चार रंग प्रमेय का अनुमान लगाने वाले अनुमान

Question

फोर कलर थ्योरम (4CT) में कहा गया है कि हर प्लानर का ग्राफ चार रंग का है । [Appel, Haken 1976] और [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997] द्वारा दिए गए दो प्रमाण हैं। ये दोनों प्रमाण कंप्यूटर की सहायता से और काफी डराने वाले हैं।

ग्राफ सिद्धांत में कई अनुमान हैं जो 4CT का अर्थ है। इन अनुमानों के समाधान के लिए संभवतः 4CT के प्रमाणों की बेहतर समझ की आवश्यकता होती है। यहाँ एक ऐसा अनुमान है:

अनुमान : को एक प्लैनर ग्राफ होने दें, को रंगों का एक सेट होने दें और एक निश्चित बिंदु मुक्त इन्वॉल्वमेंट दें। चलो है कि इस तरह होनासी च : सी → सी एल = ( एल वी : वी ∈ वी ( जी ) $G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• वी ∈ $|L_v| \geq 4$ और सभी लिए$v \in V$
• अगर तो लिए सभी , सभी । च ( अल्फा ) ∈ एल वी वी ∈ वी अल्फा ∈ $\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

तब ग्राफ का -coloring मौजूद होता है ।$L$$G$

यदि आप जानते हैं कि इस तरह के अनुमान 4CT को लागू करते हैं, तो कृपया उन्हें प्रत्येक उत्तर में सूचीबद्ध करें। मुझे इस तरह के अनुमानों की एक व्यापक सूची नहीं मिली।

Comments

"उनके पास Coq में बग नहीं था और जब उनके द्वारा 4 रंग प्रमेय की जाँच की गई तो कोई भी कॉस्मिक किरणें उनके कंप्यूटर से नहीं उड़ीं" ऐसा ही एक अनुमान है।

— बेफ़िक बाउर

उल्लिखित अनुमान के लिए रेफरी?

— vzn

एक संबंधित प्रश्न mathoverflow पर पूछा जाता है: mathoverflow.net/q/189097/1345

— Ian Agol

Answer 1

4CT के बराबर है:

• अधिकांश चार रंगों साथ डिस्क के परिमित परिवार से प्रेरित हाइपरग्राफ को रंगना (जरूरी नहीं कि इंटीरियर डिसऑर्डर हो, लेकिन यह भी कि मनमाने ढंग से ओवरलैप हो सकता है) ।$[1]$
• प्रस्ताव है कि प्रत्येक प्लानेर तीन से अधिक कोने के साथ त्रिकोणीय होता है, दो जुड़े हुए द्विपदीय रेखांकन का संघ है, जिनमें से प्रत्येक में कोई इस्थमस नहीं है ।$[2]$
• त्रि-आयामी वेक्टर क्रॉस उत्पाद बीजगणित बारे में एक संयोजन समस्या ।$[3]$
• यह प्रस्ताव कि व्याकरण G पूरी तरह अस्पष्ट है ।$[4]$
• किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए , वहाँ कम से कम एक signable पथ के दो क्रमपरिवर्तन में शामिल होने से मौजूद है ।$n$$S_n$

• चार-रंग प्रमेय के बराबर बीजीय प्रस्तुत किया गया है। समतुल्य एक विशेष परिमित क्षेत्र पर बहुपद आदर्शों के परिवार में बहुपद के एक परिवार की गैर-सदस्यता का दावा है ।$[6]$

  1. जियोमेट्रिक हाइपरग्राफ की वर्णक्रमीय संख्या पर स्मारोडिंस्की एस ।
  2. Mabry R. Bipartite रेखांकन और चार रंग प्रमेय ।
  3. कॉफ़मैन एलएच मानचित्र रंग और वेक्टर क्रॉस उत्पाद ।
  4. कूपर बीजे एट अल। चार रंग प्रमेय के एक भाषा सिद्धांत का प्रमाण ।
  5. एलियाहु एस एट अल। हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन और चार रंग प्रमेय ।
  6. चार रंग प्रमेय के हावर्ड एल। एक बीजीय सुधार ।

Answer 2

4-रंग प्रमेय का एक और यांत्रिक सत्यापन जॉर्ज गॉंटियर ने माइक्रोसॉफ्ट रिसर्च कैम्ब्रिज में किया है। उनके प्रमाण के साथ अंतर यह है कि पूरे प्रमेय को कोक प्रूफ सहायक का उपयोग करके यांत्रिक रूप से सत्यापित किया गया है, जबकि अन्य साक्ष्यों में केवल असेंबली लैंग्वेज और सी में लिखित कर्नेल गणना शामिल है, और इस तरह से छोटी गाड़ी होने का खतरा है। गॉंटियर का प्रमाण कोक के सिर्फ 60,000 पंक्तियों में गणनात्मक पहलुओं और तार्किक दोनों को शामिल करता है।

