सिक्का बदलने के लिए स्पर्शोन्मुख

Question

सी 1 = 1 और सी 2 < सी 3 <के साथ सिक्का संप्रदायों को देखते हुए । । < c n यादृच्छिक संख्या में समान रूप से वितरित की जा रही है [ 2 , N ] । विषम रूप से, सिक्कों के किस अंश के लिए लालची एल्गोरिथ्म संप्रदायों के इस सेट का उपयोग करके इष्टतम परिवर्तन उत्पन्न करता है?$n$$c_1=1$$c_2<c_3<..<c_{n}$$[2,N]$

उत्तर 3 संप्रदायों के लिए जाना जाता है ; लेकिन सामान्य मामले के बारे में क्या?

Comments

ठाणे प्लाम्बेक द्वारा 4 संप्रदायों के लिए संभाव्यता की स्थापना की गई, जिन्होंने 3 संप्रदायों के लिए संभाव्यता के लिए एक अभिव्यक्ति प्रदान की (ओपी द्वारा प्रदान की गई लिंक देखें)। ओपी इस संभावना के विषम व्यवहार के बारे में अधिक सामान्य प्रश्न पूछ रहा है। यह शायद गणित के लिए अधिक उपयुक्त हो सकता है। एसई और एमओ, टैग विषमता के साथ। @ गणेश: आपकी TCS प्रेरणा, या dsalgorithms टैग का कारण क्या है?

— एंड्रू सलामोन

@ एंड्रास, यह एक जटिलता सिद्धांत समस्या है। उदाहरण के लिए, यदि लालची दृष्टिकोण से इष्टतम समाधान 90% समय के लिए मिलता है, तो मैं गतिशील प्रोग्रामिंग को भूल सकता हूं और शेष 10% समय को उप-स्तरीय समाधान के लिए व्यवस्थित कर सकता हूं। शायद यह मठ में अधिक उपयुक्त है। *, लेकिन प्रेरणा TCS में निहित है। अंत में, "सही टैग" मुझे बच गया - इसलिए मैंने सोचा कि ds.algorithms सबसे अच्छा सन्निकटन था।

— गणेश

Answer 1

यह एक उत्तर नहीं है, लेकिन शायद यह आपको या किसी और को सही दिशा में इंगित करेगा।

मुझे डी। कोज़ेन और एस। ज़क्स द्वारा पेपर मिला, जिसे " चेंजिंग -मेकिंग प्रॉब्लम के लिए ऑप्टिमल बाउंड्स" कहा गया, जिसमें उन्होंने एक सिक्का बदलने की लालची परिवर्तन एल्गोरिथ्म इष्टतम होने के लिए शर्तें दीं। मैं उनके अंकन का उपयोग करूंगा।

का एक सिक्का परिवर्तन उदाहरण को देखते हुए अलग सिक्के ( ग 1 , सी 2 , सी 3 , ⋯ , ग मीटर - 1 , सी एम ) सी 1 = 1 < ग 2 < ग 3 < ⋯ < ग मीटर - 1 < ग मीटर एक फ़ंक्शन एम ( एक्स ) एक्स और एक फ़ंक्शन के लिए परिवर्तन करने के लिए आवश्यक सिक्कों की इष्टतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है$m$

$$( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$$ $$c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$$ $M(x)$$x$ के लिए लालच से बदलने के लिए आपको जरूरत सिक्कों की संख्या का प्रतिनिधित्व एक्स , तो अगर एम ( एक्स ) ≠ जी ( x ) , वहाँ रेंज में प्रति एक से मौजूद है ग 3 + 1 < x < ग मीटर - 1 + ग $G(x)$$x$$M(x) \ne G(x)$ $$c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$$

वे यह दिखाने के लिए जाते हैं

हर के लिए तो रेंज में सी 3 + 1 < x < ग मीटर - 1 + ग मीटर जी ( x ) ≤ जी ( एक्स - ग ) + 1 ग ∈ ( ग 1 , सी 2 , ⋯ , सी एम ) तो जी ( x ) = M ( x ) (यानी लालची एल्गोरिथम इष्टतम है)।$x$$c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

$$G(x) \le G(x-c) + 1$$ $$c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$$ $G(x) = M(x)$

यह हमें एक "कुशल" (छद्म बहुपद समय तक) परीक्षण देता है यह निर्धारित करने के लिए कि एक सिक्का परिवर्तन का उदाहरण लालची है या नहीं।

उपरोक्त का उपयोग करते हुए, मैंने एक छोटा सिमुलेशन चलाया है जिसके परिणाम नीचे लॉग-लॉग स्केल पर दिए गए हैं

$m$$[1 \cdots N]$

$m=3$$\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

$$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$$

$p_m(N)$$m$$N$

$m$$N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$) जो समान रूप से वितरित होने के लिए प्रकट नहीं होते हैं। सिक्का संप्रदायों को उत्पन्न करने के लिए शायद अन्य वितरणों को देखते हुए बड़ी प्रणाली की सीमा में गैर-तुच्छ परिणाम होंगे। उदाहरण के लिए, एक बिजली कानून वितरण सिक्का संप्रदायों का उत्पादन कर सकता है जो संयुक्त राज्य अमेरिका के समान हैं।