिन वे संतुलित हैं , अर्थात, एम = एन।

— पियोट्र

क्या आपने गुरुस्वामी-उमान-वडन निर्माण को देखा है? मैं सोच रहा हूं कि यह आपकी आवश्यकता को पूरा क्यों नहीं करता है।

— Zeyu

Answer 1

Eickmeyer और Grohe (2010) साबित होता है कि अपने उम्मीदवार निर्माण को स्पष्ट किया जा सकता है: ले कुछ हद तक रैखिक स्वतंत्र रैखिक हैश फंक्शन ज 1 , ... , ज घ और कनेक्ट बाईं कोने v सही कोने के साथ ज 1 ( वी ) , ... , ज घ ( v ) । Eickmeyer और Grohe बताते हैं कि इस निर्माण देता है ( कश्मीर , ε ) के साथ छोड़ दिया डिग्री -expanders घ = कश्मीर ( टी - 1 $d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$ , जब भी टी एक पूर्णांक है, बाईं शीर्ष सेट आकार की है n = क्ष टी , सही शीर्ष सेट आकार की है मीटर = घ क्ष , और क्यू > घ एक प्रमुख शक्ति है। हैश फ़ंक्शंस एच 1 , … , एच डी को इस तरह से चुना जाता है किउनमें सेकोई भी टी रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$

Answer 2

मैंने सोचा था कि एवी विगडरसन द्वारा सर्वेक्षण / वार्ता पर एक नज़र रखने से आपके प्रश्न में मदद मिल सकती है। यहाँ हाल ही में एक बात से स्लाइड्स हैं: एक्सपैंडर ट्यूटोरियल, जून 2010 । निर्माण 40 पृष्ठ पर शुरू होते हैं।

अंतरिक्ष की जटिलता के बारे में, मुझे लगता है कि यह उपयोगी हो सकता है यदि आप उन कार्यों को निर्दिष्ट करते हैं जो आपको ग्राफ़ पर करने की आवश्यकता है। अगर मैं गलत नहीं हूं, तो कुछ निर्माण लॉगस्पेस में कंप्यूटिंग पड़ोस जैसे ऑपरेशन की अनुमति देते हैं।