ग्राफ़ परिवार जिनके पास रंगीन संख्या की गणना के लिए बहुपद समय एल्गोरिदम हैं

Question

31 अगस्त को पोस्ट अपडेट किया गया : मैंने मूल प्रश्न के नीचे मौजूदा उत्तरों का सारांश जोड़ा। सभी दिलचस्प जवाब के लिए धन्यवाद! बेशक, हर कोई किसी भी नए निष्कर्ष को पोस्ट करना जारी रख सकता है।

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किस ग्राफ के परिवारों के लिए वर्णक्रमीय संख्या गणना के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म मौजूद है ?$\chi(G)$

बहुपद समय में समस्या हल होती है जब (द्विदलीय रेखांकन)। सामान्य तौर पर जब , तो रंगीन संख्या की गणना एनपी-हार्ड होती है, लेकिन ऐसे कई ग्राफ परिवार हैं जहां ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, रंग चक्र और सही रेखांकन बहुपद समय में किया जा सकता है।$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

इसके अलावा, कई ग्राफ कक्षाओं के लिए, हम केवल संबंधित रंगीन बहुपद का मूल्यांकन कर सकते हैं; मैथवर्ल्ड में कुछ उदाहरण ।

मुझे लगता है कि उपरोक्त अधिकांश सामान्य ज्ञान है। मैं ख़ुशी से सीखूंगा कि क्या कोई अन्य (गैर-तुच्छ) ग्राफ़ परिवार हैं, जिनके लिए न्यूनतम ग्राफ रंग बहुपद समय में हल करने योग्य है।

विशेष रूप से, मैं सटीक और नियतात्मक एल्गोरिदम में दिलचस्पी रखता हूं लेकिन किसी भी दिलचस्प यादृच्छिक एल्गोरिदम या सन्निकटन एल्गोरिदम को इंगित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करता हूं।

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अपडेट (31 अगस्त):

दिलचस्प जवाब प्रस्तुत करने के लिए सभी को धन्यवाद। यहां उत्तर और संदर्भों का संक्षिप्त सारांश दिया गया है।

बिल्कुल सही और लगभग सही रेखांकन

• ज्यामितीय एल्गोरिदम और कंबाइनटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन (1988), अध्याय 9 (रेखांकन में स्थिर सेट)। मार्टिन ग्रॉटशेल, लास्ज़्लो लोवाज़, अलेक्जेंडर स्क्रीवर।

  पुस्तक का अध्याय 9 दिखाता है कि न्यूनतम भारित आवरण समस्या के माध्यम से रंग समस्या को कैसे हल किया जाए। चूंकि वे दीर्घवृत्त विधि पर भरोसा करते हैं, इसलिए ये एल्गोरिदम व्यवहार में बहुत उपयोगी नहीं हो सकते हैं। इसके अलावा, अध्याय में विभिन्न रेखांकन वाले विभिन्न वर्गों के लिए एक अच्छी संदर्भ सूची है।

• कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन (2003), वॉल्यूम बी, खंड VI अलेक्जेंडर स्क्रीवर।

  इस पुस्तक में तीन अध्याय हैं जो कि पूर्ण रेखांकन और उनके बहुपद काल के लिए समर्पित हैं। मैंने केवल एक त्वरित रूप लिया, लेकिन मूल दृष्टिकोण पिछली पुस्तक की तरह ही है।

• बी-परफेक्ट रेखांकन (2010) का एक लक्षण वर्णन । चीन्ह टी। होएंग, फ्रैडरिक माफ़्रे, मेरीम मेकबेक

बाउंड ट्री-चौड़ाई या क्लिक-चौड़ाई के साथ ग्राफ़

• फिक्स्ड क्लिक्स-चौड़ाई (2001) के साथ ग्राफ पर एज डॉमिनेटिंग सेट और रंग । डैनियल कोब्लर, उडी रोटिक्स

  यहां एल्गोरिदम को एक पैरामीटर के रूप में एक के-एक्सप्रेशन (एक बाउंडेड क्लिक-चौड़ाई के साथ एक ग्राफ के निर्माण के लिए एक बीजगणितीय सूत्र) की आवश्यकता होती है। कुछ रेखांकन के लिए, इस अभिव्यक्ति की गणना रैखिक समय में की जा सकती है।

• यारोस्लाव ने बंधे हुए वृक्ष-चौड़ाई के ग्राफ में रंगों को गिनने के तरीकों के बारे में बताया। उसका जवाब नीचे देखें।

