समस्या शिक्षण संगणना

Question

मुझे कम्प्यूटेशनल कार्यों की अवधारणा को पढ़ाने में कठिनाई होती है। मैंने यह विचार विकसित करने की कोशिश की कि हिल्बर्ट / एकरमैन / गोडेल / ट्यूरिंग / चर्च / ... जैसे शोधकर्ताओं ने 'कम्प्यूटेबिलिटी' की धारणा का आविष्कार क्यों किया। छात्रों ने तुरंत पूछा: "कम्प्यूटेबिलिटी का क्या मतलब है?" और जब तक मैं उन्हें ट्यूरिंग मशीन नहीं सिखाता, तब तक मैं जवाब नहीं दे सकता, और फिर जवाब देता कि "ट्यूरिंग मशीन इसकी गणना करती है तो एक फंक्शन कम्प्यूटेबल होता है।"

इसलिए,

क्या कम्प्यूटेबिलिटी का वर्णन है जिसमें ट्यूरिंग मशीनों, λ-पथरी या संगणना के समान मॉडल का सहारा लेने की आवश्यकता नहीं है? यहां तक ​​कि एक सहज वर्णन भी पर्याप्त होगा।

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"हर फ़ंक्शन एक कंप्यूटर गणना कर सकता है"? आमतौर पर, मैं प्रोग्रामिंग भाषाओं का सहारा लेता हूं, क्योंकि छात्रों को एक जानने की संभावना है। मैंने एल्गोरिथ्म की एक सहज परिभाषा के रूप में "फ़ंक्शन की गणना करने के लिए कोई भी नुस्खा" के लिए जा रहा है।

— माइकल कैडिलैक

एक समस्या कम्प्यूटेशनल है अगर इसे नियमों के एक सीमित समूह द्वारा हल किया जा सकता है जो चरणों की परिमित संख्या में असतत गतिशील प्रणाली के विकास को नियंत्रित करता है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

इसके अलावा, आप हिल्बर्ट की दसवीं समस्या का उपयोग छात्रों को यह समझाने के लिए कर सकते हैं कि यह क्यों बेकार है और यह कि अन्य बातों के साथ-साथ, गणित में कम्प्यूटेबिलिटी की धारणा को औपचारिक रूप देने के लिए आवश्यक असमानता का प्रमाण है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

एक और सवाल: चर्च-ट्यूरिंग थीसिस में कहा गया है कि एक फ़ंक्शन को कुछ ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की जा सकती है, अगर और केवल अगर यह गणना के किसी अन्य "उचित और सामान्य" मॉडल की किसी मशीन द्वारा गणना की जा सकती है [गोल्डरिच, 2008]। तो, संगणनीय बोधगम्यता का एक मॉडल-स्वतंत्र विचार है?

— एमएस डौस्ती

Answer 1

75 साल पहले आसपास कोई कंप्यूटर नहीं थे। इसलिए किसी को कंप्यूटर के गणितीय विचार को बहुत सावधानी से समझाना पड़ा ।

आज हर कोई जानता है कि कंप्यूटर क्या है, और शायद ज्यादातर समय एक के आसपास एक है। यह शिक्षण में बहुत सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है क्योंकि आप टेप के साथ मशीन के बजाय पुराने विचार को छोड़ सकते हैं। मेरा मतलब है, जो एक टेप का उपयोग करता है? (मुझे पता है, मुझे पता है, आप अपमानित महसूस करते हैं और ट्यूरिंग एक महान व्यक्ति और वह सब था, और मैं आपसे सहमत हूं)।

