थ्योरीसीएस में पोजिट्स / लैटिस पर मीट्रिक संरचनाओं के अनुप्रयोग

17

चूंकि शब्द अतिभारित है, पहले एक संक्षिप्त परिभाषा। एक पॉसेट एक सेट जो आंशिक ऑर्डर साथ संपन्न होता है । दो तत्वों देखते हुए , हम ( ) को में उनकी कम से कम ऊपरी सीमा के रूप में परिभाषित कर सकते हैं , और इसी तरह (मिलना) (join) को एक सबसे बड़ी निचली सीमा के रूप में परिभाषित करते हैं । $X$ $\le$ $a,b \in X$ $x \vee y$ $X$ $x \wedge y$

एक जाली एक पोजेट है जिसमें किसी भी दो तत्वों का एक अनोखा मिलन होता है और एक अनोखा जुड़ाव होता है।

Lattices (इस रूप में) सिद्धांत रूप में (संक्षेप में) उप-वर्गिकीयता (सबसेट जाली के साथ) और क्लस्टरिंग (विभाजन जाली) के सिद्धांत के साथ-साथ डोमेन सिद्धांत (जिसे मैं बहुत अच्छी तरह से समझता हूं) और स्थिर में दिखाता हूं विश्लेषण।

लेकिन मुझे ऐसे अनुप्रयोगों में दिलचस्पी है, जो लैटिस पर मीट्रिक संरचनाओं का उपयोग करते हैं। एक साधारण उदाहरण क्लस्टरिंग, जहां किसी भी antimonotone submodular समारोह से आता है $f : X \rightarrow R$ (antimonotone अर्थ यह है कि यदि $x \le y, f(x) \le f(y)$ ) को प्रेरित करता है एक मीट्रिक

d (x, y) = 2 f (x \land y) - f (x) - f (y)

$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$

इस मीट्रिक का उपयोग डेटा सेट के दो अलग-अलग समूहों की तुलना करने के तरीके के रूप में बड़े पैमाने पर किया गया है।

क्या लैटिटिक्स के अन्य अनुप्रयोग हैं जो मीट्रिक संरचनाओं के बारे में परवाह करते हैं? मुझे डोमेन सिद्धांत / स्थैतिक विश्लेषण अनुप्रयोग में दिलचस्पी है, लेकिन अभी तक मैंने मैट्रिक्स की कोई आवश्यकता नहीं देखी है ।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

12

सबसे पहले, एक टिप्पणी। आपका प्रश्न इस बात पर निर्भर करता है कि आप "मेट्रिक" शब्द का अर्थ ज्यामितीय रूप से कैसे करना चाहते हैं। यह शब्दार्थ और स्थैतिक विश्लेषण में अल्ट्रामेट्रिक्स का उपयोग करने के लिए सामान्य रूप से सामान्य है, लेकिन अल्ट्रामेट्रिक्स में ज्यामितीय व्याख्या के बजाय एक कॉम्बिनेटरियल होता है। (यह अवलोकन का एक प्रकार है कि डोमेन सिद्धांत में टोपोलॉजी के ज्यामितीय उपयोग के बजाय एक संयोजन का स्वाद है।)

उस ने कहा, मैं आपको इस बात का एक उदाहरण दूंगा कि यह प्रोग्राम प्रूफ में कैसे आता है। सबसे पहले, याद रखें कि एक प्रोग्राम प्रूफ में, हम यह दिखाना चाहते हैं कि प्रोग्राम का वर्णन करने वाला एक सूत्र है। सामान्य तौर पर, इस सूत्र का मूल रूप से बूलियनों के साथ व्याख्या करना आवश्यक नहीं है, लेकिन सत्य मूल्यों के कुछ जाली तत्वों से खींचा जा सकता है। फिर एक सच्चा सूत्र सिर्फ एक है जो जाली के शीर्ष के बराबर है।