ये दो अध्ययन ग्राफ़ परिवार जहां कोने या किनारे जोड़े या हटाए जा सकते हैं।$k$

• वर्टेक्स रंग (2003) की परिमाणित जटिलता । लीज़ेन काई।

  विभाजन के रेखांकन में किनारों (निश्चित ) को जोड़ने या हटाने पर रंग को बहुपद समय में हल किया जा सकता है ।$k$$k$

• Chordal रेखांकन (2006) पर रंगाई की समस्या । डैनियल मार्क्स।

  फिक्स्ड , कॉर्डल ग्राफ़ जिनमें किनारों को जोड़ा जाता है, उन्हें बहुपद समय में रंगीन किया जा सकता है।$k$$k$

ऐसे ग्राफ़ जिनमें विशेष सबग्राफ नहीं होते हैं

• बहुपद समय (2010) में पी 5-मुक्त रेखांकन का के-कलरिबिलिटी तय करना । चिएन टी। होएंग, मार्सिन कामिंस्की, वादिम लोज़िन, जो सवादा, जिओ शू।

• 3-रंग बहुपद समय (2010) में एटी-मुक्त रेखांकन । जुराज स्टैचो।

चतुर्भुज रंग

• चतुष्कोण रंग के लिए एल्गोरिदम (1999)। डेविड एपस्टीन, मार्शल डब्ल्यू बर्न, ब्रैड हचिंग्स।

Comments

तुलनात्मक रेखांकन। यह संभवतः तुच्छ परिवारों में से एक है, लेकिन मुझे अभी भी लगता है कि उनका उल्लेख किया जाना चाहिए, यही कारण है कि मैं उत्तर के बजाय टिप्पणी का उपयोग करता हूं।

— राडु GRIGore

क्या आपका मतलब तुलनात्मक ग्राफ है या तुलना ग्राफ एक अलग वर्ग है?

— जोएल रिबिकि

मेरा मतलब तुलनात्मक ग्राफ से है, जो परिपूर्ण हैं।

— राडू GRIGore

ध्यान दें कि बी-परिपूर्ण रेखांकन परिपूर्ण होने के लिए "करीब" हैं, लेकिन बहुत अधिक नहीं हैं, क्योंकि उनमें 5-चक्र शामिल हो सकते हैं।

— आंद्र सलाम

कै के पेपर के लिए आपका लिंक गलत है।

— जेरेमी कुन

Answer 1

जैसा कि आप निरीक्षण करते हैं, सभी सही रेखांकन बहुपद समय में रंगीन हो सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि प्रमाण में रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए दीर्घवृत्त एल्गोरिदम शामिल हैं (प्रत्यक्ष और दहनशील के बजाय ग्रॉट्सहेल, लोवेज़, और शाइवर द्वारा पुस्तक देखें)। ग्राफ़ के कई अलग-अलग वर्ग हैं जो सही ग्राफ़ के उपवर्ग हैं और आसान रंग एल्गोरिदम हैं; उदाहरण के लिए, कॉर्डल ग्राफ, एक पूर्ण उन्मूलन आदेश का उपयोग करके लालच से रंगे जा सकते हैं।

सभी स्थानीय रूप से जुड़े रेखांकन (रेखांकन जिसमें प्रत्येक शीर्ष में एक जुड़ा हुआ पड़ोस होता है) बहुपद समय में 3-रंग का हो सकता है, जब एक रंग मौजूद होता है: बस त्रिकोण द्वारा रंग त्रिकोण का विस्तार करें।

अधिकतम डिग्री तीन के ग्राफ बहुपद समय में रंगीन हो सकते हैं: यह परीक्षण करना आसान है कि क्या वे द्विदलीय हैं, और यदि नहीं तो या तो उन्हें केवल तीन रंगों की आवश्यकता होती है या उनके पास कनेक्टेड घटक के रूप में के 4 होता है और चार रंगों (ब्रूक्स प्रमेय) की आवश्यकता होती है।

त्रिभुज-मुक्त प्लानर रेखांकन बहुपद काल में रंगीन हो सकते हैं, इसी कारण से: वे अधिकांश 3-क्रोमेटिक (ग्रोट्ज़स्च प्रमेय) पर हैं।

Answer 2

b-perfect रेखांकन प्रेरित 5-चक्र (परफेक्ट ग्राफ़ के विपरीत) की अनुमति देता है, और Hoàng, Maffray, और Mechebbek द्वारा रंग के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म दिखाया गया है, b-perfect रेखांकन का एक लक्षण वर्णन , arXiv: 1004.5306 , 2010।

