सरनाक के मोबियस अनुमान के प्रति-उदाहरण के रूप में कुशलता से गणना योग्य कार्य

हाल ही में गिल कलाई और डिक लिप्टन दोनों ने पीटर सरनक द्वारा प्रस्तावित एक दिलचस्प अनुमान पर एक अच्छा लेख लिखा था, जो संख्या सिद्धांत और रीमैन हाइपोथीसिस के विशेषज्ञ थे।

अनुमान। चलो हो मॉबियस समारोह । मान लीजिए एक है इनपुट के साथ समारोह की बाइनरी प्रतिनिधित्व के रूप में , तो $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

ध्यान दें कि यदि तो हमारे पास प्राइम संख्या प्रमेय के समतुल्य रूप है । $f(k) = 1$

अद्यतन : MathOverflow पर बेन ग्रीन एक छोटा कागज प्रदान करता है जो अनुमान को साबित करने का दावा करता है। कागज पर नजर डालें ।

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि (थोड़ा संशोधन के साथ सीमा ) में है, जिसके परिणामस्वरूप योग का अनुमान एक ऊपरी सीमा है कि गणना , इसलिए पर प्रस्तावित बाधा अनुमान में एक फ़ंक्शन को शिथिल नहीं किया जा सकता है । मेरा सवाल यह है कि: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\underset{कश्मीर \leq n}{Σ} μ (कश्मीर)^{2} = Ω (n) ।

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

सबसे कम जटिलता वर्ग क्या है, हम वर्तमान में जानते हैं, जैसे कि एक फ़ंक्शन in अनुमान को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों में से कुछ के बाद से माना जाता है कि कंप्यूटिंग में नहीं है , हम अन्य प्रदान कर सकते हैं कार्यों जो संक्षेप में एक रैखिक विकास का तात्पर्य है? क्या इससे भी बेहतर सीमा प्राप्त की जा सकती है? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\underset{कश्मीर \leq n}{Σ} μ (कश्मीर) \cdot च (कश्मीर) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

P ^ {BQNC} जैसे कुछ क्वांटम क्लास को भी काम करना चाहिए, क्योंकि उस क्लास में फैक्टरिंग निहित होती है।

— रॉबिन कोठारी

क्या यह भी ज्ञात है यदि निश्चित ?

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— मनु

@Emanuele, अच्छा सवाल। K के बाइनरी प्रतिनिधित्व में i-th बिट का संकेतक फ़ंक्शन एक रैखिक "ब्रैकेट बहुपद" है, लेकिन इसमें बहुत अधिक गुणांक हैं, इसलिए यह बंधे के साथ मोबियस फ़ंक्शन के सहसंबंध पर ग्रीन-ताओ प्रमेय से पालन नहीं हो सकता है। -स्टेप nil परिणाम। बाउंड-स्टेप nil परिणाम में विशेष मामलों के रूप में बाउंड-डिग्री ब्रैकेट पॉलीओनियम्स हैं, लेकिन उनके परिणाम में गुणांक के परिमाण पर कुछ प्रतिबंध हो सकते हैं

— लुका ट्रेविसन

और क्या इसे लिए जाना जाता है ?

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— डोमोटर

क्या आप रेंज या या कुछ और के साथ एक फ़ंक्शन चाहते हैं ?

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— जुका सूमेला

इस समस्या पर दिलचस्प घटनाक्रम हुए हैं, हालांकि एसीसी (2) के साथ जगह (नाम मात्र 2 गेट के रूप में अच्छी तरह से अनुमति देता है) अभी भी अच्छी तरह से बाहर है। बेन ग्रीन की प्रमेय से परे कुछ प्रगति इस एमओ सवाल में पाई जा सकती है https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function और साथ ही एक https://mathoverflow.net / सवाल / 97261 / मोबाइल-रैंडमनेस-ऑफ-द-र्यूडिन-शेपिरो-सीक्वेंस । इसके अलावा, जीन बोगरेन ने हर मोनोटोन फ़ंक्शन (बाइनरी-डिजिट विस्तार के संदर्भ में) के लिए मोबियस यादृच्छिकता साबित की । $AC^0$ $f$

— गिल कलाई
स्रोत