इसके अलावा, जब बहुत सेल्फ-रेफरेंशियल प्रोग्राम्स (उदाहरण के लिए, सेल्फ-मॉडिफाइंग कोड का व्यापक उपयोग करने वाले प्रोग्राम) मामलों को निर्दिष्ट करना बहुत मुश्किल हो सकता है। हम आम तौर पर कार्यक्रम के एक पुनरावर्ती विनिर्देश देना चाहते हैं, लेकिन एक स्पष्ट प्रेरक संरचना नहीं हो सकती है जिस पर परिभाषा को लटका दिया जाए। इस समस्या को हल करने के लिए, यह अक्सर अतिरिक्त मीट्रिक संरचना के साथ सत्य मान जाली से लैस करने में सहायक होता है। फिर, यदि आप यह दिखा सकते हैं कि जिस विधेयकों का निश्चित बिंदु आप चाहते हैं, वह कड़ाई से सिकुड़ा हुआ है, तो आप Banach के निर्धारित बिंदु प्रमेय से यह निष्कर्ष निकालने के लिए अपील कर सकते हैं कि आप जिस पुनरावर्ती को चाहते हैं वह अच्छी तरह से परिभाषित है।

जिस मामले से मैं सबसे ज्यादा परिचित हूं, उसे "स्टेप-इंडेक्सिंग" कहा जाता है। इस सेटिंग में, हम नीचे की ओर बंद उप- के लिए सत्य मानों के हमारे जाली setting को लेते हैं , जिनके तत्वों को हम "मूल्यांकन अनुक्रमों की लंबाई जिस पर संपत्ति रखती है" के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। मीट और जॉन्स चौराहों और यूनियनों में हमेशा की तरह हैं, और चूंकि जाली पूरी हो गई है, हम हेटिंग निहितार्थ को भी परिभाषित कर सकते हैं। जाली को एक अल्ट्रामेट्रिक से भी सुसज्जित किया जा सकता है जिससे दो जाली तत्वों के बीच की दूरी , जहाँ एक सेट में सबसे छोटा तत्व है, लेकिन दूसरा नहीं है। $\Omega$ $\mathbb{N}$ $2^{-n}$ $n$

फिर, Banach की संकुचन के नक्शे thoerem हमें बताता है एक संकोची विधेय कि एक अनूठा निश्चित बिंदु है। सहज रूप से, यह कहता है कि यदि हम एक विधेय को परिभाषित कर सकते हैं जो चरणों के लिए एक संस्करण का उपयोग करता है जो चरणों के लिए है, तो हमारे पास वास्तव में विधेय की एक अस्पष्ट परिभाषा है। यदि हम फिर यह दर्शाते हैं कि विधेय बराबर है , तो हम जानते हैं कि विधेय हमेशा कार्यक्रम का आयोजन करता है। $p : \Omega \to \Omega$ $n+1$ $n$ $\top = \mathbb{N}$

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

आह दिलचस्प है। आपके प्रश्न के उत्तर में, मुझे इस बात की परवाह है कि मीट्रिक सिर्फ इतना है: यह त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करता है। इसलिए अल्ट्रामेट्रिक्स पूरी तरह से ठीक हैं। हालाँकि, (और यह प्रश्न में मेरी कमी है) मुझे यह प्रतीत होता है कि यहाँ मीट्रिक का उपयोग संरचनात्मक है, इसलिए बानाच तक पहुँच प्राप्त करना है। आप अपने आप में मीट्रिक के बारे में परवाह नहीं करते हैं (और इसलिए मेट्रिक की गणना करने या इसे अप्रासंगिक मानने जैसी चीजें)। क्या वह सही है ?

— सुरेश वेंकट

4

हां, हम मीट्रिक की बहुत परवाह नहीं करते हैं। यह वास्तव में मीट्रिक या चरण-अनुक्रमित मॉडल के साथ असुविधा का स्रोत है - हम ऐसी जानकारी पर नज़र क्यों रख रहे हैं जिसकी हमें वास्तव में परवाह नहीं है? यह दर्शाता है कि एक मॉडल मेट्रिक के लिए अनुमानों के एक वर्ग के तहत स्थिर था (शायद संकुचन के संबंध में रूढ़िवादी) वास्तव में इससे आराम बढ़ेगा।

— नील कृष्णास्वामी

9

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सीपीओ के विकल्प के रूप में, अर्नोल्ड और निवात ने अर्थपूर्ण शब्दार्थ [1] के डोमेन के रूप में (पूर्ण) मीट्रिक रिक्त स्थान का पता लगाया। अपने शोध में बोन्सांगु [2] ने इस तरह के शब्दार्थ शब्दार्थ और स्वयंसिद्ध शब्दार्थ के बीच द्वैत का पता लगाया। मैं यहां इसका उल्लेख करता हूं क्योंकि यह एक बहुत व्यापक समग्र चित्र देता है।

[१]: अर्नोल्ड, एम निवात: अनंत पेड़ों की मीट्रिक व्याख्या और गैर नियतात्मक पुनरावर्ती कार्यक्रमों के शब्दार्थ। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 11: 181-205 (1980)।
[२]: एएमटीसीएस, एलसेवियर १ ९९ B के शब्दार्थ of के एमएम बोन्सांगु टोपोलॉजिकल द्वंद्व ।

— काई
स्रोत

विलक्षण - मुझे नहीं पता था कि यह थीसिस ऑनलाइन थी!

