यहाँ एक आसान अनुमान है। यहाँ हम एक सेट फोन एस ⊆ एक्स एक ε -net एक मीट्रिक स्पेस की एक्स जब हर बिंदु के लिए एक्स ∈ एक्स , वहां मौजूद एक बिंदु रों ∈ एस ऐसी है कि बीच की दूरी एक्स और एस है ज्यादा से ज्यादा ε । आप की परिभाषा में एक सख्त असमानता चाहते हैं ε -net, आप का मान परिवर्तित कर सकते हैं ε थोड़ा।
यह धारण करता है || ए || ∞ ≤ || ए || सी ≤ n 2 || ए || ∞ , जहां || ए || ∞ एक की entrywise अधिकतम-नोर्म अर्थ है n × n मैट्रिक्स एक ।
यह निर्माण करने के लिए एक आसान है ε मीट्रिक स्पेस की -net ([0,1] एन , डी ∞ ) आकार वाले ⌈1 / (2 ε ) ⌉ एन , और यह पता चलता है कि इस आकार न्यूनतम है मुश्किल नहीं है। (Minimality दिखाने के लिए, ⌈1 / (2 पर विचार ε ) ⌉ एन अंक जिसका निर्देशांक 1 / ⌈1 / (2 के गुणज हैं ε ) -1⌉ और शो इन बातों में से किसी दो के बीच की दूरी है कि अधिक से अधिक से अधिक 2 N। ) N = n 2 को सेट करके और इसे कटा हुआ मानदंड और अधिकतम मानदंड के बीच की तुलना के साथ जोड़कर, ε की न्यूनतम कार्डिनैलिटी-net कटौती आदर्श के संबंध में कम से कम ⌈1 / (2 है ε ) ⌉ एन 2 और ज्यादा से ज्यादा ⌈ n 2 / (2 ε ) ⌉ एन 2 ।
अद्यतन : यदि मेरी गणना सही है, तो एक बेहतर बाध्य निचले Ω ( एन / ε ) एन 2 मात्रा तर्क द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम एक ऊपरी एक की मात्रा पर बाध्य जरूरत ε कटौती आदर्श के संबंध में -बाल।
पहले हम एकल वेक्टर के "कट मानदंड" पर विचार करते हैं, जो सकारात्मक तत्वों के योग और नकारात्मक तत्वों के नकारात्मक योग के बीच अधिकतम है। यह दिखाने के लिए कि एक की मात्रा कठिन नहीं है ε ℝ में -बाल n इस "कटौती के आदर्श" के संबंध में के बराबर है
εn∑I⊆{1,…,n}1|I|!⋅1(n−|I|)!=εn∑r=0n(nr)1r!(n−r)!
=εnn!∑r=0n(nr)2=εnn!(2nn)=(2n)!εn(n!)3.
इसके बाद, के बाद से एक की कटौती आदर्श n × n मैट्रिक्स एक अधिक है की तुलना में या प्रत्येक पंक्ति के कटौती के आदर्श, एक की मात्रा के बराबर ε ℝ में -बाल n × n ज्यादा से ज्यादा है n वें एक की मात्रा की शक्ति ℝ -ball ε n में । इसलिए [0,1] n × n के ε -net का आकार कम से कम होना चाहिए
(n!)3n(2n)!nεn2=(Ω(nε))n2,
जहां अंतिम समानता एक उबाऊ गणना है जिसमें हम स्टर्लिंग के सूत्र का उपयोग करते हैं : ln n ! = n ln n - n + O (लॉग एन )।