L2 में L2 का आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग

Question

यह ज्ञात है कि एक दिया की सूत्रीय सबसेट (जाता है कि, यह देखते हुए में अंक इयूक्लिडियन दूरी के साथ) यह उन में isometrically एम्बेड करने के लिए संभव है \ ell ^ {n \ 2 चुनें } _1 ।$n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

क्या आइसोमेट्री कंप्यूटेबल (संभवतः, यादृच्छिक रूप से) बहुपद समय है?

चूंकि परिमित-सटीक मुद्दे हैं, सटीक प्रश्न है

{\ Mathbb R} ^ d और \ epsilon> 0 में n बिंदुओं के एक सेट $X$ को देखते हुए , क्या कोई मैपिंग f है: X \ _ {\ _ mathbb R} ^ {n \ _ 2} संगणनीय (संभवतः, यादृच्छिकता का उपयोग करके)। n में बहुपद का समय और 1 / \ epsilon में लघुगणक जैसे कि हर x, y \ के लिए X हमारे पास है$n$${\mathbb R}^d$$\epsilon >0$$f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$$n$$1/\epsilon$$x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(नोट: मुझे ज्ञात है कि विकृति के साथ एक मैपिंग $(1+\epsilon)$ को समय बहुपद में $n$ और 1 / \ epsilon में O (\ epsilon) {- 2} \ cdot \ log n$1/\epsilon$ पर प्रोजेक्ट करके पाया जा सकता है। $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ यादृच्छिक रेखाएँ, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यदि आयामों की संख्या को रचनात्मक रूप से घटाकर $n\choose 2$ या यहाँ तक कि $O(n^2)$ जब 1 / \ epsilon n की$1/\epsilon$ तुलना में बहुत बड़ा हो , और मुझे नहीं पता कि क्या है मामले को संभालने के लिए एक बहुपद समय विधि है जिसमें 1 / \ epsilon n में घातीय है ।)$n$$1/\epsilon$$n$

Comments

यह एक बहुत अच्छा सवाल है। @ लुका, क्या आपको संदेह है कि यह कठिन हो सकता है? (निश्चित रूप से मेरा पहला विचार था 'हैमिंग से मिलने वाला यूक्लिड' देखना, और फिर मैंने प्रश्नकर्ता की पहचान देखी :)

— सुरेश वेंकट

यह संदर्भ संबंधित प्रतीत होता है: Pjotr ​​Indyk, "अनिश्चितता सिद्धांत, एक्सट्रैक्टर्स, और l2 के स्पष्ट एम्बेडिंग l1 में", प्रोक। STOC'07।

— मार्टिन श्वार्ज

@ डेविड: अंकों की संख्या है, मैंने उस जगह को सही किया जहां मैंने आयाम के लिए उपयोग किया था । यूक्लिडियन स्पेस (किसी भी आयाम में) के उस पॉइंट्स को isometrically in में एम्बेड किया जा सकता है: यहाँ www-math.mit.edu/~goemans/18409-2006/lec1.pdf लिखा है, लेकिन गैर -संरचनात्मक रूप से। (काराथियोडोरी की प्रमेय परिमित से बड़े आयाम पर जाने के लिए आयाम मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि के साथ, और एक कॉम्पैक्टनेस तर्क मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि से शून्य त्रुटि पर जाने के लिए।)$n$$n$$n$$\ell_1^{n \choose 2}$${n \choose 2}$

— लुका ट्रेविसन

@ मर्टिन: संदर्भ के लिए धन्यवाद। का पेपर सभी की मैपिंग की कठिन समस्या से ( अंक का एक निश्चित सेट ) से । इस समस्या के लिए, मेरा मानना ​​है कि यह एक खुली समस्या है, भले ही, रचनात्मक रूप से, और विकृति । (पिओटर को और ।$\ell_2^d$$n$$\ell_1^m$$m = poly(d,1/\epsilon)$$(1+\epsilon)$$m = d^{O(\log d)}$$\epsilon = 1/d$

