क्या PH के लिए एक समय पदानुक्रम प्रमेय है?

Question

क्या यह सच है कि समय $O(n^k)$ बहुपद पदानुक्रम के कुछ स्तर में एक वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन द्वारा ) में बहुपद पदानुक्रम में समस्याएँ हैं जो किसी भी स्तर में $O(n^{k-1})$ में हल करने योग्य नहीं हैं । बहुपद पदानुक्रम? दूसरे शब्दों में - क्या बहुपद पदानुक्रम के लिए एक समय पदानुक्रम प्रमेय मौजूद है जैसे पी और एनपी के लिए क्या है? अगर वहाँ है - एक संदर्भ बहुत अच्छा होगा।

मेरे लिए मुश्किल यह है कि अनुकरणीय मशीन, जब पदानुक्रम के सभी स्तरों से मशीनों का अनुकरण करती है, तो पदानुक्रम के किसी भी विशिष्ट स्तर में नहीं है। जो एक संबंधित प्रश्न की ओर जाता है - ऐसी छोटी मशीन कौन सी है जो अनुकरण करने वाली मशीन से संबंधित है? क्या $O(n)$ प्रत्यावर्तन (या $O(\log n)$ / $O(\log \log n)$ ) के साथ एक वर्ग को परिभाषित करने में कोई समझदारी है ?

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एक रैखिक संख्या के विकल्प का उपयोग करने से आपको PSPACE मिलता है, क्योंकि Quantified Boolean Formula PSPACE-complete है।

— डेरिक स्टोले

Answer 1

हाँ। उदाहरण के लिए, समय पदानुक्रम प्रमेय के सामान्य सबूत (सीधे मनमाना मशीनों का अनुकरण करके) पता चलता है कि हर एक के लिए इस्तेमाल किया जा सकता , Σ सी टी मैं एम ई [ एन कश्मीर ] का सबसेट नहीं है Π सी टी मैं एम ई [ एन के - १ ] । से स्विच के लिए कारण Σ को $c \geq 1$$\Sigma_c TIME[n^k]$$\Pi_c TIME[n^{k-1}]$$\Sigma$$\Pi$ यह है कि, इस विकर्ण तर्क में, हमें उस मशीन के "विपरीत" को करना होगा जिसे हम अनुकरण कर रहे हैं, इसलिए हमें सार्वभौमिक मोड में चलना होगा जब सिमुलेशन मशीन अस्तित्वगत मोड में है, और इसके विपरीत।

तुम भी से स्विच के बिना इस तरह एक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं को Π : हर के लिए ग ≥ 1 , Σ सी टी मैं एम ई [ एन कश्मीर ] का सबसेट नहीं है Σ सी टी मैं एम ई [ एन कश्मीर - 1 ] । यह जक के कारण समय पदानुक्रम के प्रमाण का उपयोग करके किया जा सकता है (संदर्भ: " ए ट्यूरिंग मशीन समय पदानुक्रम ", सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 26 (3): 327--333, 1983)। समय पदानुक्रम प्रमेय के इस संस्करण के एक स्पष्ट संदर्भ के लिए, डायटर वैन मेलकेबेक देखें$\Sigma$$\Pi$$c \geq 1$$\Sigma_c TIME[n^k]$$\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ के " संतुष्टि और संबंधित समस्याओं के लिए निचली सीमा का सर्वेक्षण " (उनके होम पेज पर उपलब्ध है)।

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यह उत्तर बहुत स्पष्ट रूप से पदानुक्रम के हर अलग स्तर के लिए एक समय पदानुक्रम प्रमेय के अस्तित्व को दर्शाता है। यह तुरंत एक पूरे के रूप में पीएच के लिए इस तरह के एक प्रमेय की उपस्थिति का संकेत नहीं देता है।

— जोसेफ

आपके मजबूत सवाल को हल करना मुश्किल होगा; यह अर्थ होगा । मान लीजिए कि एक सी है और एक भाषा एल में Σ सी टी मैं एम ई [ ≠ एन पी । इसका कारण यह है कि हर भाषा है$LOGSPACE \neq NP$$c$$L$ कि में नहीं है Σ घ टी मैं एम ई एल ∈ एल ओ जी एस पी ए सी ई में है$\Sigma_c TIME[n^k]$ हर के लिए घ । तब L O G S P P A C $\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$$d$$LOGSPACE \neq NP$$L \in LOGSPACE$ कुछ d के लिए L पर निर्भर करता है(एक Savitch- प्रमेय-प्रकार तर्क द्वारा)। तो अगर एल ओ $\Sigma_d TIME[n^2]$$d$$L$ तो वास्तव में में हर भाषा Σ सी टी मैं एम ई [ एन $LOGSPACE = NP$ में है Σ घ टी मैं एम ई [ एन 2 ] के लिएकुछ घ , तुम क्या दिखाना चाहते हैं के विपरीत। $\Sigma_c TIME[n^k]$$\Sigma_d TIME[n^2]$ $d$

— रयान विलियम्स

Answer 2

संशोधित प्रश्न (प्रश्न का संशोधन 4) के लिए उत्तर नहीं है। यदि एक निर्णय समस्या L , decision _i द्वारा समय O ( n ^k ) में हल करने योग्य है पी मशीन, तो एल रैखिक समय में एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा लिए ओरेकल के साथ हल किया जा सकता एल , जो एक Σ है _{मैं +1} पी मशीन। इसलिए,] _i TIME [O ( n ^k )] T _{+1 i +1} TIME [O ( n )]।

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$\Sigma_j TIME[t(n)]$$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$$j,k$$NP \neq coNP$$NP = coNP$$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$$j,k$$O(n^c)$$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

@Ryan: मेरे द्वारा उपयोग की जाने वाली परिभाषा है: LIMEiTIME [t (n)] अगर वहाँ एक भाषा O− (i ∈Σ 1) P मौजूद है और एक nondeterministic t (n) -समय पर ओरेकल के साथ ट्यूरिंग मशीन जो पहचानती है एल। मैंने सोचा कि यह मानक परिभाषा है, लेकिन मेरे पास अपना दावा वापस करने के लिए कोई संदर्भ नहीं है। आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली परिभाषा क्या है?

— त्सुयोशी इतो

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$$R(x,y_1,\ldots,y_i)$$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$ is true.

— Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.

— Tsuyoshi Ito