Answer 3

मैंने अपने ब्लॉग पर इस बारे में बात की है और हमारी अंतर्दृष्टि है: उदाहरण के लिए टैट की स्थिति कमजोर हो सकती है एक रंग है जो अधिकांश ओ (एन) त्रुटियों पर है। यहां देखें: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theoremem/

Comments

बहुत कूल! इस सुधार के लिए धन्यवाद!

— Hsien-Chih चांग 張顯 '10

Answer 4

टी। सैटी को देखें, गुथरी के 4-रंग अनुमान, अमेरिकन मैथ पर तेरह रंगीन विविधताएं। कई उदाहरणों के लिए मासिक, 79 (1972) 2-43।

इसके अलावा, डेविड बार्नेट की पुस्तक मैपिंग कलरिंग, पॉलीहेड्रा, और फोर-कलर प्रॉब्लम, एमएए, डोलसियानी सीरीज़, वॉल्यूम 8, 1983 में कई उदाहरण दिए गए हैं। बार्नेट की पुस्तक में एक विशेष रूप से दिलचस्प परिणाम है: यदि यह हमेशा उत्तल पॉलीहेड्रोन के कोने को छोटा करने के लिए संभव होता है, ताकि एक 3-वेलेंटाइन उत्तल पॉलीहेड्रोन का उत्पादन किया जा सके ताकि प्रत्येक चेहरे के पक्षों की संख्या तीन से अधिक हो। चार रंग अनुमान का सच।

Answer 5

Hadwiger अनुमान ।

Answer 6

पेपर एब्सोल्यूट प्लानर रिट्रैक्ट्स और फोर कलर कॉन्जेक्ट में , पावोल हेल ने 4CT के लिए कई समतुल्य योगों को साबित किया। उनमें से एक इस प्रकार है:

हर प्लानर का ग्राफ 4-colorable (The 4CT) है, अगर वहां कोई निरपेक्ष प्लानर मौजूद है।

(ए subgraph एक ग्राफ के का एक वापस लेना है अगर वहाँ एक समरूपता मौजूद ऐसी है कि सभी के लिए एक निरपेक्ष। प्लानर रिट्रैक्टर एक प्लानर ग्राफ होता है, जो किसी भी प्लानर ग्राफ का एक प्रतिधारण होता है, यह एक उपरत्न होता है)।$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Answer 7

प्रत्येक ब्रिजलेस क्यूब प्लानेर ग्राफ 3-एज-कोलॉउबल है। (यह टैट के कारण 4CT के बराबर है।)

Answer 8

Dror Bar-Natan के पेपर "लाई अलजेब्रा और द फोर कलर थ्योरम" (कॉम्बिनेटरिका 17-1 (1997) 43-52, अंतिम बार अक्टूबर 1999 में अपडेट किया गया, arXiv: q-alg / 9606016 ) में लाई अलजेब्रा के बारे में एक आकर्षक कथन है जो समकक्ष है चार रंग प्रमेय। बयान में दिखाई देने वाली धारणाएं परिमित प्रकार के गांठों (वासिलिवे इनवेरिएंट्स) के सिद्धांत में भी प्रकट होती हैं और 3-प्रकट होती हैं।

Answer 9

इस पत्र में प्रस्ताव 2.4 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# 4CT के लिए एक और सूत्रीकरण देता है।

संपादित करें: किसी दिए गए ग्राफ , ग्राफ के किनारों के रूप में के किनारे हैं ; दो किनारे में सटे हुए हैं यदि वे में त्रिभुज को फैलाते हैं । तब 4CT को निम्नानुसार कहा जा सकता है: प्रत्येक प्लानर ग्राफ , की वर्णक्रमीय संख्या की संख्या के बराबर होती है ।$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

मैं यह उल्लेख करना भूल गया कि अल्बर्टसन और कॉलिन्स ने पहले ही पेपर में साबित कर दिया था
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895684900352 निम्न समान तथ्य: एक ग्राफ को देखते हुए , ग्राफ को दर्शाते हैं, जिसके कोने के किनारे हैं । दो कोने सटे हुए हैं यदि में संबंधित किनारे एक गुच्छ में समाहित हैं। फिर 4CT के बराबर है: किसी भी प्लानर ग्राफ , वर्णक्रमीय संख्या और की संख्या समान हैं।के ( जी ) जी के ( जी ) जी जी के ( जी $G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Comments

क्या आप इसका वर्णन यहां कर सकते हैं, हममें से जिनके पास एक्सेस नहीं है (या मेरे जैसे लोग एक्सेस पाने के लिए वीपीएन चालू करने के लिए बहुत आलसी हैं)?

