एक यादृच्छिक ग्राफ का उत्पादन कैसे करें जिसमें हैमिल्टनियन चक्र नहीं है?

Question

कक्षा ए को आकार सभी ग्राफ़ को निरूपित करें जिसमें हैमिल्टनियन चक्र है। इस वर्ग से एक यादृच्छिक ग्राफ का उत्पादन करना आसान है - n पृथक नोड्स लें, एक यादृच्छिक हैमिल्टन चक्र जोड़ें और फिर किनारों को यादृच्छिक रूप से जोड़ें।$n$$n$

कक्षा B को आकार सभी रेखांकन निरूपित करते हैं जिसमें हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। हम इस वर्ग से यादृच्छिक ग्राफ कैसे चुन सकते हैं? (या उस के करीब कुछ करना)$n$

Comments

यह कैसे स्पष्ट है कि पहली प्रक्रिया यादृच्छिक पर समान रूप से ग्राफ का उत्पादन करती है? यह स्पष्ट है कि यह हमेशा हैमिल्टनियन ग्राफ़ का उत्पादन करता है, लेकिन जब से आप बेतरतीब ढंग से किनारों को जोड़ रहे हैं, तो आप अधिक हैमिल्टनियन चक्रों को पेश कर सकते हैं, जिससे कुछ ग्राफ़ दूसरों की तुलना में अधिक बार दिखाई देते हैं।

— रॉबिन कोठारी

यह सही है लेकिन एक समान वितरण का अनुरोध नहीं किया गया था (यदि शायद निहित है)।

— राफेल

हां, मैं एकरूपता की परवाह नहीं करता। मैं नॉन-हैमिल्टनियन ग्राफ़ के परिवार में हर ग्राफ को देना चाहता हूं, जिसे लेने का कुछ मौका है। समरूप नमूने के साथ समस्या काफी बुनियादी है: AFAIK, हम नहीं जानते कि कैसे आकार n के रेखांकन के एक परिवार से समान रूप से नमूना है, अकेले उन हैमिल्टनियन चक्र के साथ चलो।

— जगदीश

Answer 1

यह असंभव है (जब तक कि NP (coNP) जब से विशेष रूप से एक पॉली-टाइम फ़ंक्शन का पता चलता है जिसकी सीमा गैर-हैमिल्टनियन रेखांकन है (फ़ंक्शन यादृच्छिक स्ट्रिंग से आउटपुट ग्राफ में जाता है), जो बदले में एक एनपी-प्रूफ होगा गैर-हैमिल्टनियनिटी (यह साबित करने के लिए कि G में हैमिल्टनियन सर्किट नहीं है, x को उसके नक्शे दिखाएं)।

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आप मानते हैं कि इस तरह का एक समारोह गैर-हैमिल्टनियन रेखांकन के वर्ग पर है। यह केवल मामला है अगर हम चाहते हैं कि वितरण एक समान हो। नीचे हारून की टिप्पणी भी देखें: cstheory.stackexchange.com/questions/562/…

— Ohad Kammar

यह प्रत्येक ग्राफ़ को चुनने की संभावनाओं के बारे में कुछ भी नहीं मानता है (जैसे कि यह एक समान है), केवल यह कि एल्गोरिदम द्वारा आउटपुट किए जा सकने वाले ग्राफ़ वास्तव में गैर-हैमिल्टनियन वाले (पर) हैं। यदि आप दोनों तरफ त्रुटि की अनुमति देते हैं, तो वास्तव में यह संभव हो सकता है।

— नोम

मैं मानता हूं, यह वितरण की एकरूपता नहीं है जो मायने रखती है, बल्कि यह तथ्य है कि सभी गैर-हैमिल्टन के ग्राफ में गैर-शून्य संभावना है। यदि उनमें से एक में भी शून्य संभावना है, तो आपका प्रमाण लागू नहीं होता (वितरण के समर्थन पर अधिक जानकारी के बिना)।

— ओहद कम्मर

@Ohad: अगर उनमें से एक छूट जाता है, तो आप इसे केवल एक लुक-अप टेबल में जोड़ सकते हैं। मुझे लगता है कि समस्याएं केवल तभी शुरू होती हैं जब आप उनमें से एक सकारात्मक अंश को याद करते हैं, लेकिन तब आप समान रूप से नमूना नहीं लेते हैं।

— एमिल

$1-\epsilon$$\epsilon$$\epsilon \rightarrow 0$$\infty$

Answer 2

$G_{n,m}$$m$$n$

$n$

Comments

यह एक अच्छा विचार है, हालांकि हम हैम चक्र खोजने के लिए संपूर्ण संभाव्य एल्गोरिथ्म को छोड़ सकते हैं। सवाल यह नहीं पूछता है कि नमूना प्रक्रिया अपेक्षित पॉलीटाइम या किसी भी चीज में चलती है। तो अपने पसंदीदा वितरण से एक यादृच्छिक ग्राफ बनाएं, यह निर्धारित करें कि क्या यह हैमिल्टनियन के साथ कुछ सटीक एल्गोरिदम है, और यदि यह हैमिल्टन है तो इसे त्याग दें और प्रक्रिया को दोहराएं। यदि उपयोग किया गया वितरण सभी लेबल ग्राफ़ पर समान वितरण था, तो यह वास्तव में यूनिफ़ॉर्म प्रायिकता के साथ हर गैर-हैमिल्टन लेबल ग्राफ का उत्पादन करेगा।

— जिम एनवी

Answer 3

पहला काम आसान है क्योंकि हैमिल्टन के ग्राफ को सत्यापित करना आसान है। हालाँकि, ऐसा कोई ज्ञात संक्षिप्त प्रमाण नहीं है जिसे इस बात के लिए कुशलता से सत्यापित किया जा सके कि दिया गया ग्राफ गैर-हैमिल्टन है।

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मुझे लगता है कि तुर्की का जवाब एक दिलचस्प सवाल है। सामान्य तौर पर सह-एनपी-पूर्ण भाषा से समान रूप से नमूना लेना संभव है?

— सुरेश वेंकट

.... और नोआम जवाब देते हैं कि नकारात्मक में।

— सुरेश वेंकट