स्टार ग्राफ के बीच किनारों की संख्या को बांधना जैसे कि ग्राफ प्लानर है

Question

मेरा एक ग्राफ है $G$जिसमें केवल स्टार ग्राफ होते हैं। एक स्टार ग्राफ में एक केंद्रीय नोड होता है जिसमें हर दूसरे नोड के लिए किनारे होते हैं। चलो विभिन्न आकारों जो में मौजूद हैं के विभिन्न स्टार रेखांकन हो । हम सभी नोड्स के सेट को कहते हैं जो किसी भी स्टार ग्राफ में केंद्र हैं ।$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

अब मान लीजिए कि ये स्टार ग्राफ अन्य स्टार ग्राफ के लिए किनारों का निर्माण कर रहे हैं जैसे कि में किसी भी नोड के बीच कोई बढ़त नहीं है । फिर, में नोड्स और नोड्स के बीच अधिकतम कितने किनारे मौजूद हैं जो में नहीं हैं , अगर ग्राफ प्लानर रहना चाहिए?$R$$R$$R$

मैं ऐसे किनारों की संख्या पर ऊपरी बाध्य चाहता हूं। एक ऊपरी सीमा जो मेरे मन में है, वह है: उन्हें द्विदलीय प्लानर ग्राफ के रूप में मानें जहां एक कोने में है और बाकी के कोने एक और सेट बनाते हैं । हम इन सेटों ( और ) के बीच किनारों में रुचि रखते हैं । चूँकि यह प्लानेर बाइपराइट है, ऐसे किनारों की संख्या में नोड्स की संख्या से दोगुनी होती है ।$R$$A$$R$$A$$G$

मुझे लगता है कि वहाँ एक बेहतर बाध्य है, शायद में दो बार नोड्स में नोड्स की संख्या ।$A$$R$

यदि आप मेरे अंतर्ज्ञान को अस्वीकार कर सकते हैं, तो यह भी अच्छा होगा। उम्मीद है कि आप में से कुछ लोग कुछ प्रासंगिक तर्कों के साथ एक अच्छी बाध्यता के साथ आ सकते हैं।

Comments

मुझे समस्या को अलग तरीके से नियंत्रित करने दें: एक प्लानर द्विदलीय ग्राफ कहते हैं कि एच हम इसे सबसेट में विघटित करना चाहते हैं, जहां प्रत्येक सबसेट जी में स्टार ग्राफ के साथ मेल खाता है (नोड-असंतुष्ट अपघटन में 'x' अलग-अलग सितारे कहते हैं (यह मौजूद है)। तो क्या प्लैनर बिपार्टाइट ग्राफ H में किनारों की संख्या पर कसने के लिए बाध्य है ('x' इसमें कोई भूमिका निभा सकता है?)।

— सिंहसुमित

cstheory.stackexchange.com/questions/5412/… प्रासंगिक हो सकता है।

— डेविड एपस्टीन

लगभग उपरोक्त प्रश्न के डुप्लिकेट की तरह लगता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है।

— सुरेश वेंकट

प्रतिबंध पूरी तरह से स्पष्ट नहीं करता है: यदि आपके पास एक द्विदलीय ग्राफ है, तो आप तारों में किनारों को विभाजित करते हैं, नोड्स को डुप्लिकेट करते हैं, या विभाजन नोड्स, किनारों को खो देते हैं। जैसे, एक वर्ग या तो 2 3-नोड स्टार देता है, या 3-नोड और 1-नोड। हालाँकि, दोनों ही मामलों में, ऐसा लगता है कि @ डेविड का विश्लेषण और उदाहरण ( cstheory.stackexchange.com/questions/5412 ) आपके प्रश्न का उत्तर देता है।

