FPT समस्याओं की कठोरता

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वर्टेक्स कवर को इंडिपेंडेंट सेट और इसके विपरीत आसानी से कम किया जा सकता है।

हालांकि, मानकीकृत जटिलता के संदर्भ में, स्वतंत्र सेट वर्टेक्स कवर की तुलना में कठिन है। एक कर्नेल के साथ कोने वर्टेक्स कवर के लिए मौजूद है, लेकिन स्वतंत्र सेट है डब्ल्यू 1 कठिन। $2k$

स्वतंत्र सेट की प्रकृति एफपीटी के संदर्भ में कैसे बदलती है और क्यों?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— निखिल
स्रोत

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उत्तर का मुख्य विचार: अगर हम पैरामीटरेट किए गए इंडिपेंडेंट सेट के एक उदाहरण को घटाकर वर्टिकेटेड वर्टेक्स कवर पर ले जाते हैं, तो हम जिस पैरामीटर को समाप्त करते हैं, वह ग्राफ के आकार पर निर्भर करता है, और केवल इनपुट पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है। अब कुछ और विस्तार के लिए।

आप जानते हैं, एक पैरामिट्रीकृत समस्या में (वर्दी) एफपीटी है अगर वहाँ एक एल्गोरिथ्म है कि एक इनपुट है कि क्या फैसला करता है में निहित है समय में के लिए कुछ समारोह । $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

चूँकि आप तय कर सकते हैं कि एक ग्राफ में किनारे को उठाकर आकार का एक शीर्ष कवर है , और इसके दो समापन बिंदुओं में से किस पर शीर्ष को कवर करने के लिए शाखाओं में बँधा है, यह शाखा केवल गहरी जाती है (अन्यथा आपने से अधिक डाल दिया है कवर में कोने), और आसानी से समय में चलता है ; इसलिए -Vertex Cover FPT में है। $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

अब मान लें कि हम इस एल्गोरिथम का उपयोग करने की कोशिश करना चाहते हैं ताकि यह दर्शाया जा सके कि स्वतंत्र इंडिपेंडेंट सेट FPT में है; मान लें कि हमें कोने पर एक ग्राफ दिया गया है और यह तय करना चाहते हैं कि क्या इसका आकार का एक स्वतंत्र सेट है । यह पूछने के लिए बराबर है कि क्या का आकार का एक शीर्ष कवर है । तो हम अपने उपरोक्त एल्गोरिथ्म का उपयोग समय में उत्तर की गणना करने के लिए करते हैं । हमारे एफपीटी एल्गोरिथ्म के लिए, चल रहे समय में घातीय फ़ंक्शन पैरामीटर पर निर्भर हो सकता है, जो कि , लेकिन यह इनपुट के आकार पर निर्भर नहीं हो सकता है, जो कि ; लेकिन जिस दृष्टिकोण को हमने स्केच किया है वह में समय घातांक का उपयोग करता $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ $n - \ell$ और इसलिए पैरामीटर संबंध में एक FPT पैरामीटर नहीं । यही कारण है कि तथ्य यह है कि वर्टेक्स कवर एफपीटी में है इसका मतलब यह नहीं है कि स्वतंत्र सेट एफपीटी में है। $\ell$

— बार्ट जानसन
स्रोत

सभी उत्तरों के लिए धन्यवाद। पैरामीटरकृत जटिलता के संदर्भ में, मैं उस विचार को समझता हूं जब मैं स्वतंत्र सेट की कठोरता का अध्ययन करने की कोशिश करता हूं, जो कि वर्टेक्स कवर से बाहर होता है। हालाँकि, मुझे ऐसा कोई स्पष्टीकरण नहीं मिला जो स्वतंत्र सेट, वर्टेक्स कवर के संदर्भ में स्वतंत्र दिखता हो? क्या एक स्वतंत्र सेट खोजने की संरचना (या अंतर्निहित प्रकृति) में कुछ है जो इसे और अधिक कठिन बनाता है?

— निखिल

बार्ट, क्यों कोई पैरामीटर

नहीं है जिसके लिए कमी वांछित के रूप में काम करती है?

k

$k$

— राफेल

@ राफेल: क्या आप अपना प्रश्न स्पष्ट कर सकते हैं? केवल मापदंडों ओपी के सवाल से "की अनुमति" संबंधित समाधान आकार हैं। यदि हम मनमाने ढंग से पैरामीटर की अनुमति देते हैं, तो कई ऐसे हैं जिनके लिए कमी वांछित है (यदि मैंने इस वाक्यांश को सही ढंग से समझा है): उदाहरण के लिए, यदि हम पैरामीटर को दोनों समस्याओं के लिए "न्यूनतम-आकार के वर्टेक्स कवर के आकार" के रूप में रखते हैं , तो दोनों एफपीटी हैं; बार्ट के तर्क द्वारा MinVC और उसी तर्क द्वारा MaxIndSet और OP की कमी का उपयोग करते हुए। यह केवल तभी होता है जब हम यह कहते हैं कि MaxIndSet का पैरामटर इसका समाधान आकार है कि समस्या W [1] -हार्ड हो जाती है।

— gphilip

आप मेरे प्रश्न को पूरी तरह से समझते हैं! उस अर्थ में, ओपी का प्रश्न अशुभ है: यह जोड़े के लिए (अनिर्धारित) समस्या और पैरामीटर के लिए पैरामीट्रिक जटिलता के बारे में बात करने के लिए केवल समझ में आता है। मैंने मानसिक रूप से एक "forall" के साथ अंतर को भरा, जिसका अर्थ है कि मैंने "सभी

