सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए आवश्यक है

यह सवाल मैथमैटवर्फ्लो पर लागू गणित के बारे में इसी तरह के सवाल से प्रेरित है , और उस नेगिंग ने सोचा कि TCS के महत्वपूर्ण प्रश्न जैसे P बनाम NP, ZFC (या अन्य सिस्टम) से स्वतंत्र हो सकते हैं। थोड़ा पृष्ठभूमि के रूप में, रिवर्स गणित कुछ महत्वपूर्ण प्रमेयों को साबित करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्धों को खोजने की परियोजना है। दूसरे शब्दों में, हम प्रमेयों के एक सेट पर शुरू करते हैं जो हम सच होने की उम्मीद करते हैं और 'प्राकृतिक' स्वयंसिद्धों के न्यूनतम सेट को प्राप्त करने की कोशिश करते हैं जो उन्हें बनाते हैं।

मैं सोच रहा था कि क्या TCS के किसी महत्वपूर्ण प्रमेय पर उल्टा गणित दृष्टिकोण लागू किया गया है। विशेष रूप से जटिलता सिद्धांत के लिए। TCS में कई खुले प्रश्नों पर गतिरोध के साथ यह पूछना स्वाभाविक है कि "हमने क्या स्वयंसिद्ध प्रयोग करने की कोशिश नहीं की है?"। वैकल्पिक रूप से, टीसीएस में किसी भी महत्वपूर्ण प्रश्न को दूसरे क्रम के अंकगणित के कुछ सरल उपतंत्रों से स्वतंत्र होना दिखाया गया है?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Artem Kaznatcheev
स्रोत

दो संभव सूक्तियों कि स्वतंत्र नहीं हो सकता है: 1) 3-सैट की आवश्यकता है

समय। 2) संतोषजनक 3SAT फार्मूले को देखते हुए, प्रत्येक कुशल एल्गोरिथ्म क्लॉस के अधिकांश

निष्कर्षण पर संतुष्ट करता है। इसके अलावा, दो समान आकार के गुना का गुणन कठिन (उल्टा) कुशलता से होता है।

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

यह पेपर प्रासंगिक है: हैरी बर्मन, लांस फोर्टेन, लियन टॉरेनवेलिएट, "सिक्स हाइपोथेसिस इन द सर्च ऑफ द प्रमेय," सीसीसी, पीपी .2, कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी (सीसीसी'97) पर 1997 में 12 वीं वार्षिक IEEE सम्मेलन

— मोहम्मद अल-

निम्नलिखित प्रश्न संबंधित है: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… आरसीए_0 में अधिकांश TCS को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। ग्राफ मामूली प्रमेय एक दुर्लभ अपवाद है। जैसा कि नील जोर देते हैं, यदि आप नए विचार चाहते हैं, तो नए विचारों की तलाश करें; नए स्वयंसिद्धों की तलाश न करें। दो बिलकुल नहीं हैं।

— टिमोथी चो

मैं उलझन में हूं कि

या

पर बयान जैसे परिणाम क्यों बताए गए हैं। मेरे पहले TCS व्याख्यान में, हमने प्राकृतिक संख्याओं और उन पर कुछ बुनियादी कार्यों के साथ शुरुआत की। बाकी इस प्रकार है। जाहिर तौर पर मैं इस सवाल को नहीं समझता।

P

$P$

N P

$NP$

— राफेल 23

मैंने अभी इस पर ध्यान दिया है, लेकिन जाहिर तौर पर लिप्टन ने इस पोस्ट में इसी तरह का सवाल पूछा: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/… , to quot : "मुझे आश्चर्य है कि अगर सबूत तकनीकें हैं जो पीए से दूर के विचारों को शामिल करती हैं जो हमारे पास हैं उपयोग नहीं किया जाता है, और जो कुछ महत्वपूर्ण समस्याओं को खोलने में मदद करेगा। क्या हमें अपने स्नातक छात्रों को गणित के क्षेत्रों से पढ़ाना चाहिए जो पीए से परे हैं? " (PA = Peano अंकगणित)

— आर्टेम Kaznatcheev

जवाबों:

हां, इस विषय का प्रमाण जटिलता में अध्ययन किया गया है। इसे बाउंडेड रिवर्स गणित कहा जाता है । आप कुक और न्गुयेन की पुस्तक, " लॉफिकल फाउंडेशंस ऑफ़ प्रूफ़ काम्प्लेक्सिटी " के पेज 8 , 2010 पर कुछ उल्टे गणित के परिणामों वाली एक तालिका पा सकते हैं । स्टीव कुक के पिछले छात्रों में से कुछ ने इसी तरह के विषयों पर काम किया है, जैसे गुयेन की थीसिस, " बाउंडेड रिवर्स मैथमेटिक्स " , टोरंटो विश्वविद्यालय, 2008।

