कटौती आदर्श के संबंध में -nets

कट का मानदंड वास्तविक गणित of में सभी पर अधिकतम है। मात्रा का। $||A||_C$ $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

दो मैट्रिक्स और बीच की दूरी को परिभाषित करें $A$ $B$ $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

मीट्रिक स्पेस के सबसे छोटे -net क्या है? $\epsilon$ $([0,1]^{n\times n}, d_C)$

अर्थात सबसे छोटे उपसमूह का आकार ऐसा है कि सभी , मौजूद है। ऐसा है कि । $S \subset [0,1]^{n\times n}$ $A \in [0,1]^{n\times n}$ $A' \in S$ $d_C(A, A') \leq \epsilon$

(EDIT: मैं उल्लेख करना भूल गया, लेकिन मुझे "गैर-उचित" -nets में भी दिलचस्पी है , - अर्थात यदि तत्व -net के पास [0,1] के बाहर प्रविष्टियाँ हैं, यह भी दिलचस्प है।) $\epsilon$ $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ $\epsilon$

मुझे ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों में दिलचस्पी है।

नोट कटौती sparsifier तकनीक मतलब है कि -nets कटौती मैट्रिक्स, लेकिन दे कुछ मजबूत की तुलना में मैं जरूरत के लिए - वे देना एक -net जिसके लिए आप कुशलता से एक मिल सकता है किसी भी मैट्रिक्स के लिए -close बिंदु बस उस से नमूने के द्वारा आव्यूह। कोई सोच सकता है कि वहाँ बहुत छोटे -nets मौजूद हैं जिनके लिए आप बस नमूना नहीं कर सकते हैं एक मनमाना मैट्रिक्स के लिए एक -close बिंदु। $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$

मैंने शुरू में यह सवाल मैथवर्टफ्लो पर यहां पूछा था ।

— हारून रोथ
स्रोत

क्योंकि A का कट मानदंड A के प्रत्येक प्रविष्टि के निरपेक्ष मान से अधिक या बराबर है, यह स्पष्ट है कि have-net का आकार कम से कम (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2) होना चाहिए। कट स्पार्सीफायर तकनीक से प्राप्त ऊपरी सीमा क्या है? (यह शायद एक गूंगा सवाल है, लेकिन मुझे उस तकनीक का पता नहीं है।)

— Tsuyoshi Ito

बस यह सुनिश्चित करने के लिए, मैंने अपनी पिछली टिप्पणी के पहले आधे हिस्से को एक उत्तर में बदल दिया (और इसमें एक ऊपरी सीमा जोड़ दी)। मुझे अभी भी कट स्पार्सीफायर तकनीक से प्राप्त ऊपरी बाउंड में दिलचस्पी है।

— त्सुयोशी इतो

उपरोक्त तकनीक बजाय में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस देती है । मैं इस पोस्ट में इसका उल्लेख करना भूल गया, लेकिन मुझे इन प्रकार के -covers में भी दिलचस्पी है ।

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— आरोन रोथ

कट स्पार्सिफिकेशन से प्राप्त होने वाला -net वास्तव में । मैट्रिक्स को एक निर्देशित ग्राफ के किनारों पर संभाव्यता वितरण के रूप में व्याख्या करें, और वितरण से किनारों का नमूना लें । द्वारा प्रत्येक बढ़त वजन । वीसी-आयाम तर्कों द्वारा (या सिर्फ कटौती पर बाध्य संघ), किसी भी कटौती पर अधिकतम योजक त्रुटि होगी । तो इसका तात्पर्य है कि किनारों पर (उचित रूप से भारित) ग्राफ़ का सेट एक -net बनाता है , जो कि लिए गैर-तुच्छ है ।

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— आरोन रोथ

यहाँ एक आसान अनुमान है। यहाँ हम एक सेट फोन एस ⊆ एक्स एक ε -net एक मीट्रिक स्पेस की एक्स जब हर बिंदु के लिए एक्स ∈ एक्स , वहां मौजूद एक बिंदु रों ∈ एस ऐसी है कि बीच की दूरी एक्स और एस है ज्यादा से ज्यादा ε । आप की परिभाषा में एक सख्त असमानता चाहते हैं ε -net, आप का मान परिवर्तित कर सकते हैं ε थोड़ा।

