यूपीबी के लिए बहुपद एल्गोरिथम (अनपेक्षित उत्पाद मामले)

9

एक हिल्बर्ट स्थान पर विचार करें $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$ । एक अनएक्जेंडेबल प्रोडक्ट बेसिस (UPB) उत्पाद वैक्टर का एक सेट है $\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ ऐसा है कि:

ए) सभी $\vert v_i \rangle$ पारस्परिक रूप से रूढ़िवादी हैं

बी) सभी के लिए कोई उत्पाद वेक्टर ऑर्थोगोनल नहीं है $\vert v_i \rangle$

c) आधार nontrivial है, अर्थात स्पान नहीं है $H$

(ऐसे आधार क्वांटम सूचना में रुचि रखते हैं)

प्रशन:

क्या एक बहुपद एल्गोरिथ्म है (में $n$ ) UPBs खोजने के लिए? (ध्यान दें कि आम तौर पर UPB के आकार पर कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है, इसलिए एक प्राथमिकता यह हो सकती है कि यह घातीय हो $n$ )
क्या किसी दिए गए उत्पाद का आधार UPB है, इसकी जाँच के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म है? (अर्थात अनपेक्षित है)

या समस्या एनपी-पूर्ण है?

quantum-computing linear-algebra quantum-information

— मर्सिन कोटोवस्की
स्रोत

मैं उलझन में हूँ ... एच के लिए मानक आधार सभी मामलों में UPB स्थिति को संतुष्ट नहीं करेगा? या फिर कुछ और स्थितियां हैं जो मुझे याद आ रही हैं।

— Artem Kaznatcheev

1

@ आर्टम: जो स्थिति याद आ रही है वह यह है कि वैक्टर की संख्या कड़ाई से कम है

H_{1} \otimes \dots \otimes H_{n}

$H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$ ।

— पीटर शोर

7

मैं सवाल (1) से थोड़ा परेशान हूं। एक अनपेक्षित उत्पाद आधार मौजूद है $H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ अगर $n\geq 3$ या अगर $n=2$ तथा $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$ । इन सभी मामलों में, यह एक को खोजने के लिए सीधा है।

प्रश्न (2) के लिए, यह जाँचने के लिए समतुल्य है कि क्या उप-भाग में कोई टेंसर उत्पाद स्थिति है जो आधार द्वारा छोड़े गए स्थान का पूरक है। लियोनिद गुरविट्स ने दिखाया है कि एक सामान्य उप-क्षेत्र में एक टेंसर उत्पाद स्थिति एनपी-हार्ड है या नहीं, यह जाँचना, इसलिए मुझे संदेह है कि यह इस मामले में भी कठिन है।

— पीटर शोर
स्रोत

हां, लेकिन मैं संभावित रूप से कई असमानता (जैसे स्थानीय इकाइयों के संबंध में), यूपीबी को खोजने में दिलचस्पी रखता हूं। पूर्ण वर्गीकरण केवल 2x2x2 जैसे सरल मामलों के लिए जाना जाता है।

— मार्सिन कोटोवस्की

4

पूर्ण वर्गीकरण एक और सरल मामले 3x3 के लिए भी जाना जाता है, यह पहली बार http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 के पेपर में संबोधित किया गया है ।

इसका परिणाम रैंक 4 के मनमाने 3x3 पीपीटी उलझे हुए राज्यों के निर्माण से भी संबंधित है। कागज देखें

http://arxiv.org/abs/1105.3142 ।

— लिन चेन
स्रोत