क्या हीरा मानक और संबंधित राज्यों की दूरी के बीच कोई संबंध है?

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, दो क्वांटम चैनलों के बीच की दूरी को अक्सर हीरे के आदर्श का उपयोग करके मापा जाता है। दो क्वांटम राज्यों के बीच दूरी को मापने के कई तरीके भी हैं, जैसे ट्रेस दूरी, निष्ठा, आदि। Jamiołkowski समरूपता क्वांटम चैनलों और क्वांटम राज्यों के बीच एक द्वैत प्रदान करता है।

यह दिलचस्प है, कम से कम मेरे लिए, क्योंकि हीरे के मानदंड की गणना करना बेहद कठिन है, और जमैलोक्लोस्की आइसोर्फिज्म क्वांटम चैनलों और क्वांटम राज्यों की दूरी के उपायों के बीच कुछ सहसंबंधी प्रतीत होगा। तो, मेरा प्रश्न यह है: क्या हीरे के मानदंड में और संबंधित राज्यों (कुछ माप में) के बीच की दूरी के बीच कोई ज्ञात संबंध है?

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— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि "हीरे के मानदंड की गणना करने के लिए आप बहुत ही कठिन हैं।" एक सेमीफाइनल कार्यक्रम के रूप में; जॉन वाट्रस द्वारा व्याख्यान नोट की धारा 20.4 देखें । उस अर्थ में, हीरे के मानदंड की गणना करने के लिए एक कुशल साधन है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: मैं सिर्फ अंतर्निहित अनुकूलन का उल्लेख कर रहा था। मेरा मतलब कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन नहीं था, बल्कि इसके साथ काम करने के लिए अजीब था।

— जो फिट्जसिमन

ये एक तरफ के रूप में बहुत अच्छे व्याख्यान नोट हैं।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश @ संतोषी: हाँ, वे महान नोट हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि वे इस विशेष प्रश्न का उत्तर देते हैं।

— जो फिज्सिमन्स

@TsuyoshiIto: किसी कारण से, QIP स्लाइड्स में अंतिम खंड 20.3 है, क्या आपके पास अधिक पूर्ण व्याख्यान सेट है?

— आर्टेम ओबोटुरोव 14

जवाबों:

एक लंबी चैनल के लिए , हमें लिख संबद्ध राज्य निरूपित करने के लिए: $\Phi$ $J(\Phi)$ यहां हम यह मान रहे हैं किजो भी पॉजिटिव पूर्णांकऔरआपको पसंद हो,उसके लिए चैनल(यानी,कॉम्प्लेक्स मैट्रिसेस) सेमैपकरता है। मैट्रिक्स

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ कभी कभी चोई मैट्रिक्स या की चोई-Jamiolkowski प्रतिनिधित्व कहा जाता है

है, लेकिन यह अधिक लगातार उन शब्दों का उपयोग किया जाता है, जब

Φ

$\Phi$

सामान्यीकरण छोड़ा गया है।

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा मनमाने ढंग से मैपिंग के लिए काम नहीं करती है, पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे और के लिए केवल फॉर्म लिए । सामान्य मैपिंग के लिए, ट्रेस मानदंड के साथ सभी मैट्रिसेस पर लिया जाता है। 1, केवल घनत्व मैट्रीस के विपरीत।) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

यदि आपके पास चैनलों पर कोई अतिरिक्त धारणा नहीं है, तो आप बहुत अधिक नहीं कह सकते हैं कि ये मानदंड इन मोटे सीमाओं से अलग कैसे हैं: दूसरी असमानता के लिए, एक अनिवार्य रूप से विशिष्ट पसंद बल्कि सभी पर सर्वोच्चता लेने के बजाय

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ । पहली असमानता एक बोली मुश्किल है, लेकिन यह क्वांटम जानकारी पर एक स्नातक पाठ्यक्रम के लिए एक उचित असाइनमेंट प्रश्न होगा। (इस बिंदु पर मुझे आपके प्रश्न के लिए धन्यवाद देना चाहिए, क्योंकि मैं अपने क्वांटिटी सूचना सिद्धांत पाठ्यक्रम के पतन की पेशकश में इस प्रश्न का उपयोग करने के लिए पूरी तरह से चाहता हूं।)

आप चैनल और उचित विकल्प के लिए या तो असमानता प्राप्त कर सकते हैं , यहां तक कि अतिरिक्त धारणा के तहत कि चैनल पूरी तरह से अलग हैं (अर्थ )। $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— जॉन वॉट्रस
स्रोत

धन्यवाद जॉन, कि मेरे सवाल का पूरी तरह से जवाब देता है, और मुझे बहुत समय बचा लिया है।

— जो फिट्जिमंस

आप वास्तविक और आदर्श क्वांटम प्रक्रियाओं की तुलना करने के लिए दूरी के उपायों पर भी ध्यान देना चाहते हैं : क्वांट-फ़ / 0408063 जो क्वांटम चैनलों और उनके रिश्तों के लिए दूरी के उपायों का अवलोकन देता है।

वे हीरे की दूरी और J दूरी के लिए S दूरी का उपयोग चैनलों से जुड़े Jamiołkowski ऑपरेटरों की ट्रेस दूरी के लिए करते हैं।

— एंटोनियो वेलेरियो माइकेली-बारोन
स्रोत

मैं पहली असमानता के बारे में सोचना पसंद करता हूं जो वाट्सएप ने संभाव्य चैनल प्रसारण के संदर्भ में लिखा था। यदि आप भेदभावपूर्ण चैनलों और में सबसे छोटी त्रुटि संभावना के एक उपाय के रूप में हीरे के मानदंड की व्याख्या करते हैं , और उनके Jamiolkowski राज्यों के लिए समकक्ष के रूप में ट्रेस मानदंड, आप हमेशा उनके अनुरूप राज्यों से चैनलों के लिए इष्टतम रणनीति को लागू कर सकते हैं। सफलता की संभावना। इस कठोरता को लाना असमानता साबित करने का एक तरीका हो सकता है। $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

इसके अलावा, सोचने का यह तरीका दिखाता है कि यदि चैनलों को निर्धारक रूप से (जैसे पाउली चैनल) टेलीपोर्ट किया जा सकता है, तो उनका डायमंड मानदंड यामिओलोव्स्की ट्रेस दूरी के बराबर है।

— एलेक्स मोनास
स्रोत