एनपी चौराहों के लिए पूर्ण समस्याओं के परिणाम coNP

Question

में पूरा समस्या हो रही के परिणाम क्या हैं ?$NP\cap coNP$

Comments

यह भी देखें mathoverflow.net/questions/34889/…

— Jukka Suomela

मुझे पता है कि लिंक। मेरा प्रश्न परिणामों के बारे में है। उदाहरण के लिए, भाषा एल के लिए पूरा हो गया है, तो तो शारीरिक रूप से विकलांग यह संक्षिप्त हो मैं मई के स्तर, या ऐसा ही कुछ। $NP\cap coNP$$i$

— मार्कोस विलग्रा

दरअसल, मैंने उसी लिंक में एक टिप्पणी के रूप में एक ही सवाल पूछा था, लेकिन मैं इसे एक वास्तविक प्रश्न बनाना चाहता था।

— मार्कोस विलग्रा

हां, मुझे पता है कि आप जानते हैं, लेकिन मैथओवरफ्लो पेज दूसरों के लिए उपयोगी पृष्ठभूमि की जानकारी प्रदान करता है।

— जुका सुओमेला

Answer 1

यह एक (विस्तृत) खुली समस्या है; जैसा कि, हम लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। विशेष रूप से, में trickiness की वजह से साबित $NP \cap coNP$ -Complete समस्याओं, हम बहुत अलग प्रमाण तकनीक की तुलना में वर्तमान में मौजूद आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, परिणामों की चर्चा में यथोचित रूप से "इस तरह की शक्तिशाली, नई प्रमाण तकनीकों का क्या अर्थ होगा?"

विषय की अपेक्षाकृत हालिया चर्चा के लिए, 2007 ( पीडीएफ ) से एल्गोरिदम पर एसीएम ट्रांजेक्शंस में डेविड जॉनसन का 26 वां एनपी-पूर्णता स्तंभ है । N P par c o N N P -complete समस्याओं के अस्तित्व को साबित करने और मेरे विचारों को जोड़ने के सवाल के बारे में डेविड ने जो कुछ कहा है, उसे मुझे याद दिलाने की अनुमति दें :$NP \cap coNP$

वर्तमान में, हमारे पास केवल "कमजोर," प्राकृतिक उम्मीदवार हैं, जिनकी सदस्यता के लिए $NP \cap coNP - P$ इस मायने में है कि उनकी सदस्यता का सबसे मजबूत प्रमाण यह है कि हम अभी तक उनके लिए बहुपद समय एल्गोरिदम खोजने में कामयाब नहीं हुए हैं। वह कुछ उम्मीदवारों की सूची देता है: छोटे फैक्टर, सरल स्टाॅक गेम, और मय पायोफ गेम। इन समस्याओं के अतिरिक्त "weirdness" में से कुछ उन्हें हल करने के लिए सबसे अच्छा अनुमानी रन बार से आता है, जैसे छोटे कारक, उर्फ पूर्णांक FACTOR $\le k$ , का एक यादृच्छिक समय जटिलता है $poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$ । (यदि$NP \cap coNP - P$में पूरी समस्याएं मौजूद हैं, तोक्या ऐसी उप-घातीय(न तो विशुद्ध रूप से घातीय है, और न ही बहुत बहुपद)वर्ग के रनटाइम स्थानिक?)

समस्या एक ही है: तो विशेष रूप से, हम जैसे कुछ साबित करने के लिए चाहते हो जाएगा $P$ iff $NP \cap coNP = P$ , 3SAT और के लिए कुक की प्रमेय की तरह यानी एक पूर्णता परिणाम $NP$ । के लिए $NP$ , इस तरह के सबूत सार्वभौमिक बहुपद समय में कटौती शामिल हैं (और अपने पसंदीदा, अतिरिक्त प्रतिबंध, जैसे कुक-कटौती, कार्प-कटौती को ठीक)। परिणामस्वरूप, बहुपद-समय में कमी तकनीकों के तहत, यह मामला होना चाहिए कि वर्ग के एक बहुपद-समय पहचानने योग्य प्रतिनिधित्व मौजूद है। के लिए $NP$ , हम गैर नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन का उपयोग कर सकते हैं कि एक बहुपद, भीतर पड़ाव $p(|x|)$ , चरणों की संख्या। डेविड बताते हैं, हम इस तरह के रूप में अन्य वर्गों (स्थिति और अधिक स्पष्ट है, जहां) के लिए इसी तरह के निरूपण है$PSPACE$ और#$P$ ।

कठिनाई, तथापि, के लिए एक समान प्रतिनिधित्व प्रदान करने के साथ $NP \cap coNP$ कि "प्राकृतिक" अनुरूप है की अनुमति देता है प्रतिनिधित्व में एम्बेड लंगड़ा समस्या के लिए हमें और इसलिए है अनिर्णनीय । है यही कारण है, का प्रतिनिधित्व करने के लिए निम्न प्रयास पर विचार $NP \cap coNP$ दो गैर नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन है कि कथित रूप, पूरक भाषाओं को पहचान के साथ:

प्रश्न: क्या एक ट्यूरिंग मशीन $M^*$ इनपुट पर पड़ाव $x \in {0,1}^n$ ?

निम्न के रूप में दो रैखिक समय ट्यूरिंग मशीनों $M_1$ और $M_2$ । इनपुट $y$ , $M_1$ इनपुट पढ़ता है और हमेशा स्वीकार करता है। जब तक $M_2$ हमेशा खारिज नहीं करता है $|y| \ge |x|$और $M^*$ स्वीकार करता है $x$ चरणों में $\le |y|$।

इसलिए, $M_1$ और $M_2$ पूरक भाषाओं को स्वीकार iff $M^*$ पर इनपुट को रोकने नहीं करता है $x$ । इसलिए, विरोधाभास से, यह तय करना कि क्या दो बहुपद-काल ट्यूरिंग मशीन पूरक भाषाओं को स्वीकार करते हैं, वह अयोग्य है।

तो, "प्राकृतिक" के प्रतिनिधित्व $NP \cap coNP$ समस्याओं बहुपद समय पहचानने योग्य नहीं है। सवाल बनी हुई है: आप कैसे प्रतिनिधित्व करते $NP \cap coNP$ समस्याओं ऐसी है कि वे बहुपद समय पहचानने योग्य होते हैं?

$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$

Comments

$NP\cap coNP$$TFNP=F(NP\cap coNP)$$NP\cap coNP$

यह सीधे अनुवाद नहीं करता है (जिस तरह से मेरा मानना ​​है कि आप आसन्न हैं)। ध्यान दें कि प्रमेय केवल किसी पूर्ण समस्या का संदर्भ नहीं है, बल्कि एक एफएनपी-पूर्ण समस्या है। यह कहने के समतुल्य है कि "NP \ cap coNP iff NP = coNP में NP-पूर्ण समस्या है।" जहाँ तक मुझे जानकारी है, यह अनुमान योग्य है कि NP \ cap coNP में पूरी समस्याएं हैं, जो कि NP- पूर्ण समस्याओं से भिन्न हैं, PH के बिना । (लिंक मस्ती के लिए है;))

— डैनियल अपॉन

नोट: यह अभी भी संभावना नहीं माना जाता है कि मैंने जिस स्थिति को उपर्युक्त बताया है वह उत्तर में समान कारणों के लिए मामला है।

— डैनियल अपॉन