— जैक

Answer 1

आपका कथन थोड़ा अस्पष्ट है: पहले आप लिखते हैं कि "... जैसे कि नोड्स के बीच कोई बढ़त घटना नहीं है $R$", लेकिन अगले पैराग्राफ का तात्पर्य है कि इसमें कोने के बीच कोई किनारा भी नहीं है $A$। मैं यह भी मान लूंगा कि तारे असंतुष्ट हैं, और आप सभी किनारों को गिनते हैं (जिनमें शुरू में सितारों में मौजूद हैं)। चलो यह भी मान लेते हैं कि कम से कम दो सितारे हैं, और उनमें से कम से कम एक के पास डिग्री है$\ge 2$।

उस स्थिति में, आप हरा नहीं सकते $2N-4$ बाध्य ($N$= सभी लंबों की संख्या)। थोड़ा अलग परिदृश्य पर विचार करें: किसी भी सेट के साथ शुरू करें$N$कोने, कुछ लाल कुछ काले, प्रत्येक प्रकार के कम से कम दो। प्रत्येक चरण में मनमाने ढंग से एक लाल और एक काले शीर्ष के बीच एक किनारा जोड़ें, जब तक कि यह चौराहों या डुप्लिकेट किनारों का निर्माण नहीं करता है। मेरा दावा है कि जब आप फंस जाते हैं, तो सभी चक्रों की लंबाई होती है$4$।

आपका परिदृश्य इस प्रक्रिया का एक विशेष मामला है जहां आप पहले सितारों को बनाने और फिर बाद में शेष किनारों को जोड़कर शुरू करते हैं। यदि सभी चक्रों की लंबाई है$4$, को $2N-4$बाध्य है। अधिक आम तौर पर, यह दर्शाता है कि आप चाहे जो भी द्विध्रुवीय ग्राफ से शुरू करें, आप हमेशा इसे एक चतुर्भुज (एक शब्द जो मैंने इसे बनाया है) को पूरा कर सकते हैं।

अब, चलो दावा दिखाते हैं। इस प्रक्रिया में, सभी रास्तों पर बारी-बारी से काले और लाल रंग के कोने होंगे और प्रत्येक चक्र की लंबाई कम से कम होगी$4$। यदि ग्राफ़ जुड़ा नहीं है, तो आप किसी भी घटक के बाहरी चेहरे पर एक काले रंग के शीर्ष के साथ दूसरे घटक के दूसरे चेहरे पर किसी भी लाल शीर्ष को जोड़ सकते हैं। तो हम मान सकते हैं कि ग्राफ पहले से जुड़ा हुआ है।

मान लीजिए आपके पास एक चेहरा है $F$ लंबाई की $6$ या ज्यादा। $F$कम से कम तीन काले कोने होने चाहिए (कुछ संभवतः बराबर)। यदि कुछ शीर्ष$x$ पर दोहराया जाता है $F$, दो दक्षिणावर्त लगातार उपस्थिति ले लो $x$, कहते हैं $x-a-...-x-b...$। $F$ एक काला शीर्ष होना चाहिए $z\neq x$, इसलिए, के स्थान पर निर्भर करता है $z$, हम या तो कनेक्ट कर सकते हैं $a$ या $b$ सेवा $z$ के भीतर $F$किनारों को दोहराए बिना। यदि कोई शीर्ष दोहराया नहीं जाता है, तो एक दक्षिणावर्त अनुभाग चुनें$x-a-y-b-z$ का $F$, कहाँ पे $x,y,z$ काले हैं और $a,b$लाल हैं। अगर$x$ से जुड़ा है $b$ फिर $a$ से जुड़ा नहीं हो सकता $z$ (प्लैनरिटी द्वारा), इसलिए हम किनारों में से एक जोड़ सकते हैं $(x,b)$, $(a,z)$ के भीतर $F$।

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद। ऊपर के कुछ लोगों ने इसी तरह की समस्या के लिए कुछ प्रासंगिक लिंक पोस्ट किए और अब मेरे पास इसका जवाब है।

— सिंहसुमित