" अर्थों में भी बार्ट के उत्तर को पढ़ा , और यह भी कि यह गलत / अपूर्ण था। इसलिए मेरा सवाल है। अन्य उत्तरों में भी यही समस्या है। जाहिरा तौर पर हर कोई लेकिन मैं विहित पसंद के साथ अंतर भरता है।

k

$k$

— राफेल

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मैं यह नहीं कहूंगा कि समस्या की 'प्रकृति' बदल जाती है, जो भी इसका मतलब है। वह सभी परिवर्तन पैरामीटर है, अर्थात, जिस तरह से आप समस्या की कठिनाई को मापते हैं।

ऐसे ग्राफ़ जिनमें अधिकतम पर आकार का एक शीर्ष कवर होता है, वे इतने संरचित होते हैं कि उन्हें कुशलता से आकार में कम करना संभव है: हम लालच में अधिकतम पर अधिकतम आकार का मिलान पा सकते हैं और शेष ग्राफ़ कम से कम आकार का एक स्वतंत्र सेट है । कमी के नियमों जैसे कि मुकुट में कमी, वर्टिकल की संख्या को अधिकतम पर कम किया जा सकता है । $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

दूसरी ओर, जिन ग्राफों में अधिकतम (या समतुल्य, अधिकतम स्वतंत्रों का आकार कम से कम ) के आकार के शीर्ष कवर होते हैं, ऐसी सरल संरचना प्रतीत नहीं होती है। जैसा कि आप इंगित करते हैं, इसे सटीक बनाया जा सकता है: उनकी संरचना हमें किसी भी -प्रोटोकम को एनकोड करने की अनुमति देती है । $n-k$ $k$ $W[1]$

— होल्गर
स्रोत

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निम्नलिखित अंतर के लिए कुछ अंतर्ज्ञान दे सकते हैं। वर्टिकल S का उपसमूह G = (V, E) का एक शीर्ष कवर है, यदि और केवल यदि VS एक स्वतंत्र सेट है, तो यदि MVC न्यूनतम शीर्ष कवर का आकार है तो MIS = | V | -MVC का आकार है अधिकतम स्वतंत्र सेट। एक्स द्वारा पैरामीटर किए गए एक एफपीटी एल्गोरिथ्म एक्स के एक फ़ंक्शन के रूप में घातीय रनटाइम की अनुमति देता है। किनारे की संभावना के साथ एन कोने पर एक यादृच्छिक ग्राफ 2-2n के बारे में उच्च प्रायिकता एमआईएस और n-2logn के आकार के MVC के साथ है। इस प्रकार, कम से कम इन ग्राफ़ों के लिए, एमवीसी द्वारा परिचालित एक एफपीटी एल्गोरिथ्म बस एमआईएस द्वारा एक पैरामीटर से बहुत अधिक समय की अनुमति देता है।

4

हालाँकि मैं दूसरों की कही गई बातों से सहमत हूं, लेकिन जब मैं इन चीजों के बारे में सोचता हूं, तो एक समस्या यह है कि इस समस्या को मान्यता समस्या के रूप में फिर से समझना है, "क्या इनपुट ग्राफ ग्राफ़ के परिवार का है जो अधिकांश कश्मीर में शीर्ष आवरण है?" / "क्या इनपुट ग्राफ उन ग्राफों के परिवार से संबंधित है जिनका स्वतंत्र सेट कम से कम k है?"।

$O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

तो मेरे लिए यह एक सहज स्पष्टीकरण है कि मैं यह क्यों उम्मीद करूँगा कि छोटे स्वतंत्र सेट की तुलना में छोटे शीर्ष कवर को पहचानना आसान होगा। निश्चित रूप से यह स्पष्ट होना चाहिए कि उपरोक्त विचार एक औपचारिक तर्क के पास कहीं नहीं हैं और मुझे लगता है कि दिन के अंत में सबसे ठोस सबूत हैं कि वास्तव में आकार के स्वतंत्र सेट को पहचानना कठिन है, वास्तव में डब्ल्यू की कठोरता है सेट!

— माइकल लैम्पिस
स्रोत

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

@Bart: कोने के एक स्वतंत्र सेट के लिए , आपको केवल यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि इन कोने के बीच कोई किनारे मौजूद नहीं है , और अधिकांश किनारों में एक (सरल) उपसमूह है आदेश के ।

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— मैथ्यू चैपल

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यह एक बहुत ही अप्रत्यक्ष उत्तर है, और यह आपकी चिंता को दूर नहीं कर सकता है। लेकिन एफपीटी और डब्ल्यू पदानुक्रम निकटता से जुड़े हुए हैं (एफपीटी समस्याओं में अक्सर पीटीएएस आदि होते हैं)। उस संदर्भ में, ध्यान दें कि किसी भी ग्राफ के लिए, वीसी = एन - एमआईएस, और इसलिए वीसी के लिए एक अनुमान एमआईएस के लिए एक सन्निकटन नहीं देता है। यही कारण है कि आपको सन्निकटन के लिए एल-कटौती की आवश्यकता है। मुझे संदेह है कि मानकीकृत जटिलता के लिए एक समान "कर्नेल-संरक्षण कमी" धारणा है।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

क्या एफपीटी में "कर्नेल-संरक्षण में कमी" धारणा है?

— निखिल

मुझे नहीं पता: इसलिए उद्धरण :)। मैं पैरामीरिजेड कॉम्प्लेक्सिटी के विशेषज्ञों का इंतजार कर रहा हूं।

— सुरेश वेंकट

2

आपने अभी-अभी तलब किया! ;)

— राफेल

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P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$