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 10

यदि आप अधिक जानकारी के लिए देख रहे हैं, तो गुंटियर द्वारा स्वचालित प्रमाण का उच्च-स्तरीय विवरण पढ़ने योग्य है।

यूरी मटियासेविच ने चार रंग प्रमेय के कई संभाव्य प्रतिबंधों का अध्ययन किया, जिसमें रंगों के बीच समानता की दो धारणाओं के बीच सकारात्मक संबंध शामिल हैं। समतुल्यता के उनके प्रमाण एक संबंधित ग्राफ बहुपद पर निर्भर करते हैं, जो प्रमेय के अनुमान लगाने के लिए एक और संभावित सूचक प्रदान करता है।

• जॉर्जेस गॉंटियर, औपचारिक प्रमाण- द फोर-कलर थ्योरम, नोटिस ऑफ द अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी 55 (11) 1382–1393, 2008।
• यूरी मटियासेविच, चार रंग अनुमान के एक संभावित संभाव्य समतुल्य , तेराया वेरोयोटनोस्टी आई ई प्रिमेनेनिया 48 411–416, 2003 में कागज का अनुवाद ।
• यूरी मटियसेविच, अनुमान के चार रंग के कुछ संभाव्य पुनर्कथनों , ग्राफ़ के जर्नल थ्योरी 46 167-179, 2004 ( प्रीप्रिंट )

Answer 11

मैं सिर्फ चालोपिन और गोंकोलेव्स (STOC '09) के एक पेपर में पश्चिम के निम्नलिखित अनुमान को पढ़ता हूं:

हर प्लानर ग्राफ केवल चार दिशाओं का उपयोग करके विमान में खंडों का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।

चूंकि समानांतर खंड इस तरह के प्रतिनिधित्व में एक स्वतंत्र सेट बनाते हैं, इस अनुमान का अर्थ 4CT है, लेकिन शायद यह और भी मजबूत है।

संदर्भ: पश्चिम, खुली समस्याएं । एसआईएएम जे डिस्क्रीट मैथ न्यूज़लेटर, 2 (1): 10-12, 1991।

Answer 12

एक स्नार्क एक जुड़ा हुआ, ब्रिजलेस क्यूब ग्राफ है जो 3-एज-कलर करने योग्य नहीं है। विकिपीडिया के बाद, स्नार्क अनुमान , 4CT का सामान्यीकरण इस प्रकार है:

हर स्नार्क में एक सबग्राफ होता है जिसे पीटरसन ग्राफ से इसके कुछ किनारों को विभाजित करके बनाया जा सकता है।

विकिपीडिया के अनुसार, इस अनुमान का एक प्रमाण 2001 में रॉबर्टसन, सैंडर्स, सीमोर और थॉमस द्वारा घोषित किया गया था।

Comments

Snark प्रमेय का मतलब 4CT नहीं है, है ना?

— सीन-चिह चांग। '

यह वास्तव में 4CT का अर्थ है: पीटरसन ग्राफ के हर उपखंड स्पष्ट रूप से गैर-युग्मक है, इसलिए स्नार्क अनुमान 4CT (टैट के कारण) के निम्नलिखित सुधार का अर्थ है: प्रत्येक स्नार्क गैरमानक है।

— हरमन ग्रबेर

आह, अब मैं देखता हूं कि मेरी समस्या कहां है। स्नार्क प्रमेय का प्रमाण फिर से एक कंप्यूटर-सहायता प्रमाण है। मैं इस धारणा के अधीन हूं कि 4CT के लिए कोई मानव सत्यापन योग्य प्रमाण नहीं है, और आपके उत्तर को गलत समझा। धन्यवाद!!

