एक डाग में पहुंच योग्य नोड्स की गिनती पर क्या सीमाएं लगाई जा सकती हैं?

Question

दिया एक डाग है। आप प्रत्येक नोड को लेबल करना चाहते हैं कि कितने नोड्स उससे पहुंच योग्य हैं। एक तुच्छ ऊपरी सीमा है; Ω ( वी + ई ) एक कम बाध्य है (मुझे लगता है कि)। क्या एक बेहतर एल्गोरिथ्म है? क्या यह मानने का कारण है कि निचली सीमा में सुधार किया जा सकता है (संबंधित: क्या वास्तव में सकर्मक बंद होने के लिए कम सीमा के बारे में जाना जाता है)?$O(V(V+E))$$\Omega(V+E)$

अभिप्रेरणा: मुझे कुछ समय के लिए फ़ॉल फॉर्मूले को डैग के रूप में प्रस्तुत करते हुए ऐसा करना पड़ा।

संपादित करें: कृपया ध्यान दें कि बस कर रही मायने रखता है पथ , पहुंच योग्य नहीं नोड्स । (मैंने इसे इसलिए जोड़ा क्योंकि स्पष्ट रूप से बहुत से लोगों ने सोचा था कि यह सरल समाधान उन वोटों द्वारा काम करेगा जिन्हें मैंने अब नष्ट किए गए उत्तर पर देखा था।) वास्तव में, यह समस्या ठीक तब प्रकट होती है जब आप 'साझा' भागों के साथ कुछ दिलचस्प करना चाहते हैं, नोड्स द्वारा पहुंच योग्य एक से अधिक पथ। इसके अलावा, मैं कहता हूं कि दाग है, क्योंकि अगर वे हल कर रहे हैं, तो खुदाई को हल करना आसान है।$c_x=1+\sum_{x\to y}c_y$

Comments

यह एक विशेष मामला प्रतीत होता है ( cstheory.stackexchange.com/questions/736/… के

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: क्या मनमाना वज़न समस्या को कठिन बना देता है, मुझे एक और दिलचस्प सवाल लगता है।

— राडू GRIGore

Answer 1

किनारों और n कोने के साथ एक निर्देशित ग्राफ के सकर्मक समापन को O ( m n ) समय की तुलना में थोड़ा तेज गणना की जा सकती है , लेकिन बहुत अधिक नहीं। एक O ( n 2 + m n / log n ) समय एल्गोरिथ्म का उल्लेख APSP पर चैन के 2005 WADS पेपर के फुटनोट (अल्गोरिथम 2008 में जर्नल संस्करण) में किया गया है। O ( n 2 + m n log ( n 2 / m ) / log 2 n में थोड़ा सुधार$m$$n$$O(mn)$$O(n^2 + mn/\log n)$ ICALP'08 पेपर "ए न्यू कॉम्बिनेटरियल एप्रोच फॉर स्पार्स ग्राफ प्रॉब्लम्स" में ब्लेलेच, वास्सिल्वस्का और विलियम्स द्वारा पाया जा सकता है। कहा जा रहा है, मैं नहीं जानता कि क्या वंशज की गिनती वास्तव में उन्हें खोजने से आसान है$O(n^2 + mn \log(n^2/m)/\log^2 n)$

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इसके अलावा, एडिथ कोहेन के पेपर "साइज़-एस्टीमेशन फ्रेमवर्क विथ एप्लीकेशंस टू ट्रांजिटिव क्लोजर एंड रीचैबिलिटी" को देखें। यह एक यादृच्छिक एल्गोरिदम देता है जो कुशलता से वंशज की संख्या का अनुमान लगाता है।

— कुंवारी

ध्यान दें कि यह परिणाम सभी निर्देशित ग्राफ पर लागू होते हैं, न कि केवल डीएजी पर।

— टोनफा

हाँ। परिणाम cstheory.stackexchange.com/questions/736/…

— virgi

Answer 2

मुझे लगता है कि आप डीएजी के सकर्मक समापन की गणना करने के लिए मैट्रिक्स गुणा का उपयोग कर सकते हैं, और फिर वांछित गणना के रूप में आउट-पड़ोसियों की संख्या का उपयोग कर सकते हैं। मैं साहित्य पर कोई विशेषज्ञ हूँ, लेकिन मुझे लगता है कि आप आव्यूह गुणन के रूप में एक ही समय में सकर्मक बंद गणना कर सकता है, यानी समय: http://www.computer.org/portal/web/csdl/doi/10.1109/ ACSSC.1995.540810 ।$n^{\omega}$

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धन्यवाद, यह दिलचस्प है! मुझे यह जोड़ना चाहिए कि प्रतीकात्मक सूत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले डैग्स विरल होते हैं, इसलिए मैं इस मामले में थोड़ा अधिक दिलचस्पी लेता हूं।

— रादु GRIGore 16

Answer 3

शायद आपके संदर्भ में उपयोगी नहीं है, लेकिन आप Synopsis Diffusion (http://www.cs.cmu.edu/~sknath/sd.htm) का उपयोग कर एक अनुमान प्राप्त कर सकते हैं। मुझे लगता है कि यह O (V + E) बनाता है। एक यूनिप्रोसेसर पर सिनोप्सिस विसरण का अनुकरण करना मुझे O (V + E) लगता है, (आपको पहले एक टोपोलॉजिकल सॉर्ट करने की आवश्यकता है, जो O (V + E) भी है)।