एकल-टेप ट्यूरिंग मशीन की वर्णमाला

क्या प्रत्येक कार्य जो कि आकार के वर्णमाला का उपयोग करके एकल-टेप ट्यूरिंग मशीन पर समय में गणना करने योग्य है। समय एक टेप-ट्यूरिंग मशीन पर आकार की वर्णमाला का उपयोग करके (कहते हैं, और रिक्त)? $f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $t$ $k = O(1)$ $O(t)$ $3$ $0,1,$

(ओपी द्वारा नीचे दी गई टिप्पणियों से) ध्यान दें कि इनपुट का उपयोग करके लिखा गया है , लेकिन आकार की वर्णमाला का उपयोग करने वाली ट्यूरिंग मशीन बड़े अक्षरों से प्रतीकों के साथ इनपुट प्रतीकों को अधिलेखित कर सकती है। मुझे नहीं लगता कि किस तरह से इनपुट को शिफ्ट किए बिना छोटे वर्णमाला में बड़ी वर्णमाला में प्रतीकों को सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा जिसके लिए समय खर्च होगा । $0,1$ $k$ $n^2$

computability turing-machines

— मनु
स्रोत

ध्यान दें कि इनपुट का उपयोग करके लिखा गया है , लेकिन आकार की वर्णमाला का उपयोग करने वाली ट्यूरिंग मशीन बड़े अक्षरों से प्रतीकों के साथ इनपुट प्रतीकों को अधिलेखित कर सकती है। मुझे नहीं लगता कि किस तरह से इनपुट को शिफ्ट किए बिना छोटे वर्णमाला में बड़ी वर्णमाला में प्रतीकों को सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा जिसके लिए समय खर्च होगा ।

0, 1

$0,1$

k

$k$

n^{2}

$n^2$

— मनु

@Emanuele: आपको प्रश्न को संपादित करना चाहिए और इस पहलू पर जोर देना चाहिए; अन्यथा यह बिल्कुल एक मानक पाठ्यपुस्तक अभ्यास जैसा लगता है ...

— जुका सूमेला

@ त्सुयोशी, मुझे लगता है कि आपने सवाल गलत समझा।

— सुरेश वेंकट

@ जुक्का: एक-टेप ट्यूरिंग मशीन पर, समय में गणना की जा सकने वाली हर चीज वास्तव में नियमित भाषा में होती है।

o (n \log n)

$o(n \log n)$

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

@Abel: अरोरा और बराक से आपके द्वारा बोली जाने वाली रिजल्ट यहाँ मुख्य मुद्दे के आसपास मिलती है क्योंकि उनके मॉडल में (जो कि मल्टी-टेप टीएम के लिए काफी मानक है), उनके पास एक अलग, रीड-ओनली इनपुट टेप है।

— जोशुआ ग्रूचो

जवाबों:

एक आंशिक उत्तर यदि TM में चलता है $o( |x| \log |x|)$

यदि TM4 एक 4-प्रतीकों वाला TM है (वर्णमाला ) जो गणना करता है । यानी भाषा का फैसला in $\Sigma_4 = \{\epsilon,0,1,2 \}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $L = \{ x | f(x) = 1 \}$ $(o( |x| \log |x|))$

एक टेप निर्धारक रैखिक-समय जटिलता $1DLIN = 1DTime(O(n))$

हेनी ने साबित किया (1) कि $REG = 1DLIN$
कोबायाशी ने साबित किया (2) कि $REG = 1DTime(o(n \log n))$

तो नियमित है, और जाहिर है कि अभी भी वर्णमाला से अधिक नियमित है $L$ $\Sigma_3 = \{\epsilon,0,1\}$

तो एक डीएफए है जो एल तय करता है और केवल प्रतीकों का उपयोग करता है । एक-टेप, 3-प्रतीकों टीएम 3 को सीधे डीएफए से बनाया जा सकता है और यह मूल टीएम 4 के समान अनपेड इनपुट का उपयोग करके एल तय करता है । $\Sigma_3$