— Luca Trevisan

@LucaTrevisan: re: l1 में एम्बेड करने की कठोरता, यह सच है (यह Deza और Laurent पुस्तक के अध्याय 1 या 2 में उल्लिखित है - मुझे लगता है कि MAX CUT के माध्यम से)

— सुरेश वेंकट

Answer 1

सुरेश ने मुझे अपनी टिप्पणियों को एक उत्तर में इकट्ठा करने के लिए कहा, इसलिए यहां यह है। मुझे वास्तव में यकीन नहीं है कि यह मूल प्रश्न का उत्तर है, हालांकि, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसे बहुपद समय कैसे बनाया जाए जब इनपुट यूक्लिडियन स्थान का आयाम गैर-स्थिर हो। यह कम से कम बड़े साथ किसी भी समस्या से बचने का लाभ है क्योंकि मूल प्रश्न पूछता है, क्योंकि इसमें कोई सन्निकटन शामिल नहीं है, और यह निरंतर लिए बहुपद दिखता है ।$1/\epsilon$$d$

वैसे भी: इंटीग्रल ज्योमेट्री से, -डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में हाइपरप्लेन के सेट पर एक स्टैंडर्ड माप है जो यूक्लिडियन कॉन्ग्रेन्स के तहत अनियंत्रित है। इसकी यह संपत्ति है कि किसी भी बंधी-बंधाई वक्र लंबाई पार करने वाले हाइपरप्लेन की माप के समानुपाती होती ( बहुगुणता के साथ, जिसका अर्थ है कि यदि कोई हाइपरप्लेन दो बार पार करता तो यह हाइपरप्लेन क्रॉसिंग के कुल माप में दो बार योगदान देता )। विशेष रूप से अगर एक रेखा खंड है तो बहुलता जटिलता ही नहीं उठता है और हम पार करने hyperplanes पर उपाय को सामान्य कर सकते हैं बिल्कुल की लंबाई होने के लिए$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$। ( युक्त हाइपरप्लेन में माप शून्य है, इसलिए अनंत बहुलता के बारे में चिंता न करें।)$C$

अब, d- डायमेंशनल स्पेस में n पॉइंट्स का एक सेट दिया गया है, एक हाइपरप्लेन से प्रेरित दो सबसेट्स में पॉइंट्स के हर पार्टिशन के लिए एक जो किसी भी पॉइंट्स से नहीं गुजरता है। विभाजन के एक तरफ अंक दीजिए, मूल्य शून्य को समन्वयित कीजिए और विभाजन के दूसरी तरफ के बिंदु उस विभाजन को उत्पन्न करने वाले हाइपरप्लेन के सेट के माप के बराबर मूल्य का समन्वय करते हैं।$\ell_1$

यदि और बिंदुओं में से कोई दो हैं , तो को हाइपरप्लेन क्रॉसिंग लाइन सेगमेंट का सेट होने दें, और को प्रत्येक संभव हाइपरप्लेन विभाजन द्वारा गठित का सबसेट होने दें, एक तरफ और दूसरी तरफ । तब , का असंतुष्ट मिलन है , और और बीच समन्वित अंतर उप-समूह के उपाय हैं । इसलिए, और के समन्वय के बीच दूरी$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ ( के उपायों का योग ) का माप है , जो और बीच की मूल दूरी है ।$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