यह धारण करता है || ए || _∞ ≤ || ए || _सी ≤ n ² || ए || _∞ , जहां || ए || _∞ एक की entrywise अधिकतम-नोर्म अर्थ है n × n मैट्रिक्स एक ।

यह निर्माण करने के लिए एक आसान है ε मीट्रिक स्पेस की -net ([0,1] ^एन , डी _∞ ) आकार वाले ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^एन , और यह पता चलता है कि इस आकार न्यूनतम है मुश्किल नहीं है। (Minimality दिखाने के लिए, ⌈1 / (2 पर विचार ε ) ⌉ ^एन अंक जिसका निर्देशांक 1 / ⌈1 / (2 के गुणज हैं ε ) -1⌉ और शो इन बातों में से किसी दो के बीच की दूरी है कि अधिक से अधिक से अधिक 2 N। ) N = n ^{2 को} सेट करके और इसे कटा हुआ मानदंड और अधिकतम मानदंड के बीच की तुलना के साथ जोड़कर, ε की न्यूनतम कार्डिनैलिटी-net कटौती आदर्श के संबंध में कम से कम ⌈1 / (2 है ε ) ⌉ ^{एन ²} और ज्यादा से ज्यादा ⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ^{एन ²} ।

अद्यतन : यदि मेरी गणना सही है, तो एक बेहतर बाध्य निचले Ω ( एन / ε ) ^{एन ²} मात्रा तर्क द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम एक ऊपरी एक की मात्रा पर बाध्य जरूरत ε कटौती आदर्श के संबंध में -बाल।

पहले हम एकल वेक्टर के "कट मानदंड" पर विचार करते हैं, जो सकारात्मक तत्वों के योग और नकारात्मक तत्वों के नकारात्मक योग के बीच अधिकतम है। यह दिखाने के लिए कि एक की मात्रा कठिन नहीं है ε ℝ में -बाल ⁿ इस "कटौती के आदर्श" के संबंध में के बराबर है

ε^{n} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n}} \frac{1}{| I |!} \cdot \frac{1}{(n - | I |)!} = ε^{n} \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) \frac{1}{r! (n - r)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{n}}{n!} \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = \frac{ε^{n}}{n!} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)! ε^{n}}{(n!)^{3}} .

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

इसके बाद, के बाद से एक की कटौती आदर्श n × n मैट्रिक्स एक अधिक है की तुलना में या प्रत्येक पंक्ति के कटौती के आदर्श, एक की मात्रा के बराबर ε ℝ में -बाल ^{n × n} ज्यादा से ज्यादा है n वें एक की मात्रा की शक्ति ℝ -ball ε ^{n में} । इसलिए [0,1] ⁿ^×^{n के} ε -net का आकार कम से कम होना चाहिए

\frac{(n!)^{3 n}}{(2 n)!^{n} ε^{n^{2}}} = {(Ω (\frac{n}{ε}))}^{n^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

जहां अंतिम समानता एक उबाऊ गणना है जिसमें हम स्टर्लिंग के सूत्र का उपयोग करते हैं : ln n ! = n ln n - n + O (लॉग एन )।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

प्रश्न के संपादित (संशोधन 4) के जवाब में, इस उत्तर में बताई गई निचली सीमा "गैर-उचित" (-नेट पर भी लागू होती है।

— त्सुयोशी इटो

सही लग रहा है, अच्छी तरह से किया!

— Hsien-Chih चांग 張顯 '

@ Hsien-Chih: धन्यवाद। मुझे जो हिस्सा सबसे ज्यादा पसंद है वह ball ^ n में most- बॉल की मात्रा की गणना में द्विपद गुणांक का उपयोग है।

— त्सुयोशी इतो

मुझे संदेह है कि नेट के आकार पर कम बाध्य (समकक्ष, वॉल्यूम पर ऊपरी बाध्य) में सुधार किया जा सकता है। मैंने MathOverflow पर संबंधित प्रश्न पूछा ।

— त्सुयोशी इतो