सर्किट आकार के लिए पदानुक्रम प्रमेय

Question

मुझे लगता है कि सर्किट जटिलता के लिए एक आकार पदानुक्रम प्रमेय क्षेत्र में एक बड़ी सफलता हो सकती है।

क्या यह वर्ग अलगाव के लिए एक दिलचस्प दृष्टिकोण है?

प्रश्न के लिए प्रेरणा हमें कहना है

कुछ फ़ंक्शन है जो आकार सर्किट द्वारा गणना नहीं की जा सकती है और आकार सर्किट जहां द्वारा गणना की जा सकती है । (और संभवतः गहराई के संबंध में कुछ)g ( n ) f ( n ) < o ( g ( n ) $f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

इसलिए, यदि , संपत्ति अप्राकृतिक लगती है (यह लार्जन की स्थिति का उल्लंघन करती है)। स्पष्ट रूप से हम विकर्णीकरण का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि हम एक समान सेटिंग में नहीं हैं।$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

क्या इस दिशा में कोई परिणाम है?

Answer 1

वास्तव में यह दिखाना संभव है कि, प्रत्येक पर्याप्त रूप से छोटा ( से कम ), आकार परिपथ द्वारा गणना योग्य कार्य हैं, लेकिन आकार परिपथ द्वारा नहीं , या यहां तक ​​कि , आपके द्वारा अनुमति दिए जाने वाले फाटकों के प्रकार पर निर्भर करता है।2 n / n f ( n ) f ( n ) - O ( 1 ) f ( n ) - $f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

यहाँ एक सरल तर्क है जो दिखाता है कि आकार में गणना करने योग्य कार्य हैं लेकिन आकार f ( n ) - O ( n ) नहीं है ।$f(n)$$f(n)-O(n)$

हम जानते हैं कि:

1. एक फ़ंक्शन जिसमें कम से कम 2 एन / ओ ( एन ) सर्किट जटिलता की आवश्यकता होती है , और, विशेष रूप से, एफ ( एन ) से अधिक सर्किट जटिलता ।$g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. फ़ंक्शन ऐसा कि z ( x ) = 0 प्रत्येक इनपुट x के लिए एक स्थिर-आकार सर्किट द्वारा गणना योग्य है।$z$$z(x)=0$$x$
3. अगर दो कार्य और g 2 केवल एक इनपुट में भिन्न होते हैं, तो उनकी सर्किट जटिलता सबसे O ( n ) से भिन्न होती है$g_1$$g_2$$O(n)$

मान लीजिए कि एन इनपुट पर नॉनजरो है। ऐसे इनपुट्स x 1 , … , x N पर कॉल करें । हम विचार कर सकते हैं, प्रत्येक i के लिए , फ़ंक्शन g i ( x ) जो सेट { x 1 , … , x i } का सूचक कार्य है ; इस प्रकार जी 0 = 0 और जी एन = जी ।$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

स्पष्ट रूप से कुछ ऐसा है कि g i + 1 में f ( n ) से अधिक सर्किट जटिलता है और g i में f ( n ) से कम सर्किट जटिलता है । लेकिन तब g i में f ( n ) से कम सर्किट जटिलता है, लेकिन f ( n ) - O ( n ) से अधिक है ।$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

Comments

प्रमाण कैसे जाता है कि आकार परिपथों द्वारा अभिकलन योग्य कार्य हैं लेकिन आकार f ( n ) - O ( 1 ) के परिपथों द्वारा नहीं । $f(n)$$f(n) - O(1)$

— विलियम होजा

Answer 2

एक साधारण गिनती तर्क का उपयोग करके इस परिणाम को साबित किया जा सकता है। इनपुट के पहले बिट्स पर लागू एक यादृच्छिक फ़ंक्शन पर विचार करें । इस समारोह में लगभग निश्चित रूप से रिओर्डन और शैनन की गिनती के तर्क और ऊपरी सीमा से मेल खाते सर्किट जटिलता ( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) है। इस प्रकार, k को चुनना ताकि 2 g ( n ) < 2 k / k < f ( n ) / 2 हम आकार g को अलग कर सकें$k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ से आकार f ( n ) । ध्यान दें कि विचाराधीन कार्य अनिवार्य रूप से गणना योग्य भी नहीं होंगे, लेकिन हम उन्हें मानक तकनीकों द्वारा घातीय समय पदानुक्रम में डाल सकते हैं (जब तक हम k के सही मूल्य की गणना कर सकते हैं)। हम निश्चित रूप से 2 n / n से अधिक किसी भी बाउंड को साबित नहीं कर सकते, क्योंकि यह किसी भी फ़ंक्शन की सबसे खराब स्थिति है। $g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

इस तरह के तर्क के लिए प्राकृतिक सबूत लागू नहीं होते हैं, क्योंकि विचाराधीन संपत्ति `` एक छोटा सर्किट नहीं है '', जो आसानी से फ़ंक्शन की सत्य तालिका (संभवतः) से गणना करने योग्य नहीं है। यह स्पष्ट नहीं है कि जटिलता वर्गों में इस प्रकार की गिनती कितनी कम हो सकती है। क्या कोई कारण है कि हम लिए कम सीमा साबित करने के लिए एक गिनती तर्क का उपयोग नहीं कर सकते हैं ? मेरी जानकारी में नहीं। $NE$

Comments

कोई प्रत्यक्ष कारण नहीं है, लेकिन सभी ज्ञात दृष्टिकोणों (गिनती के तर्कों के कार्यान्वयन) के लिए आवश्यक है कि हम अंततः यह सत्यापित करें कि किसी दिए गए फ़ंक्शन की सत्य तालिका में उच्च सर्किट जटिलता है। एक इस समस्या के लिए एल्गोरिथ्म एक परिभाषित करेगा एन पी / पी ओ एल y के खिलाफ प्राकृतिक संपत्ति पी / पी ओ एल y (जो, स्टीवन रुडिच के दस्तावेजों में से एक के अनुसार, संभावना नहीं है)। बेशक, इस समस्या को हल करना अनावश्यक लगता है ...$NE$$NP/poly$$P/poly$

— रयान विलियम्स