... आप इसे सीधे TM4 से नहीं बना सकते, लेकिन TM3 मौजूद है।

यदि TM4 में चलता है तो आप इनपुट को शिफ्ट कर सकते हैं और TM4 से TM3 में सीधा रूपांतरण कर सकते हैं। $\Omega(n^2)$

जैसा कि टिप्पणियों में देखा गया है कि मुश्किल मामला तब है जब TM4 में चलता है । $\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

(1) हेनी, एक-टेप, ऑफ-लाइन ट्यूरिंग मशीन कम्प्यूटेशन (1965)

(2) कोबायाशी, एक टेप की संरचना पर nondeterministic ट्यूरिंग मशीन समय पदानुक्रम (1985)

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

प्रश्न के नीचे टिप्पणी में बात पहले ही क्रिस्टोफ़र अर्न्सफेल्ट हैनसेन ने नोट कर ली है। वास्तव में दिलचस्प मामला है ।

o (n \log n)

$o(n\log n)$

Ω (n \log n) \cap o (n^{2})

$\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

— केवह

आप सही हैं मैंने क्रिस्टोफ़र टिप्पणी पर ध्यान नहीं दिया। मैंने दिलचस्प मामले को बुरी तरह से व्यक्त किया (मुझे नहीं पता कि इसे कैसे साबित किया जाए), इसलिए मैंने जवाब अपडेट किया।

— Marzio De Biasi

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n)

$O(n)$

L

$L$

O (n^{2})

$O(n^2)$

x \in L

$x \in L$

| x |^{2}

$|x|^2$

x \notin L

$x \notin L$

| x |^{2}

$|x|^2$

O (n)

$O(n)$ समय, और यह एक परिमित राज्य मशीन का उपयोग कर हल करने योग्य नहीं है।

— जुका सुओमेला

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

x

$x$

Θ (| x |^{2})

$\Theta(|x|^2)$

x \in L

$x \in L$

Θ (| x |)

$\Theta(|x|)$ पैडिंग के बिट्स।)

— जुका सुओमेला

-4

~~$1$ $\log_k(x) \in \Theta(\log_l(x))$ $k, l > 1$~~

$t$ $t$ $k$ $\{0,1,\dots,k-1\}$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\{0,1\}$ (रिक्त अप्रयुक्त कोशिकाओं को चिह्नित करने के लिए आरक्षित हैं)। ध्यान दें कि यह अनिवार्य रूप से द्विआधारी कोडित अंक है।

$\lceil \log_2(k) \rceil \cdot t \in \mathcal{O}(t)$

$\{0,1\}$ $\mathcal{O}(n^2)$ $\mathcal{O}(n^2) + \lceil \log_2(k) \rceil \cdot t$

$t(n) \in \Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

— राफेल
स्रोत

जब तक आप मुझे समझाते हैं कि यह मामला क्यों माना जाता है, तब तक मैं इसे नीचे रखूंगा।

— एंड्रेज बॉयर

मैं आपके दावे के लिए कुछ सबूत सुनना चाहूंगा। यह सब, यह सिर्फ एक दावा है।

— बीकानेर बाउर

ओह, मैं देख रहा हूं कि आप किस चीज का जिक्र कर रहे हैं। ठीक है माफ़ कर दो। हालांकि, सवाल उस बारे में नहीं है । यह थोड़ा बदलाव है।

— फफूंद बाउर

मुझे लगता है कि t = Ω (n ^ 2) के साथ मामला आसान मामला है क्योंकि आप इनपुट स्ट्रिंग को शिफ्ट करने के लिए समय दे सकते हैं। आवश्यक मामला तब है जब t = o (n ^ 2)। मुझे नहीं पता कि ओ (एन ^ 2) समय के साथ एकल-टेप टीएम पर विचार करना कितना महत्वपूर्ण है, लेकिन सवाल उस बारे में है।

— त्सुयोशी इतो

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$