अलेक्जेंडर रज़बोरोव (अन्य प्रमाण जटिलता जटिलता सिद्धांतकारों) के पास सर्किट जटिलता तकनीकों को औपचारिक रूप देने और सर्किट जटिलता निचले आधारों को साबित करने के लिए आवश्यक कमजोर सिद्धांतों पर कुछ परिणाम हैं। वह कमजोर सिद्धांतों के लिए कुछ अप्रतिस्पर्धी परिणाम प्राप्त करता है, लेकिन सिद्धांतों को बहुत कमजोर माना जाता है।

$RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— कावेह
स्रोत

इस तरह के स्वतंत्रता परिणाम प्रमुख सफलताएं होंगे, लेकिन मुझे नहीं लगता कि उनके कोई तात्कालिक मजबूत परिणाम हैं; नील के जवाब पर मेरी टिप्पणी देखें।

— टिमोथी चो

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

आपके अंतिम प्रश्न के सकारात्मक उत्तर के रूप में, पॉलीमॉर्फिक लैम्ब्डा कैल्सी के सामान्यीकरण साक्ष्य जैसे कि कंस्ट्रक्शन के कलन को कम से कम उच्च-क्रम अंकगणित की आवश्यकता होती है, और मजबूत सिस्टम (जैसे कि आगमनात्मक निर्माणों की गणना ZFC के साथ समसामयिक हैं और बहुत से दुर्गम हैं।

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

अधिक दार्शनिक रूप से, एक अमूर्तता की ताकत के साथ निरंतरता शक्ति को बराबर करने की गलती न करें।

किसी विषय को व्यवस्थित करने का सही तरीका स्पष्ट रूप से जंगली सेट-सिद्धांत सिद्धांतों को शामिल कर सकता है, भले ही वे स्थिरता शक्ति के संदर्भ में कड़ाई से आवश्यक नहीं हों। उदाहरण के लिए, एकरूपता के गुणों के लिए मजबूत संग्रह सिद्धांत बहुत उपयोगी हैं - उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांतकार कमजोर बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को सभी समूहों की श्रेणी में चीजों की तरह हेरफेर करना चाहते हैं जैसे कि वे ऑब्जेक्ट थे। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण बीजीय ज्यामिति है, जिसका विकास ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों का व्यापक उपयोग करता है, लेकिन जिनके सभी अनुप्रयोग (जैसे कि फ़र्मेट्स लास्ट प्रमेय) जाहिरा तौर पर तीसरे क्रम के अंकगणित में निहित हैं। बहुत अधिक तुच्छ उदाहरण के रूप में, ध्यान दें कि सामान्य पहचान और संरचना संचालन कार्य नहीं हैं, क्योंकि वे सेट के पूरे ब्रह्मांड पर अनुक्रमित हैं।

$\sigma$ $X$ $X$

EDIT: लॉजिकल सिस्टम A में सिस्टम B की तुलना में अधिक संगति शक्ति है, यदि A की संगति का अर्थ B. की स्थिरता है, उदाहरण के लिए, ZFC में Peano अंकगणित की तुलना में अधिक संगति शक्ति है, क्योंकि आप ZFC में PA की स्थिरता साबित कर सकते हैं। A और B की समरूपता समान है यदि वे समवर्ती हैं। एक उदाहरण के रूप में, पीनो अंकगणित सुसंगत है अगर और केवल अगर हीटिंग (रचनात्मक) अंकगणित है।

IMO, तर्क के बारे में सबसे आश्चर्यजनक तथ्यों में से एक यह है कि स्थिरता शक्ति इस सवाल से उबलती है कि "इस तर्क में आप सबसे तेजी से बढ़ने वाला फ़ंक्शन क्या साबित कर सकते हैं?" नतीजतन, लॉजिक्स के कई वर्गों की संगति को रैखिक रूप से आदेश दिया जा सकता है! यदि आपके पास एक क्रमिक संकेतन है जो सबसे तेजी से बढ़ते कार्यों का वर्णन करने में सक्षम है, तो आपके दो लॉजिक्स कुल दिखा सकते हैं, तो आप त्रिचोटॉमी द्वारा जानते हैं कि या तो एक दूसरे की स्थिरता साबित हो सकती है, या वे समवर्ती हैं।

लेकिन यह आश्चर्यजनक तथ्य यह भी है कि गणितीय सार के बारे में बात करने के लिए स्थिरता शक्ति सही उपकरण नहीं है। यह कोडिंग ट्रिक्स सहित एक प्रणाली का एक आवेग है, और एक अच्छा अमूर्तता आपको बिना किसी चाल के एक विचार व्यक्त करने देता है । हालाँकि, हम इस विचार को औपचारिक रूप से व्यक्त करने के लिए तर्क के बारे में पर्याप्त नहीं जानते हैं।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

'स्थिरता शक्ति' क्या है?

— सुरेश वेंकट

यही बेन-डेविड और हालेवी ने साबित नहीं किया। आपने उनके महत्वपूर्ण राइडर को अनदेखा कर दिया, "वर्तमान में उपलब्ध तकनीकों का उपयोग करते हुए।" मैं उनके पेपर की व्याख्या इस बात पर करता हूं कि पी = एनपी प्रश्न के बारे में कहने के बजाय हमारी वर्तमान प्रूफ तकनीकें कितनी कमजोर हैं।

— टिमोथी चो