— हसीन-चिह चांग। '

Answer 13

"फेस लेबलिंग ऑफ मैक्सिमल प्लानर ग्राफ्स" मेरे पुराने पेपर का शीर्षक है जो हाल ही में प्रकाशित हुआ है जिसमें मैंने मैक्सिमल प्लानर ग्राफ्स के 4 कलरिंग को फेस लेबलिंग की स्थिरता में बदल दिया है। पेपर का लिंक http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/09101021-3.pdf है

Answer 14

जैसा

LH कॉफ़मैन, मानचित्र रंग प्रमेय का सुधार, असतत गणित 302 (2005) 145–172

बताते हैं, जी स्पेंसर-ब्राउन के साथ-साथ एलियाहु-क्रायचकोव अनुमान के कारण प्राइमलिटी सिद्धांत एफसीटी के बराबर सुधार हैं।

• एस एलियाहो, हस्ताक्षरित विकर्ण और चार रंग प्रमेय, यूरोपीय जे। कॉम्बिन। 20 (1999) 641-646।
• SI Kryuchkov, चार रंग प्रमेय और पेड़, IV क्रुचतोव, परमाणु ऊर्जा संस्थान, मास्को, 1992, IAE-5537/1।
• जी स्पेंसर-ब्राउन, लॉज़ ऑफ़ फॉर्म, गेज़ेट्ज़ डेर फॉर्म, बोहेमियर वर्लाग, 1997।

Answer 15

गैरी बाउलिन और मैथ्यू जी। ब्रिन के पेपर "कलर प्लानर ग्राफ़्स विथ कलर्ड पाथ्स इन द अस्सोकेयेड्रा", अंतिम बार संशोधित 12 मई 2013, arXiv: 1301.3984 math.CO में पृष्ठ 26 पर निम्नलिखित अनुमान शामिल हैं:

अनुमान 6.4। समान संख्या में पत्तियों के साथ For नीट, बाइनरी ट्री (डी, आर) की प्रत्येक जोड़ी के लिए डी का एक संकेत असाइनमेंट है और डी के लिए रोटेशन प्रतीकों का एक शब्द w है जो कि ड्व = आर।

यह बताया गया है कि पिछले प्रस्तावों और प्रमेयों में से 6.4 का अनुमान कागज में 4CT के बराबर है।

Answer 16

एक कश्मीर -flow एक अनिर्दिष्ट ग्राफ पर जी एक निर्देशित में प्रत्येक किनारे की जगह द्वारा प्राप्त ग्राफ है जी एक चाप के साथ और यह बीच का एक पूर्णांक बताए -k और कश्मीर , अनन्य, ऐसा है कि, जी में प्रत्येक शिखर, पूर्णांकों की राशि के लिए उस शीर्ष में इंगित करने वाले आर्क्स को सौंपा गया है जो इंगित करने वाले आर्क्स को सौंपे गए पूर्णांकों के योग के बराबर है। एक NWZ (कहीं शून्य नहीं) k- प्रवाह एक k- प्रवाह है जिसमें कोई चाप को 0 नंबर नहीं सौंपा गया है।

किसी भी समतल ग्राफ के लिए जी , की दोहरी जी ग्राफ इस बात का एक समतल एम्बेडिंग में प्रत्येक चेहरे के लिए एक शीर्ष होता है जी , और एक दोहरी शेयर एक किनारे में दो कोने उन्हें हर बढ़त के लिए जोड़ने कि में इसी चेहरे जी उन दोनों के बीच शेयर उनकी सीमाओं में। टुट्टे के फ्लो-कलरिंग ड्यूलिटी प्रमेय के अनुसार, एक इथरम्यूस (जिसका किनारा जिसके विलोपन की संख्या को बढ़ाता है) के साथ एक प्लैनर ग्राफ में एक NWZ k- flow होता है यदि और केवल अगर इसका ड्यूल k -colourable है। दूसरे शब्दों में, एक प्लेनर ग्राफ 4-colourable है अगर और केवल अगर इसके दोहरे में NWZ 4-प्रवाह है।

ध्यान दें कि 4CT में कोई लूप नहीं होने के लिए प्लानर ग्राफ की आवश्यकता होती है (किसी भी शीर्ष को अपने आप से जोड़ने वाले किनारे) क्योंकि लूप के साथ कोई भी ग्राफ रंगों के किसी भी सेट के साथ वर्टेक्लेट नहीं हो सकता है, क्योंकि लूप के साथ कोई भी शीर्ष इसलिए निकटवर्ती होगा। उसके रंग की परवाह किए बिना, उसी रंग का शीर्ष।

Answer 17

मैं इस पर काम कर रहा हूँ:

यदि आप आयताकार नक्शे के लिए प्रमेय साबित कर सकते हैं, जो कि कागज की ओवरलैपिंग शीट से बने नक्शे हैं, तो आपने 4ct भी साबित कर दिया है। इसके अलावा, केवल 5 किनारों या अधिक वाले चेहरों वाले नक्शे को खोज में माना जा सकता है।

देखें http://4coloring.wordpress.com/ जानकारी के लिए।