आप बस कक्षा में चलते हैं और पूछते हैं: तो वहाँ कुछ भी आपके iPhones गणना नहीं कर सकता है? यह तुरंत आपको बंधे संसाधनों के बारे में सवालों के घेरे में ला देता है। फिर आप कहते हैं: मान लीजिए कि आपकी मशीन में वास्तव में असीमित मेमोरी थी, क्या ऐसा कुछ है जो इसकी गणना नहीं कर सकता है? और आप थोड़ा और आदर्श बनाते हैं और संख्या-सिद्धांत कार्यों पर ध्यान केंद्रित करते हैं (क्योंकि आप इस समय फेसबुक में रुचि नहीं रखते हैं)। आपको थोड़ा समझाना होगा कि कंप्यूटर कैसे काम करते हैं (जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, यह अच्छा है यदि छात्र एक प्रोग्रामिंग भाषा जानते हैं क्योंकि आप हार्डवेयर का वर्णन करने के बजाय इसका उपयोग कर सकते हैं), लेकिन इसके बाद आप कम्प्यूटेबिलिटी के सभी शास्त्रीय तर्कों का उपयोग कर सकते हैं परिणाम प्राप्त करने के लिए सिद्धांत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपके छात्रों की मशीन की मानसिक तस्वीर iPhone है। वास्तव में, यह मायने रखता है:उनके लिए यह जानना अधिक प्रासंगिक है कि उनका iPhone कुछ चीजें नहीं कर सकता है।

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मुझे यह तर्क काफी पसंद है, क्योंकि यह कंक्रीट (आईफोन) से अमूर्त तक जाता है।

— सुरेश वेंकट

यहाँ एक दिलचस्प पहेली है: हस्केल में smn और utm प्रमेय क्या हैं?

— वृषभ बाउर

"75 साल पहले आसपास कोई कंप्यूटर नहीं थे।" यह केवल झूठ है। 75 साल पहले आसपास कंप्यूटर के बहुत सारे थे। वे मनुष्य थे, जिनमें ज्यादातर महिलाएं थीं; उनके पास उन्नत गणित की डिग्री, कुछ अल्पविकसित यांत्रिक संगणना उपकरण (जैसे मशीन और स्लाइड नियम जोड़ना), और बहुत सारे और बहुत सारे कागज थे। ये कंप्यूटर WWII (बम और बमबारी के बावजूद) मैनहट्टन परियोजना और बैलेचले पार्क दोनों की रीढ़ थे। यह कंप्यूटिंग वातावरण है जो ट्यूरिंग मॉडलिंग कर रहा था: पेंसिल और कागज के साथ मनुष्य।

— जेफ

@ जेफे: चलो, तुम्हें पता है कि मेरा क्या मतलब था।

— एंड्रेज बॉयर

@ जेफ: हम आपकी परिकल्पना का परीक्षण कर सकते हैं। अपने सहयोगियों के पास जाओ और उन्हें "एक छोटी स्कर्ट पहने हुए कंप्यूटर" की तस्वीर खींचने के लिए कहें। कृपया रिपोर्ट करें कि कितने लोगों ने एक इंसान को आकर्षित किया।

— बाउर

Answer 2

"इनपुट से आउटपुट तक जाने के लिए एक 'प्रभावी प्रक्रिया' होने पर एक फंक्शन कम्प्यूटेबल होता है।" इस विषय को शुरू करते समय, मैंने अतीत में बताया है कि कैसे (छात्रों के) द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए उनके पास एक प्रभावी प्रक्रिया है, लेकिन डिग्री 5 या अधिक के समीकरणों को हल करने के लिए एक नहीं है। यह इस बात पर चर्चा कर सकता है कि कोई व्यक्ति 'प्रभावी प्रक्रिया' को कैसे औपचारिक रूप दे सकता है, लेकिन यह चर्चा कुछ ऐसा है जो आप करना चाहते हैं, इसलिए मुझे लगता है कि यह एक बग के बजाय एक विशेषता है।

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नाइटपैकिंग: एबेल- रफ़िनी प्रमेय में कहा गया है कि कोई सामान्य बीजीय समाधान नहीं है - अर्थात, रेडिकल में समाधान- डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद समीकरणों के लिए। हालांकि, क्विंटिक समीकरणों के बंद-रूप समाधान प्राप्त करने के लिए, कट्टरपंथी जैसे तरीके हैं ।

— एमएस डौस्ती

आपका नाइटपिटिंग वास्तव में सही है। कम्प्यूटेबिलिटी पर चर्चा करते समय, आप "अनुमत संचालन" जैसी चीजों के बारे में बात करना चाहते हैं, और बहुपद के समाधान उन चीजों में से एक हैं जो जितना अधिक आप इसे देखते हैं उतना अधिक जटिल हो जाता है। लेकिन एक परिचय के लिए, मुझे लगता है कि "प्रभावी प्रक्रिया" और द्विघात सूत्र का उल्लेख एक महान प्रारंभिक बिंदु है। वे पूरी तरह से सही नहीं हैं, लेकिन अंतर्ज्ञान बहुत सही है, IMO।