कम्प्यूटेशनल जियोमीटर के लिए, एक ही निर्माण का एक वैकल्पिक विवरण सहायक हो सकता है: इनपुट बिंदुओं को हाइपरप्लेन में बदलने के लिए प्रोजेक्टिव द्वंद्व का उपयोग करें , और हाइपरप्लेन को बिंदुओं में अलग करना। हाइपरप्लेन के सेट पर इंटीग्रल ज्योमेट्री माप तब पॉइंट्स के सेट पर अधिक मानक माप में तब्दील हो जाता है, दो हाइपरप्लेन के बीच डबल वेज के माप के लिए और बीच की दूरी दोगुनी हो जाती है, और हाइपरप्लेन की व्यवस्था के विभाजन की वजह से यह छोटा हो जाता है । एक बिंदु के लिए समन्वय मूल्य या तो व्यवस्था में कोशिकाओं में से एक का माप है (यदि दोहरी हाइपरप्लेन उस समन्वय सेल से नीचे है) या शून्य (यदि दोहरी हाइपरप्लेन सेल के ऊपर है)। इसलिए$n$$n$$p$$q$$\ell_1$ और बीच दूरी डबल वेज में कोशिकाओं के माप का योग है, जो पूरे डबल वेज के माप के समान है। यह दोहरी दृष्टिकोण इस तरह से पाए जाने वाले एम्बेडिंग के आयाम की गणना करना भी आसान बनाता है: यह हाइपरप्लेन व्यवस्था में सिर्फ कोशिकाओं की संख्या है, जो , या अधिक से अधिक पर ठीक है ।$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

अब तक, यह पूरी तरह से निर्धारक और सटीक एम्बेडिंग देता है । लेकिन हम एक छोटा आयाम चाहते थे, । यहाँ जहाँ लुका की टिप्पणी Carathéodory की प्रमेय के बारे में आती है। -repretable मेट्रिक्स का सेट एक पॉलीहेड्रल शंकु का निर्माण करता है, जो सभी कार्यों के -आयामी स्थान से अनियंत्रित युग्मों से वास्तविक संख्याओं तक, और ऊपर ज्यामितीय तर्क कहता है कि यूक्लिडियन मीट्रिक इस शंकु से संबंधित है। शंकु की चरम किरणों के बिंदु एक आयामी$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$स्यूडोमेट्रिक्स (जिसमें बिंदुओं को दो सेटों में विभाजित किया गया है, एक सेट के भीतर सभी दूरियां शून्य हैं, और विभाजन के सभी दूरी बराबर हैं), और काराथोडियोरी का कहना है कि शंकु के भीतर कोई भी बिंदु (जिसकी हम परवाह करते हैं) सहित चरम किरणों पर बिंदुओं के उत्तल संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है जिनकी संख्या परिवेश स्थान के अधिकतम आयाम पर है, । लेकिन अधिकांश एक-आयामी मैट्रिक्स का उत्तल संयोजन a मीट्रिक है।$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

अंत में, हम वास्तव में - -dimensional एम्बेडिंग की गणना कैसे कर सकते हैं ? इस बिंदु पर हमारे पास -dimensional convex cone of मेट्रिक्स (हमारे द्वारा शुरू की गई दूरी मीट्रिक) में केवल एक बिंदु नहीं है , लेकिन हमारे पास शंकु के चरम बिंदु का एक सेट है (हाइपरप्लेन से प्रेरित दो सबसेट में इनपुट के विभाजन के अनुरूप) जैसे कि हमारी मीट्रिक इन चरम बिंदुओं का उत्तल संयोजन है - छोटे , यह चरम किरणों पर एक बड़ा सुधार है जो शंकु में है समग्र। अब हमें बस इतना करना चाहिए कि एक लालची एल्गोरिथ्म लागू करें जो हमारे सेट से चरम बिंदुओं से छुटकारा दिलाता है, एक-एक करके, जब तक केवल$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$उनमें से छोड़ दिया जाता है। प्रत्येक चरण में, हमें एक अपरिवर्तनीय के रूप में बनाए रखने की आवश्यकता है कि हमारी मीट्रिक अभी भी शेष चरम बिंदुओं के उत्तल पतवार के अंदर है, जो कि सिर्फ एक रैखिक प्रोग्रामिंग व्यवहार्यता समस्या है, और अगर हम करते हैं तो यह काराथोडोरी सुनिश्चित करेगा कि हमेशा एक सेट बना रहे चरम बिंदु चुनें जिनके उत्तल पतवार में इनपुट मैट्रिक है।$n\choose 2$