(यह अफ़सोस की बात है कि ISGCI में ग्राफ़ कक्षाओं के अद्भुत संकलन में केवल क्लिक्वेविद, स्वतंत्र सेट और वर्चस्व शामिल है। इसमें रंग के बारे में जानकारी शामिल नहीं है।)

Comments

ISGCI के बारे में: यदि स्वतंत्र सेट आसान हैं, तो यह एक संकेत हो सकता है कि रंग करना आसान हो सकता है। इसलिए आईएसजीसीआई को ब्राउज़ करना आगे के लिए कुछ नए विचार दे सकता है।

— जुका सुओमेला

इसके अलावा, ISGCI में उद्धृत कई कागजात रंग के साथ-साथ CLIQUE / INDEPENDENT SET पर भी विचार करते हैं। लेकिन 1000 से अधिक संदर्भों के माध्यम से उतारा जा सकता है ...

— एंड्रू सलामॉन

धन्यवाद। ISGCI आशाजनक लग रहा है तो शायद मैं वहाँ कुछ ब्राउज़िंग करूँगा।

— जोएल रिकबी

Answer 3

बाउंडेड क्लिक्-चौड़ाई के ग्राफ के लिए भी (जो ट्रेविद से अधिक सामान्य है): कोब्लर और रोटिक्स ।

$n^{f(k)}$

इसके अलावा, क्लिक-चौड़ाई की गणना करना कठिन है, लेकिन ओउम और सीमोर द्वारा एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म है, "क्लोम-चौड़ाई और शाखा-चौड़ाई का प्रदर्शन" (घातीय सन्निकटन के साथ)।

$k$

Answer 4

बाउंडेड ट्री-चौड़ाई वाले ग्राफ़ के किसी भी परिवार के पास रंगीन संख्या की गणना के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म होगा। Gamarnik एक ही ग्राफ पर परिभाषित कुछ मार्कोव रैंडम फील्ड्स के कंप्यूटिंग मार्जिन की गणना के लिए रंगाई की समस्या को कम करता है। परिणाम निम्नानुसार है क्योंकि बाउंड ट्री-चौड़ाई ग्राफ़ पर MRF के मार्जिन को पोलिनेशन समय में जंक्शन ट्री एल्गोरिथ्म के साथ गणना की जा सकती है।

अपडेट 8/26 : यहां "# # कलरिंग" का उदाहरण दिया गया है <-> मार्जिन में कमी। इसे एक उचित रंग के साथ शुरू करने की आवश्यकता होती है, जो कि जंक्शन पेड़ के एल्गोरिथ्म के अधिकतम-प्लस संस्करण के साथ बाउंड ट्री-चौड़ाई ग्राफ़ के लिए बहुपद समय में पाया जा सकता है। अब यह सोचने के लिए ... आपको वास्तव में रंगीन संख्या के लिए रंगों की # आवश्यकता नहीं है, बस एक उचित रंग है

Answer 5

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

डैनियल मार्क्स द्वारा ग्राफ़ पर वर्णनात्मक संख्या की समस्या की जटिलता के बारे में भी परिणाम दिए गए हैं, जिन्हें सबसे अधिक कश्मीर शीर्ष पर विलोपन द्वारा कॉर्डल बनाया जा सकता है; प्रत्येक निश्चित k के लिए यह समस्या बहुपद है ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.00.00 )।

Comments

धन्यवाद! ये संदर्भ काफी दिलचस्प लगते हैं (विशेष रूप से, पेपर "बहुपद में पी 5-मुक्त रेखांकन के के-रंगाई तय करना)।

— जोएल रिबिकि

Answer 6

रंग चतुर्भुज के लिए एल्गोरिदम ।
एम। बर्न, डी। एपस्टीन, और बी। हचिंग्स।
http: // arXiv: cs.CG/9907030 ।
एलगोरिदम 32 (1): 87-94, 2002।

हम चतुर्भुज के वर्गों को रंगने की समस्या के कई रूपों पर विचार करते हैं ताकि कोई भी दो आसन्न वर्ग एक जैसे न हों। हम किनारे आसन्न के साथ 3-रंग संतुलित क्वाडट्रैज़ के लिए सरल रैखिक समय एल्गोरिदम देते हैं, किनारे आसन्न के साथ 4-रंग असंतुलित क्वाडट्र्स, और कोने आसन्न के साथ 6-रंग संतुलित या असंतुलित क्वाडट्रोज़। पहले दो एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किए जाने वाले रंगों की संख्या इष्टतम है; तीसरे एल्गोरिथ्म के लिए, कभी-कभी 5 रंगों की आवश्यकता हो सकती है।