— नील कृष्णस्वामी

3

मैंने मार्सेलो (बोन्सांगु) को बताया कि उसकी बात की जा रही है। (शायद वह शामिल हो जाएगा।)

— डेव क्लार्क

5

यहाँ एक है (संयोग से, मेरी पढ़ने की कतार के ऊपर):

स्वराट चौधुरी, सुमित गुलवानी और रॉबर्टो ल्यूबेल्मैन। कार्यक्रमों का निरंतरता विश्लेषण। POPL 2010।

लेखक एक सरल भाषा में लूप के साथ एक भावपूर्ण शब्दार्थ प्रदान करते हैं, एक अंतर्निहित उत्पाद मीट्रिक स्पेस में मूल्यों से कार्यों के रूप में अभिव्यक्ति की व्याख्या करते हैं। बिंदु यह निर्धारित करना है कि कौन से कार्यक्रम निरंतर कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, यहां तक कि "अगर" और लूप की उपस्थिति में भी। यहां तक कि वे निरंतरता के बारे में कुछ इनपुट और आउटपुट तक सीमित होने के बारे में सवाल करते हैं। (यह दिज्क्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है, जो कि इसके पथ की लंबाई में निरंतर है, लेकिन वास्तविक पथ में नहीं है।)

मैंने अभी तक ऐसा कुछ भी नहीं देखा है जिसके लिए मीट्रिक स्थान की आवश्यकता हो - ऐसा लगता है कि यह अब तक सामान्य टोपोलॉजी का उपयोग करके किया जा सकता था - लेकिन मैं केवल 3 पेज पर हूं। :)

— नील टोरंटो
स्रोत

1

निश्चित रूप से यहाँ कोई पोसिट या जाली नहीं है, पिछले उत्तर की तरह। मुझे याद आ रहा है।

— सुरेश वेंकट

3

एक और उत्तर जोड़ने के लिए क्षमा याचना, लेकिन यह एक मेरे ऊपर एक दूसरे से संबंधित नहीं है।

एक मीट्रिक रिक्त स्थान जिसका मैं नियमित रूप से उपयोग करता हूं (या यह शिक्षित है?) संगामिति के छात्र अनंत निशान के होते हैं। टोपोलोजी यह प्रेरित करता है कि वह ठीक एक एल्परन और श्नाइडर है [1] जिसका उपयोग क्रमशः सीमा-बंद और घने के रूप में सुरक्षा और शोधन गुणों को चिह्नित करने के लिए किया जाता है ।

\begin{array}{rcl} d : Σ^{ω} \times Σ^{ω} & ⟶ & R_{\geq 0} \\ (σ, τ) & \mapsto & 2^{- sup {i \in N | σ |_{i} = τ |_{i}}} \end{array}

$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$

σ |_{i}

$\sigma|_i$

σ

$\sigma$

i

$i$

2^{- \infty} = 0

$2^{-\infty} = 0$

रेट्रोस्पेक्ट में मुझे पता चलता है कि इस उत्तर में जाली या पॉज़ेट संरचना के आवश्यक घटक का भी अभाव है। इस तरह की एक जाली संरचना हालांकि तब मौजूद होती है जब क्लार्कसन और श्नाइडर को हाइपरप्रॉपीटीज़ [2] कहते हैं। लेखन के समय यह मेरे लिए अस्पष्ट है कि मैट्रिक को कैसे उठाया जाए।

[१] बी एल्परन और एफबी श्नाइडर। अस्तर को परिभाषित करना। आईपीएल, 21 (4): 181-185, 1985.
[2] एमआर क्लार्कसन और एफबी श्नाइडर। Hyperproperties। CSF, p51-65, IEEE, 2008।

— काई
स्रोत

\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) / 2

$\sum_{k=1}^n k = {n(n+1)}/{2}$

@ धन्यवाद, मैंने अपने पोस्ट को उसी के अनुसार संपादित किया है और सलाह को प्रारूपित करने के लिए कठोर रो को हटा दिया है।

— काई

अच्छा सूत्र!

— हसीन-चिह चांग 張顯 '