मिंकोव्स्की राशि के तहत बंद।

वैक्टर के दो सेट से मिंकोवस्की राशि द्वारा दिया जाता है $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

मैं तो बस एक दिलचस्प समस्या (दान हल्पेरिन को आरोपित) सुना: एक आकार को देखते हुए , करता है वहाँ मौजूद एक आकार ऐसी है कि ? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

लेकिन यह मेरा सवाल नहीं है (यह एक खुली समस्या प्रतीत होती है)। गौर करें कि इसके बाद के संस्करण समस्या में, अगर एक उत्तल सेट है, तो वहाँ एक समाधान मौजूद है के बाद से उत्तल सेट मिंकोवस्की रकम लेने के नीचे बंद हो जाती हैं। $B$ $A = (1/2)B$

आकार एक वर्ग को ठीक करें । हम कहते हैं कि है बंद कर दिया मिंकोवस्की रकम के तहत किसी भी के लिए करता है, तो । ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

तो मेरा सवाल है:

वहाँ आकार के वर्गों में से एक अच्छा लक्षण वर्णन है कि मिंकोवस्की रकम के तहत बंद हो जाती हैं? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— सुरेश वेंकट
स्रोत

Jukka: मैं सवाल अद्यतन किया।

— सुरेश वेंकट

मैं संशोधन 2 पढ़ता हूं। (1) मैं यह देखने में विफल रहता हूं कि "मिन्कोवस्की रकम लेने के तहत उत्तल सेट कैसे बंद हो जाते हैं" इसका कारण "एक समाधान मौजूद है = (1/2) बी" (हालांकि दोनों तथ्य स्पष्ट हैं)। (२) मुझे संदेह है कि "मिंकोव्स्की रकम के तहत बंद" की तुलना में कोई समकक्ष लक्षण वर्णन है।

— Tsuyoshi Ito

यह सच है कि प्रत्यक्ष निहितार्थ नहीं है। लेकिन प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि दो उत्तल सेटों का योग उत्तल है। मैं कहने के लिए "भी ध्यान दें कि .." के बजाय "के बाद से" ...

— सुरेश वेंकट

मुझे नहीं लगता है कि हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि दो उत्तल सेटों की मिंकोवस्की राशि उत्तल है जब साबित होता है (बी / 2) ⊕ (बी / 2) = बी उत्तल सेट के लिए बी। कंस्ट्रक्शन (बी / 2) we (बी) / 2) 2B का उत्तलता से कोई संबंध नहीं है। द कंसेंटमेंट (B / 2) ⊕ (B / 2) fromB इस तथ्य से अनुसरण करता है कि B उत्तल है: किसी x, y anyB, (x / 2) + (y / 2) becauseB के संवहन के कारण बी

— त्सुयोशी इटो

@ योशियो: यह संभव है। यह प्रश्न सामान्य समूहों में भी 'समसेट' कार्य से संबंधित हो सकता है।

— सुरेश वेंकट

Lattices और रैखिक उप-स्थान Minkowski राशि के तहत बंद हैं। उनकी परिभाषा से तात्कालिक रूप से कम या ज्यादा। Lattices + रैखिक उप-स्थान Minkowski राशि के तहत बंद हैं (यानी, इस सेट का एक सदस्य उदाहरण के लिए एक दूसरे से दूरी 1 में समानांतर लाइनों का एक सेट है)। छिद्रों के साथ जुड़े बहुभुज Minkowski राशि के तहत बंद हैं। रिंग्स [दो संकेंद्रित डिस्क के सेट अंतर] मिंकोव्स्की राशि के तहत बंद हैं (एक डिस्क को स्वाभाविक रूप से एक अंगूठी माना जाता है)। एक निश्चित दिशा के समानांतर लाइन सेगमेंट का सेट मिंकॉस्की योग के तहत बंद हो जाता है। Mushows आलू Minkowski राशि के तहत बंद कर रहे हैं, लेकिन केवल अगर वे अच्छी तरह से पकाया जाता है (या शायद नहीं, यह बहुत देर हो चुकी है ...

इसके अलावा, केंद्रित रिंगों के परिमित संघ का परिवार मिंकॉस्की योग के तहत बंद है।

— सरियल हर-पेलेड
स्रोत