— पीटर बूटे

Answer 3

शायद मुद्दा यह है कि इन सभी मॉडलों का उद्देश्य कब्जा करना है कि कम्प्यूटेबिलिटी की धारणा क्या है। तथ्य यह है कि उनमें से सभी समान हैं, इसका मतलब है कि जिस धारणा को वे पकड़ने की कोशिश कर रहे हैं वह मजबूत है। इसलिए हालांकि यह आपकी दुविधा से नहीं बचता है, लेकिन यह मजबूती इस धारणा को पुख्ता करती है कि "ट्यूरिंग मशीन है जो इसकी गणना करती है तो एक फंक्शन कम्प्यूटेबल है"।

Answer 4

मैं पूछना शुरू करता हूं "क्या कोई सवाल है जो कोई भी कंप्यूटर कभी भी जवाब नहीं दे सकता है?" और दार्शनिक प्रश्नों की ओर चर्चा का नेतृत्व करें जैसे कि "अगर जंगल में कोई पेड़ गिरता है तो क्या वह आवाज करता है?" या "वहाँ एक जीवन शैली है?" हमें जल्दी से एक आम सहमति मिल जाती है कि मानव भाषा विरोधाभास या अवधारणाओं से संबंधित हां / नहीं में कोई भी प्रश्न व्यक्त कर सकती है जिसे गणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और इसलिए, हां, गैर-गणना योग्य प्रश्न हैं।

तब मैं बयानबाजी से पूछता हूं कि क्या अवधारणाओं के बारे में गैर-कम्प्यूटेशनल प्रश्न हैं जो कंप्यूटर में दर्शाए जा सकते हैं, जैसे पूर्णांक और रेखांकन। मैं कहता हूं कि हां, एक उदाहरण प्रसिद्ध हॉल्टिंग समस्या है, जो एक कार्यक्रम के विवरण की जांच करने और यह कहने के बारे में है कि क्या इसमें कोई अनंत लूप है। सहज रूप से, यह पता चलता है कि अनंत लूप ब्लैक होल की तरह होते हैं, और एक अनन्त लूप का निरीक्षण करने वाला कोई भी प्रोग्राम अनंत लूप में फंस सकता है। तो कोई भी प्रक्रिया जो उस समस्या का जवाब देती है वह हमेशा के लिए चल सकती है, इसलिए "एल्गोरिथ्म" की परिभाषा से कोई भी एल्गोरिथ्म रुकने की समस्या का जवाब नहीं दे सकता है।

फिर मैं ट्यूरिंग मशीनों पर सबूत में वापस गोता लगाता हूं।

Answer 5

खैर, एक फ़ंक्शन कम्प्यूटेशनल है यदि यह उन इनपुट्स को स्वीकार करता है जो एक विशिष्ट पैटर्न द्वारा निर्मित या उत्पन्न होते हैं। एक विशिष्ट पैटर्न का मतलब है कि सभी इनपुट में एक संबंध होना चाहिए, एक विशेष इनपुट इसे पिछले या अगले इनपुट द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। यदि इनपुट में इस प्रकार का अनुक्रम नहीं है, तो एक मॉडल या फ़ंक्शन विकसित करने की कोई संभावना नहीं है जो स्वीकार कर सकता है। मैं एक बात और कहना चाहता हूं कि मशीन और इंसान में बुनियादी अंतर है। गैर-अनुक्रमिक आदानों के लिए एक मशीन का गठन नहीं किया जा सकता था लेकिन मनुष्य हैं। इसके अलावा यह वास्तविक मानव व्यवहार करने वाले रोबोट बनाने में बड़ी रुकावट है।

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प्रश्न अभिकलन शिक्षण के बारे में है। अच्छा होगा यदि आप अपने उत्तर को उस प्रश्न का उत्तर देने वाली सामग्री तक सीमित रखें। ध्यान रखें कि ओपी अंडरग्रैजुएट्स को पढ़ा रहा है, इसलिए व्यक्तिगत राय (जैसे कि आपके पिछले तीन बयान) गुंजाइश में नहीं हो सकते हैं।

— विजय डी